复变函数与拉氏变换

复变函数与拉氏变换目录第一章复数与复变函数11.1复数及其运算.......................................11.1.1复数的概念....................................11.1.2复数的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示法...................................11.1.3复数的四则运算.................................21.1.4复数的n次方根..................................31.2复平面上的曲线和区域.................................31.2.1复平面上的曲线方程..............................31.2.2简单曲线与光滑曲线..............................31.2.3区域.........................................41.3复变函数..........................................41.3.1复变函数的概念.................................41.3.2映射.........................................51.4复变函数的极限和连续性...............................61.4.1复变函数的极限.................................61.4.2复变函数的连续性................................7第二章解析函数82.1解析函数的概念.....................................82.1.1复变函数的导数与微分.............................82.1.2复解析函数的概念................................92.2函数解析的充要条件..................................102.3初等函数..........................................102.3.1指数函数......................................102.3.2对数函数......................................112.3.3幂函数.......................................122.3.4三角函数和双曲函数..............................122.3.5反三角函数和反双曲函数...........................13第三章复变函数的积分143.1复变函数积分的概念和性质..............................143.1.1复变函数积分的定义..............................143.1.2积分存在的条件及其 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 ........................143.1.3复变函数积分的性质..............................1523.2Cauchy积分定理及其应用...............................163.2.1Cauchy积分定理.................................163.2.2解析函数的原函数及其在积分计算中的应用................163.3Cauchy积分公式和解析函数的高阶导数.......................173.3.11.Cauchy积分公式................................173.3.2解析函数的高阶导数..............................183.4解析函数与调和函数的关系..............................19第四章复级数224.1复数项级数........................................224.1.1复数列的极限...................................224.1.2复数项级数的概念................................224.1.3复数项级数的审敛法..............................224.2幂级数...........................................