1999年考研数学二真题

1999年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析一、填空题（1）曲线sin2cos2ttxetyet⎧=⎨=⎩在点()0,1处的法线方程为.【答】210yx+−=【详解】根据参数方程的求导公式，有cossin,sin22cos2ttttdyetetyxetet−=+与0,0xy==对应0t=，故0112|xydydx===，从而在点()0,1处的法线的斜率为-2，法线方程为()120,yx−=−−即210yx+−=（2）设函数()yyx=由方程()23lnsinxyxyx+=+确定，则0|xdydx==.【答】1.【详解】方程两边同时对x求导，视y为x的函数，得'23'223cosxyxyxyxxy+=+++由原方程知，0x=时1y=，代入上式，得'001.||xxdyydx====（3）25613xdxxx+=−+∫.【答】()213ln6134arctan.22xxxC−−+++【详解】()()22222613518613261361313ln6134arctan.22dxxxdxxxxxxxxxxC−++=+−+−+−+−=−+++∫∫∫考研数学助手您考研的忠实伴侣（4）函数221xyx=−在区间13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上平均值为.【答】31.12π+【详解】函数221xyx=−在区间13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上平均值为3222312263622sinsincoscos31311211sin2243131.12|xtdxxttdttxttπππππ=⋅−−−⎛⎞=−⎜⎟−⎝⎠+=∫∫（5）微分方程'''24xyye−=得通解为.【答】221214xxCeCxe−⎛⎞++⎜⎟⎝⎠.【详解】特征方程为：240λ−=解得122,2λλ==−故'''40yy−=的通解为2212xxyCeCe−=+由于非齐次项为()2xfxe=，2λ=为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为*2xyAxe=，代入原方程，得14A=故所求通解为*22211222121414xxxxxyyyCeCexeCeCxe−−=+=++⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠二、选择题（1）设()()21cos,0,0xxfxxxgxx−⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中()gx是有界函数，则()fx在0x=处（A）极限不存在.（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导.【】【答】应选（D）【详解】因为()()()'300201cos00limlim0,xxfxfxfxx+−→→−−+===()()()()()2'000000limlimlim0,xxxfxfxgxfgxxxx−−−→→→−−===可见，()fx在0x=处左、右导数相等，因此，()fx在0x=处可导，故正确选项为(D).（2）设()()()15sin00sin,1,xxttxdtxtdttαβ==+∫∫则当0x→时，()xα是()xβ的（A）高阶无穷小；（B）低阶无穷小；（C）同阶但不等价的无穷小；（D）等价无穷小.【】【答】应选（C）【详解】因为()()()()5011000sinsin0sinsin555limlim5lim11sincos1xxxxxtxtxdtxtxxexxtdtαβ→→→===≠+⋅+∫∫故()xα是()xβ的同阶但不等价的无穷小.因此正确选项为（C）.（3）设()fx是连续函数，()Fx是其原函数，则（A）当()fx是奇函数时，()Fx必是偶函数.（B）当()fx是偶函数时，()Fx必是奇函数.（C）当()fx是周期函数时，()Fx必是周期函数.（D）当()fx是单调增函数时，()Fx必是单调增函数.【】【答】应选（A）【详解】()fx的原函数()Fx可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为()()0,xFxftdtC=+∫于是()()()()00.xxFxftdtCutfuduC−−=+=−−−+∫∫当()fx为奇函数时，()()fufu−=−，从而有()()()()00xxFxfuduCftdtCFx−=+=+=∫∫即()Fx为偶函数.故（A）为正确选项.至于（B）、（C）、（D）可分别举反例如下：()2fxx=是偶函数，但其原函数()3113Fxx=+不是奇函数，可排除（B）；()2cosfxx=是周期函数，但其原函数()11sin224Fxxx=+不是周期函数，可排除（C）；()fxx=在区间()−∞+∞内是单调增函数，但其原函数()212Fxx=在区间()−∞+∞内非单调增函数，可排除（D）.（4）“对任意给定的()0,1ε∈，总存在正整数,N当nN≥时，恒有2nxαε−≤”是数列{}nx收敛于α的（A）充分条件但非必要条件；（B）必要条件但非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分条件又非必要条件；【】【答】应选（C）【详解】由数列{}nx收敛于α⇒“对任意给定的()10,1ε∈，总存在正整数1N当1nN≥时，恒有1nxαε−≤”，显然可推导处：“对任意给定的()0,1ε∈，总存在正整数,N当nN≥时，恒有2nxαε−≤”反过来，若有“对任意给定的()0,1ε∈，总存在正整数,N当nN≥时，恒有2nxαε−≤”则对任意的10ε>（不访设101ε<<，当时，取一ii111,01,εεε<<<代替即可），取1103εε=>，存在正整数,N当nN≥时，恒有，令11NN=−，则满足“对任意给定的()10,1ε∈，总存在正整数1N当1nN≥时，恒有1nxαε−≤可见上述两种说法是等价的，因此正确选项为（C）（5）记行列式212322212223333245354435743xxxxxxxxxxxxxxxx−−−−−−−−−−−−−−−为()fx，则方程()0fx=的根的个数为（A）1．