良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。——《汤显祖》2023年04月19日九年级中考第一次模拟考
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类型参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为()A．-8℃B．-4℃C．4℃D．8℃【考点】有理数的减法．【解答】解：根据题意得：℃，则该地这天的温差为8℃．故选：D．【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．2．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的()A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割【考点】黄金分割．【解答】解：∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，−1+5又黄金分割比为≈0.618，2∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割，故选：D．【点评】本题主要考查了数学与自然界与数学知识的联系，熟悉线段的黄金分割是解题的关键．3．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()第1页（共17页）丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。——《顾炎武》勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备152****2110A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．如图是一个拱形积木玩具，其主视图是()A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【解答】解：从正面看得到的图形是下面有一半圆的图形．故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识，从正面看所得到的图形是主视图．5．下列计算中正确的有()11121①0−(+3)=+3；②0−(−3)=+3；③+5−5=0；④(−)−0=；⑤−×(−)=；332335⑥−÷2=−5．2A．2个B．3个C．4个D．5个第2页（共17页）勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟152****2110【考点】有理数的混合运算．【解答】解：①0−(+3)=0−3=−3，错误；②0−(−3)=0+3=3，正确；③+5−5=0，正确；④111215515(−)−0=−，错误；⑤−×(−)=，正确；⑥−÷2=−×=−，错误．故选B．332332224【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．如图，a//b，∠3=80°，∠1−∠2=20°，则∠1的度数是()A．30°B．40°C．50°D．80°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【解答】解：如图：∵a//b，∴∠1=∠4，∵∠3是ΔABC的一个外角，∴∠3=∠4+∠2，∵∠3=80°，∴∠1+∠2=80°，∵∠1−∠2=20°，∴2∠1+∠2−∠2=100°，∴∠1=50°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注:步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是()6060A．x=100−xB．x=100+x100100100100C．x=100+xD．x=100−x6060【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．第3页（共17页）海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹152****2110x【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走×60，100x依题意，得：×60+100=x．故选：B．100【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．8．如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD=25°，则下列结论错误的是()A．AE⊥DEB．AE//ODC．DE=ODD．∠BOD=50°【考点】切线的性质；圆周角定理．【解答】解：∵弦AD平分∠BAC，∠EAD=25°，∴∠OAD=∠ODA=25°．∴∠BOD=2∠OAD=50°．故选项D不符合题意；∵∠OAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD//AC，即AE//OD，故选项B不符合题意；∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE．∴DE⊥AE．故选项A不符合题意；如图，过点O作OF⊥AC于F，则四边形OFED是矩形，∴OF=DE．在直角ΔAFO中，OA>OF．∵OD=OA，∴DE
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法与树状图法．【解答】解：把S、S、S分别记为A、B、C，123画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，42∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为=，故选：B．63【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，01时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)，∴a+b+c=0，∵a1，∴当10，∴方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；故选：C．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．分解因式：a2b3−2ab2=ab2(ab−2)．【考点】因式分解−提公因式法．【解答】解：a2b3−2ab2=ab2(ab−2)．故答案为：ab2(ab−2)．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．12．如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD=60°，则橡皮筋AC不会断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732)．【考点】勾股定理的应用；菱形的性质．【解答】解：设AC与BD相交于点O，1∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC=2AO，OD=BD，AD=AB=20cm，21∵∠BAD=60°，∴ΔABD是等边三角形，∴BD=AB=20cm，∴DO=BD=10(cm)，2在RtΔADO中，AO=AD2−DO2=202−102=103(cm)，∴AC=2AO=203≈34.64(cm)，∵34.64cm<36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．第6页（共17页）先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。——《汤显祖》152****2110k13．在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y)，B(5,y)在反比例函数y=(k>0)的图象上，则y>y（填12x12“>”“=”或“<”)．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．