224.2.1函数项级数....................................224.2.2幂级数及其收敛性................................234.2.3幂级数的收敛圆与收敛半径..........................234.2.4幂级数的运算性质................................244.3Taylor级数.........................................254.3.1解析函数的Taylor展开定理..........................254.3.2解析函数的幂级数展开法...........................254.4Laurent级数........................................264.4.1Laurent级数展开定理..............................274.4.2Laurent级数展开法及其应用..........................27第五章留数及其应用295.1函数的孤立奇点.....................................295.1.1孤立奇点的概念和分类.............................295.1.2函数的零点与极点的关系...........................305.2留数.............................................325.2.1留数的定义和计算................................325.2.2留数定理......................................34第六章Laplace变换356.1Laplace变换的概念....................................356.1.1Laplace变换的定义................................356.1.2Laplace变换求法举例..............................356.1.3Laplace变换的存在定理.............................366.2Laplace变换的性质...................................376.2.1线性性质......................................376.2.2微分性质......................................376.2.3积分性质......................................386.2.4位移性质......................................406.2.5延迟性质......................................406.2.6标度改变性质...................................406.3卷积.............................................416.3.1卷积的概念....................................416.3.2卷积定理......................................416.4Laplace逆变换.......................................426.4.1反演积分公式...................................426.4.2Laplace逆变换的求法..............................436.5Laplace变换的应用....................................466.5.1计算广义积分...................................466.5.2解常微分方程...................................466.5.3解积分方程....................................46第一章复数与复变函数复数复变函数极限连续§1.1复数及其运算§1.1.1复数的概念数系的扩充自然数（对加、乘封闭）—-整数（对加、减、乘封闭）—-有理数（对加减乘除四则运算封闭）—-实数—-复数引入虚数单位:i2=−1(1.1)定义1.1.1.一个复数(acomplexnumber)是一形如a+bi的表达式，其中a，b为实数，分别称为a+bi的实部(realpart)，虚部(imaginarypart)。两个复数a+bi=c+diiffa=c且b=d.