第十六章多元函数的极限与连续习题课

第十六章多元函数的极限与连续 习题 有理数乘除混合运算习题护理管理学习题以及答案高等数学极限习题过敏性休克习题与答案诫子书习题及答案 课 第十六章 多元函数的极限与连续习题课 一 概念叙述题 1.叙述，其中的坐标为( PP,(,),(,)xyxylim()fPA,000PP,0 0当时，有fPA(),,, PUPD,(;),lim()0,0,fPA,,,,，,,,0PP,0 ,,,，,,,0,0,fxyA(,),,,(方形邻域)当，，，有 xx,,,yy,,,(,)(,)xyxy,0000 22,,,，,,,0,0,fxyA(,),,,(圆形邻域)当，有( 0()(),,，,,xxyy,002. 叙述，，的定义( lim(,)fxy,，,lim(,)fxy,,,lim(,)fxy,,(,)(,)xyxy,(,)(,)xyxy,(,)(,)xyxy,000000 lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)fxyGxxyyxyxyfxyG,，,,,,，,,,,,,,,,,当时，有0000(,)(,)xyxy,00 22,,,，,,,，,,,GxxyyfxyG0,0,0(,),,当时，有，，，，00 lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)fxyGxxyyxyxyfxyG,,,,,,，,,,,,,,,,,,当时，有0000(,)(,)xyxy,00 ( lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)fxyGxxyyxyxyfxyG,,,,,，,,,,,,,,,,当时，有0000(,)(,)xyxy,00 3.叙述的定义( lim(,)fxyA,(,)(,)xyy,，,0 lim(,)0,0,0,,(,)fxyAMxMyyfxyA,,,,，,，,,,,,,,,,,当时，有0(,)(,)xyy,，,0 4.叙述的定义( lim(,)fxy,，,(,)(,)xyx,,,0 lim(,)0,0,0,,(,)fxyGMxxyMfxyG,，,,,,，,，,,,,,,,,当时，有0(,)(,)xyx,,,0 5. 叙述的定义( lim(,)fxy,,,(,)(,)xy,,,，, ( lim(,)0,0,,(,)fxyGMxMyMfxyG,,,,,,，,,,,,,当时，有(,)(,)xy,,,，, A,,,,，,,,,注:类似写出lim(,)fxy,的定义，其中取，取，x,,,,，,,,0(,)(,)xy, 取( y,,,,，,,,0 f6.叙述在点连续的定义( P0 ffPfP()(),,,,,，,,0在点连续， ，只要，就有 PUPD,(;),P,000 fxyfxy(,)(,),,,,,，,,0， ，当，，就有 xx,,,yy,,,,0000 22fxyfxy(,)(,),,,,,，,,0， ，当，就有( ()()xxyy,，,,,,0000 f7.叙述在D上一致连续的定义( ,,(,)PQ,f,,,，,,0,,,PQD在上一致连续,,,只要，就有D，， fPfQ()().,,, f8.叙述在D上不一致连续的定义( f在D上不一致连续尽管，但有,，,,，,,,0,,,PQD,,(,)PQ,0,,,, fPfQ()().,,, ,,0 二 疑难问题与注意事项 1. {(,)|0,0}xyxxyy,,,,,,,,表示空心邻域吗, 00 {(,)|,,(,)(,)}xyxxyyxyxy,,,,,,,{(,)|,}xyxxyy,,,,,,答:不是(只是去000000 {(,)|,}xyxxyy,,,,,,{(,)|0,0}xyxxyy,,,,,,,,掉一点，而是去(,)xy000000 掉了两条线段，，( {(,)|,}xyxxyyy,,,,，,,{(,)|,}xyyyxxx,,,,，,,000000 EE2. 的界点是的聚点吗, EE答:不一定，的界点还可能是的孤立点( EE3. 的聚点一定属于吗, 2222D答:不一定，例如，，满足的一切点也是的Dxyxy,,，,{(,)|14}xy，,4 D聚点，但它们都不属于( EEEEEE注 的内点，孤立点一定属于，的聚点，界点可能属于，也可能不属于， E的外点一定不属于( 4.