（B）2（C）3.（D）4【】【答】应选（B）【详解】因为()210121002210122100331223312143734376xxxxfxxxxxxxxx−−−−−−==−−−−−−−−−−−−＝()21022104377xxxxxx−−−−=−−三、求()201tan1sinlim.ln1xxxxxx→+−++−【详解】原式＝()0tansin1limln11tan1sinxxxxxxxx→−⋅+−⎡⎤+++⎣⎦()()02001sin11coslim2cosln1112lim2ln1121lim14211xxxxxxxxxxxxxx→→→−=⋅⋅+−=+−==−−+四、计算21arctan.xdxx+∞∫【详解】方法一：原式＝11arctanxdx+∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠∫()()2112211limarctanlim111limlnlnln24221ln2limln4211ln242|bbbbbbxdxxxxbbbbπππ→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎞=−+⎜⎟+⎝⎠⎡⎤=+−++⎢⎥⎣⎦=+++=+∫方法二：作变换arctan,xt=则原式＝22244csccotttdttdtdtππππ=−⋅∫∫224424cotcot1lnsinln2442||tttdttππππππππ=−⋅+=+=+∫。五、求初值问题()()2210,00|xyxydxxdyxy=⎧++−=>⎪⎨⎪=⎩的解【详解】原方程可化为2221yxydyyydxxxx++⎛⎞==++⎜⎟⎝⎠令,yux=上述方程可化为21,duuxuudx+=++分离变量，得21dudxxu=+解得()2ln1lnuuxC++=+将yux=代回，得22ln1lnyyxCxx⎛⎞++=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠将10|xy==代入，得0,C=故初值问题得解为22ln1lnyyxxx⎛⎞++=⎜⎟⎜⎟⎝⎠即221,yyxxx++=化简得21122yx=−六、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m,抓斗自重400,N缆绳每米重500N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20/Ns的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①111;,,,NmJmNsJ×=分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计）【详解1】建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功123WWWW=++其中1W是克服抓斗自重所作的功；2W是克服缆绳重力作的功；3W为提出污泥所作的功.由题意知14003012000.W=×=将抓斗由x处提升到xdx+处，克服缆绳重力所作的功为()25030,dWxdx=−从而()302050022500.Wxdx=−=∫在时间间隔[],ttdt+内提升污泥需作功为()33200020.dWtdt=−将污泥从井底提升至井口共需时间30103=，所以()1030320002057000.Wtdt=−=∫因此，共需作功()12000225005700091500WJ=++=【详解2】作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W，当抓斗运动到x处时，作用力()fx包括抓斗的自重400,N缆绳的重力()()5030xN−，污泥的重力()12000203xN−⋅，即()()20170400503020003900,33fxxxx=+−+−=−于是()30302001708539003900117000245009150033|WxdxxxJ⎛⎞=−=−=−=⎜⎟⎝⎠∫七、已知函数()32,1xyx=−求(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图形的凹凸区间及拐点；(3)函数图形的渐进线.【详解】所给函数的定义域为()(),11,−∞∪+∞()()2'33,1xxyx−=−令'0y=，得驻点0x=及3.x=()''46,1xyx=−令''y=0，得0,x=列表讨论如下：x(),0−∞0()0,1()1,33()3,+∞'y+0+-0+''y-0++++y∩/拐点∪/∪2极小值∪/由此可知：（1）函数的单调增加区间为(),1−∞和()3,+∞；单调减少区间为()1,3，极小值为3274|xy==(2)函数图形在区间(),0−∞内是（向上）凸的，在区间()0,1，内是（向上）凹的，拐点为()0,0（3）由()321lim,1xxx→=+∞−知1x=是函数图形的铅直渐进线；由()22limlim1,1xxyxxx→∞→∞==−又()()22limlim2,1xxxyxxx→∞→∞⎡⎤−=−=⎢⎥−⎢⎥⎣⎦故2yx=+是函数图形的斜渐近线.