定义1.1.2.z=a+bi的共轭复数z̄:=a−bi(1.2)§1.1.2复数的表示法§1.1.2.1代数形式z=a+bi(1.3)与xOy平面上的点可建立一一对应关系；与xOy平面上从原点出发的向量建立一一对应关系.此时xOy平面也称为复平面。实轴虚轴§1.1.2.2三角形式z=r(cosθ+isinθ)(1.4)复数z的模r=√x2+y2复数z的辐角θ:以x轴正半轴为始边、向量OZ为终边的角,用Arg(z)表示.复数z的辐角主值arg(z)：满足−π<Arg(z)≤π的辐角.-6>xxyyz=x+yi.................oθ§1.1.2.3指数形式z=reiθ(1.5)1§1.1.3复数的四则运算类似于多项式运算，遇到i2就换成−1.设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，定义z1±z2=x1±x2+i(y1±y2);(1.6)z1·z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1);(1.7)z1z2=z1z2|z2|2(z2,0)(1.8)交换律结合律乘法对加法的分配率z1+z2=z2+z1,z1z2=z2z1(1.9)z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3,z1(z2z3)=(z1z2)z3(1.10)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(1.11)共轭复数主要性质z1±z2=z1±z2(1.12)z1z2=z1z2(1.13)(z1z2)=z1z2(1.14)z=z(1.15)zz=[Re(z)]2+[Im(z)]2(1.16)z+z=2[Re(z)](1.17)z−z=2i[Im(z)](1.18)利用复数的三角形式进行乘除运算设z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)](1.19)z1z2=r1r2[cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)](1.20)对于z=r(cosθ+isinθ),任意正整数n,有zn=rn(cosnθ+isinnθ).(1.21)特别，当|z|=1时，有DeMoivre公式：(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ.(1.22)2§1.1.4复数的n次方根设z=r(cosθ+isinθ),0，其n次方根为w=ρ(cosφ+isinφ)，则ρn(cosnφ+isinnφ)=r(cosθ+isinθ)当且仅当ρn=r，nφ=2kπ+θ，即ρ=r1n，φ=2kπ+θn,k=0，1，2，……，n-1，即z=r(cosθ+isinθ)的n次方根可表为r1n(cos2kπ+θn+isin2kπ+θn),k=0，1，2，……，n-1.§1.2复平面上的曲线和区域§1.2.1复平面上的曲线方程§1.2.1.1直角坐标形式F(x,y)=0−→F(z+z̄2,z−z̄2i)=0§1.2.1.2参数形式x=x(t)y=y(t)−→z=z(t)=x(t)+iy(t),α≤t≤β例1.2.1.圆周的参数方程x=x0+Rcosty=y0+Rsint0≤t≤2π.复数形式z=z0+R(cost+isint)或z=z0+Reit,t∈[0,2π),z0=x0+iy0.例1.2.2.将圆周(x−x0)2+(y−y0)2=R2化为复数形式.解将x=z+z̄2,y=z−z̄2i代入上式，化简得(z−z0)(z+z0)=R2,即|z−z0|=R§1.2.2简单曲线与光滑曲线连续曲线：z(t)=x(t)+iy(t)在复平面决定的点集，其中x(t),y(t)为闭区间[α,β]上的两个实变量连续函数.定义1.2.1.简单曲线(Jordan曲线)C:满足∀t1,t2∈[α,β],t1,t2(且不同时为[α,β]的端点)，总有z1,z2的连续曲线。简单闭曲线：起点与终点重合的简单曲线.3...............................................................................................................-简单曲线简单闭曲线-定义1.2.2.光滑曲线C[z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)]:x′(t),y′(t)均在[α,β]上连续，且不同时为零。分段光滑曲线：由有限条光滑曲线依次连接所成的曲线.§1.2.3区域§1.2.3.1区域的概念设z0为一定点，δ>0为一常数，则称复平面上以z0为中心δ>0为半径的圆内部的点的集合{z:|z−z0|<δ}称为点z0的一个δ−邻域，记作Nδ(z0)；z0的一个去心δ邻域：{z:0<|z−z0|<δ}.