平均不等式
AG不等式：
1.中学里面我们称之为基本不等式：
（1）
（a,b
0）
（2）
（a,b同号）
（3）a2+b2
2ab（a,b为实数）
2.推广：设a=(a1,…，an)，ak
，1
，则An(a)=
称为a1，…，an的算术平均值，Gn(a)=
称为a1,…，an的几何平均值
Gn(a)
An(a)，即
称为AG不等式，当且仅当a1=a1=…=an时等号成立.AG不等式是最重要的基本不等式，利用这个不等式，可将和的形式缩小为积的形式，或者将积的形式放大为和的形式，因而这可以叙述成两个等价的共轭命题：
（1）其和为S的n个正数之积，在这些数都相等的时候最大，最大值为(S/n)n.
（2）其积为
的n个正数之和，在这些数都相等的时候最小，最小值为n
2.
因此AG不等式有许多独特的应用价值，例如在几何学中求最大最小问题时，给定
表
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面积的所有长方体中，正方体具有最大的体积；而给定体积的所有长方体中，正方体具有最小的表面积等.
3.加权形式的AG不等式：
Gn(a,q)
An(a,q)，式中Gn(a,q)=
，An(a,q)=
，qk
，
，
通过对数变换可以将这两种平均联系起来，记lna=(lna1,…，lnan)，则lnGn(a,q)
lnAn(a,q)，即正数a1，…，an的加权几何平均Gn(a,q)的对数等于a1，…，an的对数lna1,…，lnan的加权算术平均.
同时，对于加权形式的AG不等式的进一步推广是：设ajk>0，qk>0，且
，则
，当且仅当
=
=…=
，（j=1,…，m）时等号成立.
4.关于AG不等式的证明：
这里面介绍的是几个典型的、简洁的和新的精彩的证明方法，为了叙述方便，下面将
记为Gn(a)
An(a)，并设a1，…，an是不全相等的正数（因为a1=a1=…=an时，等号成立），与
等价的是：
若
，则
若
，则
(
)n.
1821年Cauchy用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明：
第一步：假设n=k时，
成立，容易推出n=2k的时候该式也成立：
=
（
+
）
[(
)1/k+(
)1/k]
1/2k
由此推出n=2m时，
成立.
第二步：设n
2m，则比存在r
，使得n+r=2m.
1/(n+r)（有r个An连乘）=[
]1/(n+r).
即
n+r
n
r. 从而
.
另外一种思路是从
推出
成立，事实上
1/(n+1)，即
n+1
，从而
n
=
n，即
.
同时也可以用数学归纳法来证明下式的成立
，则
证明如下：n=1时，命题显然为真.
假设
时，命题为真，当
时，若所有的
，则其和等于
，不然不妨设
（对若干个
进行一个排列，把最小的重新定为
，最大的定为
），我们记
，这时便有
，由于归纳假设
①
另外，
②
①+②得，
，因而对
的情况也成立，证毕！(Ehlers,1954)
教材大多采用的是利用函数的凹凸性去证明，这里我们直接证明加权平均不等式，AG不等式只是其中的一种特殊情形。
下证明：Gn(a,q)
An(a,q)，式中Gn(a,q)=
，An(a,q)=
，qk
，
，
证明：注意到如果
中有等于0时，不等式自然成立，现在只需要考虑
都是正数的情况.
因为指数函数
为严格的上凸函数，所以我们有：
^
=
，当且仅当
都相等的时候成立。
这时候我们再令
时，该式子就是非负的几何平均数不大于算术平均数（AG不等式）
还可以利用Young不等式：
1/p
1/q
，
，得到
1/n·
(1-1/n)
记
1/n·
(1-1/n)，
.
则
1/2n，即
证毕！（Diananda）
补充说明的是young不等式的证明：
Young不等式（p-q不等式）：设
，则当
时，成立
p
q；当
的时候，不等式反向，当且仅当
p-1的时候等号成立.
证明这个不等式的方法有许多，这里只给出四种证明的方法：
①代数方法：利用Bernoulli不等式：
再取
q/
p.(Bernoulli不等式的证明很容易，只需要用数学归纳法即可证明，这里不再去证明)
②微分法：固定
求一元函数
在
上的极值，
在
（式中
）时取到最小值.即
③积分法：设
是
上严格递增的连续函数，
比较面积得
（这里的
和
函数互为反函数），然后我们取
p-1即可证得！
④考虑二元函数
1/p
1/q 在凸域
上的凸性.
Lagrange乘数法：求
在条件
下的最大值，作辅助函数
1/n+
.
对
求偏导数
，得出
即
对
求和，得到
即
.
由以上两个式子，我们可以得到
.于是
在
点取得最大值
即
.
再补充利用四个个不等式去证明的方法：
利用不等式
，得出
n.
利用不等式
e
，即
于是
我们可以选择权系数
且
使得
于是从
式子对
求和，得到
，这就是加权平均不等式.
利用不等式
得到
对
求和得到，
即
从而我们得到
即
. 证毕！
利用不等式
取
1/(n-1)，则从不等式上方的不等式得到
n
n-1，
对上式逐次使用不等式得到：
n
n-2
n. 证毕！（Akerberg,B. 1963）
5.深度的推广
我们通过加权平均不等式来证明：设
则有不等式
证明：当上述右边等于0时，显然左边也等于0.我们考虑右边不为0的情况，
利用加权平均不等式，得：
当且仅当
个向量
，
.成比例时成立. 证毕！
特殊的情况：
当
p，
q，
时，这就是 H?lder不等式，
1/p+
1/q
上式中当且仅当向量
与向量
成比例时等号成立.
再对上式中取
时就得到Cauchy不等式.当且仅当
和向量
成比例时等号成立.
当然还能推导得到Minkowski不等式，这里由于篇幅有限，不再叙述，请感兴趣的读者参考其他书籍！
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