八、设函数()yx在闭区间[]1,1−上具有三阶连续导数，且()()()'10,11,00,fff−===证明：在开区间()1,1−内至少存在一点,ξ使()'''3.fξ=【详解】方法一：在0x=处，将()fx按泰勒公式展开，得()()()()()'''2'''31100,2!3!fxffxfxxfxη=+++其中η介于0与x之间，[]1,1x∈−分别令1x=−和1x=，并结合已知条件，得()()()()()()()()()()'''''11'''''22110100,10,26111100,11,26ffffffffηηηη=−=+−−<<==++−<<两式相减，得()()''''''126ffηη+=由()'''fx的连续性，知()'''fx在闭区间[]12,ηη上有最大值和最小值，设它们分别为,Mm，则有()()''''''1212mffMηη⎡⎤≤+≤⎣⎦再由连续函数的介值定理知，至少存在一点[]()12,1,1ξηη∈⊂−，使()()()'''''''''12132fffξηη⎡⎤=+=⎣⎦方法二：令()()()()()2111102xxxxxfϕ=+++−，则()()()()()()()()''11,11,00,00ffffϕϕϕϕ=−=−==令()()(),Fxfxxϕ=−则()()()0110,FFF==−=由罗尔定理，知()()121,0,0,1ξξ∃∈−∈使得()()''''120.FFξξ==又()'00,F=由罗尔定理，知()()1122,0,0,ηξηξ∃∈∈使()()''''120.FFηη==再由罗尔定理()12,ξηη∃∈，使()'''0,Fξ=而()()()'''''''''FxFxxϕ=−，而()'''3,xϕ=所以()'''3Fξ=九、设函数()()0yxx≥二阶可导，且()()'0,01,fxy>=过曲线()yyx=上任意一点(),Pxy作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围程的三角形的面积记为1,S区间[]0,x上以()yyx=为曲边的曲边梯形面积记为2,S并设122,SS−恒为1，求此曲线()yyx=的方程.【详解】曲线()yyx=上点(),Pxy处的切线方程为()()()'YyxyxXx−=−它与x轴的交点为',0yxy⎛⎞−⎜⎟⎝⎠由于()'0yx>，()01,y=因此()()00yxx>>，于是有21''122yySyxxyy⎛⎞=−−=⎜⎟⎝⎠又()20,xSytdt=∫根据题设1221SS−=有()2'01,2xyytdty−=∫并且()'01.y=上述两边对x求导并化简得()2'''yyy=这是可降阶的二阶常微分方程，令'py=，则上述方程化为2dpyppdy=分离变量，得dpdypy=解得1,pCy=即1,dyCydx=从而12CxCye+=根据()01,y=()'01.y=得121,0,CC==故所求曲线的方程为xye=十、设()fx是区间[)0,+∞上单调减少且非负的连续函数，()()()111,2,,nnnkafkfxdxn==−=∑∫"证明数列{}na的极限存在.【详解】由题设可得()()()()111,2,kkfkfxdxfkk++≤≤=∫"所以有()()1110nnnnaafnfxdx++−=+−≤∫即数列{}na单调下降，又()()11nnnkafkfxdx==−∑∫()()()()()11111110nnkkkknkkkfkfxdxfkfxdxfn−+==−+==−=−+≥⎡⎤⎣⎦∑∑∫∑∫即数列{}na有下界.十一、设矩阵111111,111A−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦矩阵X满足*12,AXAX−=+其中*A是A的伴随矩阵，求矩阵.X【详解】在已知矩阵等式两边同时左乘,A得*12,AAXAAAX−=+利用公式*AAAE=，上式可化为2AXEAX=+即()2,AEAXE−=从而()12XAEA−=−由于1111114111A−=−=−11122111111AEA−−=−−−故1111101111101124111101X−=−−=−十二、设向量组()()121,1,1,3,1,3,5,1,TTαα==−−()33,2,1,2,Tpα=−+()42,6,10,Tpα−−（1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量()4,1,6,10Tα=用1α，2α，3α，4α线性表出；（2）p为何值时，该向量组线详相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.【详解】由于行列式()()12,3411321326,,2215110312pppαααα−−−−==−−+可见：（1）当2p≠时，向量组12,34,,αααα线性无关.此时设1123344xxxxααααα=+++对矩阵()12,34,,ααααα#作初等行变换：()12,34113211324132602143,,,,15110064122312047621132401324021431214300707001010092200021ppppppppααααα−−−−⎡⎤⎢⎥−−−−−−⎢⎥=→⎢⎥−−⎢⎥+−+−⎣⎦−−−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−−−−⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−−−−−⎣⎦⎣⎦#############解得：12343412,,1,22ppxxxxpp−−====−−（2）当2p=时，向量组12,34,,αααα线性相关.此时向量组的秩为3，12,3,,ααα（或13,4,ααα）为其一个极大性无关组.