设G为复平面上的点集，内点z0:z0∈G，且存在z0的一个邻域Nδ(z0)⊂G；界点P：点P的任一邻域内既包含G的点，又包含不属于G的点.开集：集合的每一点都是它的内点。连通：集合是连通的，指对集合中任意两点，总有属于该集合的折线连结它们.定义1.2.3.一个复平面上的集合D称为区域(domain)，若D是连通的开集.闭区域：区域及其边界的并集，记作D.有界域和无界域：若一个区域D可以包含在一个以原点为中心的某个圆内部，即∃常数M>0，使得∀z∈D，都有|z|<M，则称D是有界的，否则称它是无界的.复平面上有界的区域和无界的区域分别称为有界域和无界域.§1.2.3.2单连通区域和多连通区域定义1.2.4.单连通区域：复平面上的一个区域D，其中任一简单闭曲线的内部总是完全属于D.多连通区域：不是单连通区域的区域.单连通区域D的特征：属于D的任一简单闭曲线，在D内可经过连续的变形而收缩成一点.形象地说：没有“洞”.§1.3复变函数§1.3.1复变函数的概念定义1.3.1.设G是一个非空集合，若∀z=x+iy∈G，按照某一确定的对应法则，总有一个(多个)复数w=u+iv与之对应，则称复变数w是复变数z的单值(多值)函数，简称复变4函数，记作w=f(z),其中z叫做自变量，w叫做因变量，集合G叫做该函数的定义域，与G中所有z对应的w的集合G∗叫做该函数的值域.今后若无特殊声明，所讨论的复变函数均为单值函数.复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)表明，w和z之间的关系实际上相当于两个关系式：u=u(x,y),v=v(x,y)例1.3.1.考察函数w=z2.令z=x+iy,w=u+iv，则u+iv=(x+iy)2=x2−y2+2xyi，因而w=z2对应于两个实变函数：u=x2−y2,v=2xy§1.3.2映射复变函数w=f(z)是z平面到w平面的映射.不是一一映射的函数也有反函数.与一元实函数类似,还可定义复合函数(或复合映射).如w=ζ+1,ζ=z2,则w=z2+1.例1.3.2.求下列各点、曲线、区域或曲线族在映射w=z2下的象:1)z1=1+√3i,z2=2i,z3=−1+i;2)以原点为心,2为半径第一象限里的圆弧;3)角形域0≤argz≤α<π2;4)双曲线族x2−y2=C1及2xy=C2(C1,C2为常数.);5)倾角为θ=π3的直线(可视为两条射线).解1)w1=z21=−2+2√3i,w2=(2i)2=−4,w3=(−1+i)2=−2i;2)w=4eiθ,0<θ<π;3)设z=reiθ,则z2=r2ei2θ,从而在映射w=z2下,角形域0≤argz≤α<π2的象为0≤argw≤2α<π;4)设z=x+iy,则w=(x+iy)2=x2−y2+i2xy,因而w=z2将z平面上双曲线族x2−y2=C1映射成w平面上的平行直线族u=C1,将z平面上双曲线族2xy=C2映射成w平面上的平行直线族v=C2;5)倾角为2π3的直线.例1.3.3.求下列曲线在映射w=1z下的象:1)2(x2+y2)+3x−4y+1=0;2)2zz+12(3+4i)z+12(3−4i)z+1=0.解1)由x+iy=z=1w=1u+iv=u−ivu2+v2得x=uu2+v2,y=−vu2+v2.5代入所给方程,化简,得所求象曲线为u2+v2+3u+4v+2=0.2)z=1w,z=1z,代入所给曲线方程,化简,得所求象曲线为ww+12(3−4i)w+12(3+4i)w+2=0.§1.4复变函数的极限和连续性§1.4.1复变函数的极限定义1.4.1.设函数f(z)在z0的某一去心邻域内有定义.称当z趋于z0时f(z)的极限是A并记作limz→z0f(z)=A，若∀ε>0,∃δ>0,当0<|z−z0|<δ时，恒有|f(z)−A|<ε.几何意义：当点z一旦进入z0的充分小的δ去心邻域时，f(z)就落入A的预先给定的ε邻域中注：与一元函数的极限形式上一致，但实质上：在去心邻域内沿任何方向、以任意路径和方式趋于z0.定理1.4.1.设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z=x0+iy0，则limz→z0f(z)=A⇔limx→x0y→y0u(x,y)=u0,limx→x0y→y0v(x,y)=v0证.⇒：若limz→z0f(z)=A，则由极限定义，知∀ε>0,∃δ>0,当0<|(x+iy)−(x0+iy0)|<δ时，有|(u+iv)−(u0+iv0)|<ε,从而|u−u0|<ε,|v−v0|<ε⇐：若limx→x0y→y0u(x,y)=u0,limx→x0y→y0v(x,y)=v0,则∀ε>0,∃δ>0,当0<|x−x0|<δ2,0<|y−y0|<δ2时，有0<√(x−x0)2+(y−y0)2<δ，从而|u(x,y)−u0|<ε2,∥v(x,y)−v0|<ε2,故|[u(x,y)+iv(x,y)]−(u0+iv0)|<ε,即limz→z0f(z)=A.