k【解答】解：∵k>0，∴反比例函数y=(k>0)的图象在一、三象限，x∵5>2>0，∴点A(2,y)，B(5,y)在第一象限，y随x的增大而减小，∴y>y，故答案为：>．1212【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．14．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将ΔBCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=4，b=2，则矩形ABCD的面积是16．【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质．【解答】解：设小正方形的边长为x，∵a=4，b=2，∴BD=2+4=6，在RtΔBCD中，DC2+BC2=DB2，即(4+x)2+(x+2)2=62，整理得，x2+6x−8=0，而长方形面积为=(x+4)(x+2)=x2+6x+8=8+8=16∴该矩形的面积为16，解法二：由题意得第一个矩形的左上角的三角形面积=第二个矩形左上角的长方形的面积=4×2=8，所以原矩形面积为16故答案为：16．【点评】本题考查了勾股定理以及运用和一元二次方程的运用，解题的关键是构建方程解决问题．15．如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移第7页（共17页）天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《易经》穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》152****21101个单位长度，则点B′′的坐标为(−2，6+1)．【考点】坐标与图形变化−旋转；坐标与图形变化−平移．【解答】解：过B′作B′D⊥y轴于D，连接OB，OB′，如图：∵边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，∴∠BOB′=75°，∠BOC=45°，OB=OB′=22，∴∠B′OD=30°，1∴B′D=OB′=2，OD=3B′D=6，∴B′(−2，6)，2∵再沿y轴方向向上平移1个单位长度，∴B″(−2，6+1)，故答案为：(−2，6+1)．【点评】本题考查正方形的旋转和平移变换，解题的关键是掌握旋转、平移变换的性质及正方形的性质．三．解答题（共9小题）216．计算：(−6)×(−■)−23．3圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．121（1）如果被污染的数字是，请计算(−6)×(−)−23．232（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．【考点】有理数的混合运算；一元一次方程的应用．第8页（共17页）穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《易经》152****2110211【解答】解：（1）(−6)×(−)−23=(−6)×−8=−1−8=−9；326（2）设被污染的数字为x，2根据题意得：(−6)×(−x)−23=6，解得：x=3，答：被污染的数字是3．3【点评】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，体现了方程思想，设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程是解题的关键．17．孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师．阅读、
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法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表组别时长t（单位：h)人数累计人数第一组1t2正正正正正正30第二组2t3正正正正正正正正正正正正60第三组3t4正正正正正正正正正正正正正正70第四组4t5正正正正正正正正40根据以上信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第三组；（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为30%，对应的扇形圆心角的度数为108°；（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？第9页（共17页）非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》152****2110【考点】频数（率)分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本估计总体；频数（率)分布表．【解答】解：（1）补全频数分布直方图如下：（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第三组，故答案为：三；（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为：；对应的扇形圆心角的度数为：360°×30%=108°，故答案为：30%；108；30（4）2200×=330（人)，200答：估计该校学生中有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．【点评】本题考查中位数、频数分布表以及频数分布直方图，掌握频数统计的方法是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数ky=(x>0)的图象交于点C，连接OC．已知点B(0,4)，ΔBOC的面积是2．x（1）求b、k的值；（2）求ΔAOC的面积．k（3）观察图象，直接写出关于x不等式：2x+b>(x>0)的解集．x【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）∵一次函数y=2x+b的图象过点B(0,4)，∴b=4，∴一次函数为y=2x+4，11∵OB=4，ΔBOC的面积是2．∴OB⋅x=2，即×4⋅x=2，∴x=1，2C2CC把x=1代入y=2x+4得，y=6，∴C(1,6)，k∵点C在反比例函数y=(x>0)的图象上，∴k=1×6=6；x第10页（共17页）人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》常将有日思无日，莫待无时思有时。——《增广贤文》152****21101（2）把y=0代入y=2x+4得，2x+4=0，解得x=−2，∴A(−2,0)，∴OA=2，∴S=×2×6=6；ΔAOC2k（3）当x>1时，2x+b>(x>0)．x【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．19．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4∵(y2)20∴(y2)244∴代数式y2+4y+8的最小值为4．（1）求代数式x2−6x+11的最小值；（2）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）x2−6x+11=x2−6x+9+2=(x−3)2+2，∵(x3)20,∴(x3)222∴代数式x2−6x+11的最小值为2；（2）矩形养殖场的总面积是ym2，24−x−2x根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为=(8−x)m，3∵墙的长度为10m，第11页（共17页）天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《易经》丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。——《顾炎武》152****2110，根据题意得：y=(x+2x)×(8−x)=−3x2+24x=−3(x−4)2+48，∵−3<0，1010140∴当x=时，y取最大值，最大值为−3×(−4)2+48=(m2)，33310140答：当x=时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．