定理1.4.2.Iflimz→z0f(z)=Aandlimz→z0g(z)=B,then(i)limz→z0(f(z)±g(z))=A±B,(ii)limz→z0f(z)g(z)=AB,(iii)limz→z0f(z)g(z)=ABifB,0.6例1.4.1.证明函数f(z)=Re(z)|z|当z→z0时极限不存在。分析f(z)=x√x2+y2，联想到多元微积分的知识，此式与路径有关．证.f(z)=x√x2+y2,u(x,y)=x√x2+y2,v(x,y)=0.令z沿y=kx趋于零,则limx→0(y=kx)u(x,y)=limx→0(y=kx)x√x2+y2=limx→0x√(1+k2)x2此极限不存在,从而f(z)的极限也不存在.证法二.f(z)=cosθ,z沿不同方向arg(z)=θ→0时,f(z)可能有所不同．如，θ=0,π2,f(z)分别趋于1,0,从而极限不存在.§1.4.2复变函数的连续性定义1.4.2.Letfbeafunctiondefinedinaneighborhoodofz0.Thenfiscontinuousatz0iflimz→z0f(z)=f(z0).称函数f(z)在区域D内连续，若f(z)在D内处处连续.定理1.4.3.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0连续⇔u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)连续.定理1.4.4.(1)Iff(z)andg(z)arecontinuousatz0,thensoaref(z)±g(z)andf(z)g(z).Thequotientf(z)/g(z)isalsocontinuousatz0providedg(z0),0.(2)Ifh=g(z)iscontinuousatz0,w=f(h)iscontinuousath0=g(z0),thenw=f(h(z))iscontinuousatz0.由以上结论可见,由于常量函数和f(z)=z在复平面上是连续函数,复有理多项式w=P(z)=anzn+an−1zn−1+···+a1z+a0在整个复平面上连续,而复有理分式函数w=P(z)/Q(z)在复平面内使分母Q(z),0的点处连续,其中P,Q都是复有理多项式.由|f(z)|=√u2+v2及实函数性质,有定理1.4.5.设函数f(z)在有界闭区域D上连续,则f(z)在D上达到其最大模和最小模.推论函数f(z)若在有界闭区域D上连续，则在D上有界．注函数f(z)在曲线C上z0处连续，指：limz→z0f(z)=f(z0),z∈C.若函数f(z)在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段C上连续,则f(z)在C上有界，即∃M>0,使当z∈C时,恒有|f(z)|≤M.7第二章解析函数§2.1解析函数的概念§2.1.1复变函数的导数与微分定义设函数w=f(z)在点z0的某邻域Nδ(z0)内有定义,若极限lim△z→0△w△z=lim△z→0f(z0+△z)−f(z0)△z存在,则称f(z)在点z0可导,并称此极限值为f(z)在z0点的导数,记作f′(z0)或dwdz|z=z0.否则,称f(z)在z0点不可导或导数不存在.于是f′(z0)=dwdz|z=z0=lim△z→0f(z0+△z)−f(z0)△z或f′(z0)=dwdz|z=z0=limz→z0f(z)−f(z0)z−z0.若f(z)在区域D内处处可导,则称f(z)在D内可导.例求f(z)=z2的导数.解lim△z→0f(z0+△z)−f(z0)△z=lim△z→0(z+△z)2−z2△z=lim△z→0(2z+△z)=2z,故f′(z)=2z.例f(z)=x+2yi是否可导?解lim△z→0f(z0+△z)−f(z0)△z=lim△z→0(x+△x)+2(y+△y)i−x−2yi△x+i△y=lim△z→0△x+2i△y△x+i△y.若z+△z沿平行于x轴的方向趋于z,则△y=0,lim△z→0△x+2i△y△x+i△y=lim△z→0△x△x=1;若z+△z沿平行于y轴的方向趋于z,则△x=0,lim△z→0△x+2i△y△x+i△y=lim△z→02i△yi△y=2,故f(z)=x+2yi不可导.连续与可导的关系由此例可见,连续函数未必可导.若函数在z0可导,则在z0连续:要证limz→z0(f(z)−f(z0))=0.事实上limz→z0f(z)−f(z0)z−z0(z−z0)=f′(z0)·0.8复变函数的求导法则(1)[f(z)±g(z)]′=f′(z)±g′(z);(2)[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)+f(z)g′(z);(3)[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)−f(z)g′(z)g2(z),g(z),0;(4){f[g(z)]}′=f′(w)g′(z),其中w=g(z);(5)f′(z)=1φ′(z)其中w=f(z)与z=φ(w)为两互为反函数的单值函数,且φ′(w),0.复变函数的微分limz→z0f(z0+△z)−f(z0)△z=f′(z0)⇔△w△z−f′(z0)=O(△z)(2.1)△w=f(z0+△z)−f(z0)=f′(z0)△z+o(△z).(2.2)定义2.1.1.设函数w=f(z)在点z0处有导数f′(z0)则称f′(z0)△z为w=f(z)在点z0处的微分,记作dw|z=z0=f′(z)△z,此时也称w=f(z)在点z0处可微.§2.1.2复解析函数的概念定义2.1.2.称函数w=f(z)在点z0解析,若函数w=f(z)在点z0的某邻域内处处可导.称z0为f(z)的奇点,若w=f(z)在点z0不解析.注:解析一定可导,可导未必解析.例2.1.1.研究函数f(z)=z2,g(z)=x+2yi和h(z)=|z|2的解析性.解由上面例知f(z)=z2在复平面内解析,而g(z)处处不可导,因而处处不解析.h(z0+△z)−h(z0)△z=|z0+△z|2−|z0|2△z=z0+△z+z0△z△z若z0=0,则当△z→0时,上式极限为零.若z0,0,令z0+△z沿直线y−y0=k(x−x0)趋于z0,由k任意,△z△z=△x−i△y△x+i△y=1−△y△x1+△y△x=1−ki1+ki不趋于一个确定的值.所以,当△z→0时,比值h(z0+△z)−h(z0)△z的极限不存在.无处解析.解析函数的和、差、积、商、复合9§2.2函数解析的充要条件定理2.2.1.复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是:u(x,y)和v(x,y)在D内任一点z=x+iy可微且满足Cauchy-Riemann方程u′x=v′y,u′y=−v′x.(2.3)注1由证明过程易得f(z)在一点可导的充要条件.注2由证明过程得f′(z)=ux+ivx,考虑到Cauchy-Riemann方程,有f′(z)=ux+ivx=ux−iuy=vy+ivx=vy−iuy.(2.4)注3在判断u,v可微时,常用充分条件u,v具有一阶连续偏导数.例2.2.1.判定下列函数在何处可导,在何处解析:1)w=z̄;2)f(z)=ex(cosy+isiny);3)w=zRe(z).解w=x−iy.u=x,v=−y.∂u∂x=1,∂v∂y=−1.处处不可导,处处不解析.2)u=excosy,v=exsiny,显然在整个复平面上u,v可微.又ux=excosy,uy=−exsiny,vx=exsiny,vy=excosy.ux=vy,uy=−vx,故处处可导,处处解析.3)u=x2,v=xy.显然在整个复平面上u,v可微.又ux=2x,uy=0,vx=y,vy=x.ux=vy,uy=−vx,仅在z=0处成立,故w仅在原点可导,无处解析.§2.3初等函数§2.3.1指数函数定义2.3.1.∀复数z=x+iy,定义函数w=ex(cosy+isiny)为z的指数函数(exponentialfunction),记作w=ez=ex+iy=ex(cosy+isiny).注1|ez|=ex,Arg(ez)=y+2kπ(k为整数).注2当Re(z)=x=0时,得Euler公式:eiy=cosy+isiny.当Im(z)=y=0时,ez=ex.指数函数性质1)ez=ez+2kπi.2)∀z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,有ez1ez2=ez1+z2,ez1ez2=ez1−z2.但是(42)12,(412)2.3)dwdz=ez.10§2.3.2对数函数定义2.3.2.称满足方程ew=z(z,0)的w为复数z的对数函数(logarithmicfunction),记作w=Lnz.设w=u+iv,z=|z|eiArg(z),代入ew=z得eu+iv=|z|eiArg(z)=|z|ei(arg(z)+2kπ)u=ln|z|,v=Arg(z)=arg(z)+2kπ,Lnz=ln|z|+iarg(z)+2kπi.每两个分支相差2πi的整数倍.Lnz的主值:k=0的单值分支,记作lnz=ln|z|+iarg(z).Lnz=lnz+2kπi.对数函数的解析性lnz在除去原点和负实轴的复平面内连续且单值,dlnzdz=1dewdw=1ew=1z,故lnz在除去原点和负实轴的复平面内解析.对于一般的分支,有(Lnz)k=ln|z|+iarg(z)+2kπi,(Lnz)′k=1z.性质:(集合意义上)Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2;Lnz1z2=Lnz1−Lnz2.