33【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．20．如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地ABCD（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏BC的长为x米，解答下列问题：（1）AB=(54−3x)米（用含x的代数式表示）；（2）若矩形场地ABCD面积为240平方米，求栅栏BC的长．【考点】一元二次方程的应用．【解答】解：（1）根据题意，AB=52−3x+2=(54−3x)米，故答案为：(54−3x)；（2）依题意得：x(54−3x)=240，整理得：x2−18x+80=0，解得：x=8，x=10．12当x=8时，54−3x=54−3×8=30>25，不合题意，舍去；当x=10时，54−3x=54−3×10=24<25，符合题意．答：栅栏BC的长为10米．【点评】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，根据题意，正确列出一元二次方程并正确求解是解答的关键，注意要检验解符合题意．21．已知一个矩形花园的一面靠墙（墙长5m)，另外三面用总长度为9m的栅栏围成，并且平行于墙的一边开有宽1m的门（如图）．第12页（共17页）非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗152****2110（1）当花园垂直于墙的一边长为多少时，花园的面积为12m2？（2）花园的面积能否为13m2？请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【解答】解：（1）设当花园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为(9+1−2x)m，依题意得：x(9+1−2x)=12，整理得：x2−5x+6=0，解得：x=2，x=3．12当x=2时，9+1−2x=6>5，不合题意，舍去；当x=3时，9+1−2x=4，符合题意．答：当花园垂直于墙的一边长为3米时，花园的面积为12m2．（2）假设可以，设当花园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为(9+1−2x)m，依题意得：x(9+1−2x)=13，整理得：2x2−10x+13=0，∵△=(−10)2−4×2×13=−4<0，∴该方程无解，假设不成立．∴花园的面积不能为13m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：ΔCED∽ΔBAD；（2）当DC=2AD时，求CE的长．第13页（共17页）万两黄金容易得，知心一个也难求。——《曹雪芹》谋事在人，成事在天！——《增广贤文》152****2110【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【解答】（1）证明：如图1，∵∠CDE=∠BDA，∠A=∠E，∴ΔCED∽ΔBAD；（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，∵ΔABC是边长为6等边三角形，∴∠A=60°，AC=AB=6，∵DC=2AD，∴AD=2，DC=4，ECAB6∵ΔCED∽ΔBAD，∴===3，∴EC=3DE，DEAD2∵∠E=∠A=60°，DF⊥EC，∴∠EDF=90°−60°=30°，∴DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，DF=3x，EC=6x，∴FC=5x，在RtΔDFC中，DF2+FC2=DC2，∴(3x)2+(5x)2=42，2727127解得：x=或−（不符合题意，舍去），∴EC=6x=．777【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识是解决问题的关键．23．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，第14页（共17页）人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》152****2110BC>5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．（1）如图②，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．【考点】弧长的计算；圆心角、弧、弦的关系．【解答】解：（1）设BC与⊙O交于点M，当t=2.5时，BE=2.5，1∵EF=10，∴OE=EF=5，∴OB=2.5，∴EB=OB，2在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∴ME=MO，又∵MO=EO，∴ME=EO=MO，∴ΔMOE是等边三角形，∴∠EOM=60°，60π×55π5π∴l==，即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为；ME18033（2）连接GO，HO，∵∠GOH=90°，∴∠AOG+∠BOH=90°，∵∠AGO+∠AOG=90°，∴∠AGO=∠BOH，在ΔAGO和ΔOBH中，，∴ΔAGO≅ΔBOH(AAS)，第15页（共17页）忍一句，息一怒，饶一着，退一步。——《增广贤文》海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐152****2110∴OB=AG=t−5，∵AB=7，∴AE=t−7，∴AO=5−(t−7)=12−t，在RtΔAGO中，AG2+AO2=OG2，∴(t−5)2+(12−t)2=52，解得：t=8，t=9，即t的值为8或9．12【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键．24．如图，二次函数y=−x2+2mx+2m+1(m是常数，且m>0)的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数y=−x2+2mx+2m+1(m是常数，且m>0)的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．【考点】二次函数综合题．【解答】解：（1）当y=0时，−x2+2mx+2m+1=0，解方程，得x=−1，x=2m+1，12∵点A在点B的左侧，且m>0，∴A(−1,0)，B(2m+1,0)，当x=0时，y=2m+1，∴C(0,2m+1)，∴OB=OC=2m+1，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=45°；（2）如图1中，连接AE．第16页（共17页）以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子·牧民》大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？——《罗贯中》152****2110∵y=−x2+2mx+2m+1=−(x−m)2+(m+1)2，∴D(m，(m+1)2)，F(m,0)，∴DF=(m+1)2，OF=m，BF=m+1，∵A，B关于对称轴对称，∴AE=BE，∴∠EAB=∠OBC=45°，∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC，∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACE=∠DBF，AEBEBFm+1m+1∵EF//OC，∴tan∠ACE====，∴=m+1，∴m=1或−1，CECEOFmm∵m>0，∴m=1；（3）如图，设PC交x轴于点Q．当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA>∠CBA，即∠CQA>45°，3−1∵∠ACQ=75°，∴∠CAO<60°，∴2m+1<3，∴m<，21−3又∵∠CAQ>15°，同法可得m>，23−1∵m>0，∴0
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