例求Ln2,Ln(−1)及它们相应的主值.解:Ln2=ln2+iarg(2)+2kπi=ln2+2kπi，其主值为ln2;Ln(−1)=ln|−1|+iarg(−1)+2kπi=(2k+1)πi，其主值为ln(−1)=πi.11§2.3.3幂函数∀复数α及复变量z,0,w=zα:=eαLnz=eα(ln|z|+iarg(z)+2kπi).当α为正实数时,补充规定:0α=0.(1)当α=n为正整数时,zα是单值函数;(2)当α=−n为负整数时,zα=z−n=1zn是单值函数;(3)当α=1n(n为正整数)时,zα=n√z为根式函数,n√z=e1n[ln|z|+iarg(z)+2kπi]=e1nln|z|·ei[arg(z)+2kπ]/n=|z|1nei[arg(z)+2kπ]/n,(2.5)它只在k=0,1,2,···,n−1时取不同的值,是具有n个分支的多值函数;(4)当α=mn(m,n互质的整数,且n>0)时,zα=|z|mneim[arg(z)+2kπ]/n只在k=0,1,···,n−1有n个不同的值,是具有n个分支的多值函数;(5)当α为无理数或虚数(非实复数)时,zα有无穷多个值,且zα=eα(ln|z|+iarg(z)+2kπi).幂函数的解析性w=zα:=eαLnz=eα(ln|z|+iarg(z)+2kπi).zα的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析,且(zα)′=(eαLnz)′=eαLnz·α·1z=αzα−1.例求1√2和ii的值.解1√2=e√2Ln1=e√2(2kπi)=cos(2√2kπ)+isin(2√2kπ),(k=0,±1,±2,···).ii=eiLni=ei(ln|i|+iπ2+2kπi))=e−(2k+1)π,(k=0,±1,±2,···).一般指数函数:w=αz:=ezLnα,(α,0,∞)§2.3.4三角函数和双曲函数三角函数cosz=eiz+e−iz2,sinz=eiz−e−iz2i.12性质(1)sin(z+2π)=sinz,cos(z+2π)=cosz.(2.6)(2)sin(−z)=−sinz,cos(−z)=cosz.(2.7)(3)sinz有零点z=nπ;cosz有零点z=(n+12)π.(4)(sinz)′=cosz;(cosz)′=−sinz.(5)sin(z1+z2)=sinz1cosz2+cosz1sinz2;cos(z1+z2)=cosz1cosz2−sinz1sinz2;sin2z+cos2z=1.(6)|sinin|=|en−e−n2|无界.(2.8)双曲函数shz=ez−e−z2chz=ez+e−z2thz=shzchzcthz=chzshz性质1)(shz)′=chz,(chz)′=shz2)[sh(z+2πi)]=shz,[ch(z+2πi)]=chz3)sh(−z)=−shz,ch(−z)=chz4)ch(iz)=cosz,cos(iz)=chzsh(iz)=isinz,sin(iz)=ishzch2z−sh2z=1§2.3.5反三角函数和反双曲函数13第三章复变函数的积分§3.1复变函数积分的概念和性质§3.1.1复变函数积分的定义定义3.1.1.设C是复平面内一条可求长的光滑(或逐段光滑)的有向曲线段,其起点为α,终点为β,函数f(z)在C上有定义.把曲线C任意分成n个弧段,记分点为α=z0,z1,z2,···,zn=β.在每个弧段zk−1zk(k=1,2,···,n)上任取一点ζk,并作出和式Sn=n∑k=1f(ζk)(zk−zk−1)=n∑k=1f(ζk)△zk,其中△zk=zk−zk−1,记△sk为弧段zk−1zk的长度,δ=max1≤k≤n{△sk},当n→∞且δ→0时,若对于曲线C的任意分法及ζk的任意取法,上述和式Sn极限存在且为同一值,则称函数f(z)沿曲线C可积,记作∫Cf(z)dz=limn→∞(δ→0)n∑k=1f(ζk)△zk.§3.1.2积分存在的条件及其计算公式定理3.1.1(复变函数积分与实函数积分的关系定理)复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿有向曲线C可积iff∫Cudx−vdy与∫Cvdx+udy都存在,且∫Cf(z)dz=∫Cudx−vdy+i∫Cvdx+udy.推论(复变函数积分存在的充分条件)若f(z)在光滑或逐段光滑的有向曲线段C上连续,则f(z)沿曲线C可积.若曲线C:z=z(t)=x(t)+iy(t),α≤t≤β,且z′(t),0,则∫Cf(z)dz=∫βαf[z(t)]z′(t)dt.例计算∫Czdz,其中C为从原点到3+4i的直线段.解:直线段的方程可写为x=3t,y=4t,0≤t≤1,或z=3t+i4t,0≤t≤1.在C上,z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt,于是∫Czdz=∫10(3+4i)t(3+4i)dt=∫10(−7)tdt+i∫1024tdt=−72+12i.14注∫Czdz=∫C(x+iy)(dx+idy)=∫Cxdx−ydy+i∫Cydx+xdy.(3.1)容易验证,上式右边两个积分只与始点、终点有关,而与曲线C无关.故∫Czdz的值,无论C是怎样连结原点到3+4i的曲线,只要光滑,都等于−72+12i.例3.1.1.设C为正向圆周|z−z0|=r(r>0),n为整数,试证In=∮Cdz(z−z0)n+1=2πi,n=0,0,n,0.证C:z=z0+reit,0≤t<2π.z′(t)=rieit.In=∮Cr−n−1e−i(n+1)trieitdt=irn∫2π0e−intdt.由此易见结论成立.头等重要的例子.§3.1.3复变函数积分的性质1)∫C−f(z)dz=−∫Cf(z)dz.2)∫Ckf(z)dz=k∫Cf(z)dz.3)∫C(f(z)±g(z)dz=∫Cf(z)dz±∫Cg(z)dz.4)∫Cf(z)dz=∑nk=1∫Ckf(z)dz.5)|∫Cf(z)dz|≤∫C|f(z)|ds≤ML.例3.1.2.计算积分∫Cz̄dz,其中C为1)从点A(0,1)到点B(1,2)的抛物线y=x2+1;2)从点A(0,1)到点N(1,1)再到点B(1,2)的折线段.解:∫Cz̄dz=∫C(x−iy)d(x+iy)=∫Cxdx+ydy+i∫Cxdy−ydx1)∫10xdx+(x2+1)2xdx+i∫10x·2xdx−(x2+1)dx=2−23i.2)(∫10xdx+i∫10−dx)+(∫21ydy+i∫21dy)=2.15§3.2Cauchy积分定理及其应用§3.2.1Cauchy积分定理定理3.2.1.(Cauchy积分定理)若函数f(z)在单.连通区域D内解析,则f(z)沿D内的任何一条闭曲线C有∮Cf(z)dz=0.推论若函数f(z)在闭曲线C上及内解析,则∮Cf(z)dz=0.由Cauchy积分定理,有定理3.2.2.若函数f(z)在单.连通区域D内解析,则f(z)沿D内曲线C的积分∫Cf(z)dz只与起点z0及终点z1有关,而与连接起点到终点的路径无关.由此定义函数F(z)=∫zz0f(ζ)dζ.引入§3.2.2解析函数的原函数及其在积分计算中的应用定理3.2.3.若f(z)=u+iv在单连通区域D内解析,则F(z)=∫zz0f(ζ)dζ.为D内的一个解析函数,且F′(z)=f(z).定义3.2.1.对于区域内确定的函数f(z),若∃函数φ(z)使在区域D内恒有φ′(z)=f(z),则称φ(z)为f(z)在D内的一个原函数.注:f(z)的任两原函数之间差一常数.定理3.2.4.若f(z)在单连通区域D内解析,G(z)为f(z)在D内的一个原函数,则对于D内的任两点z0,z1,有∫z1z0f(z)dz=G(z1)−G(z0).证∫z1z0f(z)dz=G(z1)+C.∫z0z0f(z)dz=0=G(z0)+C.16例3.2.1.求积分∫i0zcoszdz的值.解zcosz在复平面内解析,其一原函数为zsinz+cosz.故∫i0zcoszdz=(zsinz+cosz)i0=isini+cosi−1.例3.2.2.∮Cdzcosz.(P.56,6(3))0定理3.2.5.设C为多连通区域D内的一条简单闭曲线,C1,C2,···,Cn是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,且以C,C1,C2,···,Cn为边界的区域完全含于D.若f(z)在D内解析,则1)∮Cf(z)dz=∑nk=1∮Ckf(z)dz,其中C及Ck均取正向;2)∮Γf(z)dz=0,这里Γ为C及Ck(k=1,2,···,n)所组成的复合闭路.注n=1时,有∮Cf(z)dz=∮C1f(z)dz.意义:在区域内解析的函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内(不经过被积函数奇点)连续形变而改变积分的值.—闭路变形原理例3.2.3.由例3.1.1知,当曲线C为以z0为中心的正向圆周时,∮Cdzz−z0=2πi.由闭路变形原理知,任给一条正向简单闭曲线Γ,只要z0在Γ内,都有∮Γdzz−z0=2πi.例3.2.4.计算∮Γ2z−1z2−zdz,其中Γ为以圆周|z|=1在其内部的任何简单闭曲线.解:在复平面内2z−1z2−z有两个奇点0,1,它们位于Γ内.在Γ内分别作两小圆C1,C2,圆心分别为0,1,C1与C2不相交,则有∮Γ2z−1z2−zdz=∮C12z−1z2−zdz+∮C22z−1z2−zdz=∮C11z−1dz+∮C11zdz+∮C21z−1dz+∮C21zdz=0+2πi+2πi+0=4πi.§3.3Cauchy积分公式和解析函数的高阶导数§3.3.11.Cauchy积分公式引入∮C1z−z0dz=2πi.设D为单连通区域,z0为D内任一点,f(z)