区域上每一点都是聚点吗, 答 区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每 一点的邻域有无穷多个点( 225. ，，之间有什么关系, xx,xxyy,，,(xxyy-)，,()1212121212 22答:( xxyyxxyyxxyy,,,，,,,，,或(-)()，，121212121212 6.用方形邻域证明的思路是什么, lim(,).fxyA,(,)(,)xyxy,00 答:证明怎么证呢,------关键也是找. ,lim(,).fxyA,(,)(,)xyxy,00 ,,，,,,0,0,(用方形邻域的思路当，，，有xx,,,yy,,,(,)(,)xyxy,0000fxyA(,),,,.) ，有，把化简为下述形式: 当(,)(,)xyxy,(,)(,)xyxy,fxyA(,),0000 (注意一定要出现xx,，).然后fxyAxyxxxyyy(,),,,,,，,,,yy,，，，，0000将适当放大，有时先要限定，,估算得xx,,,yy,,,,,xyxy,,,，，，，0101 fxyAMxxNyy(,),,,，,,则(最综化简到这个形式); ,,xyMxyN,,,,,，，，，00 fxyA(,),,,MxxNyyMN,，,,，,,,,,,0，要使，只要，即要，，00 ,,,,，,,,0,0,,,，取，于是当，，xx,,,yy,,,,,,min(,)001MN，MN， fxyA(,),,,，有. (,)(,)xyxy,00 fxy,7. 证明判断二元函数在时二重极限不存在, (,)(0,0)xy,，， (,)xy(0,0)答:1)当动点沿着直线ymx,而趋于定点时，若值与lim(,)fxym(,)(0,0)xy, ymx,有关，则二重极限不存在( lim(,)fxy(,)(0,0)xy, lim(cos,sin)frr,,2)令xr,cos,，，与有关，则二重极限,yr,sin,r,0 不存在( lim(,)fxy(,)(0,0)xy, lim(cos,sin)frr,,注意 若与无关，则二重极限存在( ,lim(,)fxyr,0(,)(0,0)xy, 3)找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同( 4)证明两个累次极限存在但不相等( (,)xy(0,0)ymx,8. 当动点沿着直线而趋于定点时，若值与无lim(,)fxym(,)(0,0)xy, ymx,关，能说明二重极限存在吗, lim(,)fxy(,)(0,0)xy, (,)xy(0,0)答:不能，因为所谓二元函数存在极限，是指以任何方式趋于时，函数 (,)xy(0,0)都无限接近于同一个常数，动点沿着直线而趋于定点这只是一ymx,fxy(,) 种方式，还有其它方式( 9.计算二元函数极限有哪些方法, 1) 利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小; 1例 求( xy，lim()sin22xy,(,)(0,0)xy， 1解 因为，而，利用有界函数与无穷小的乘积lim()0xy，,sin1,22(,)(0,0)xy,xy，是无穷小，即知 1( xy，,lim()sin022xy,(,)(0,0)xy， 2)利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限; 22sin()xy， 例 ( lim22xy,(,)(0,0)xy， 22解 利用变量替换(令，当时，有，因此 u,0uxy,，(,)(0,0)xy, 22sin()sinxyu，( limlim1,,22xyu,,(,)(0,0)0xyu， frr(cos,sin),,3)利用极坐标变换(令xr,cos,，，如果沿径向路yr,sin, ,,,0,2径关于一致成立，则; lim(,)lim(cos,sin)fxyfrr,,,,,(,)(0,0)0xyr,, 2xy例 求( lim22xy,(,)(0,0)，xy 解 利用极坐标变换(令xr,cos,，，当时，有r,0，yr,sin,(,)(0,0)xy, 因此 232xyrcossin,,2( ,,,limlimlimcossin0r,,222xyrr,,,(,)(0,0)00，xyr 4)利用不等式，使用夹逼准则( 22xy，例 lim44xy,，,，,(,)(,)xy， 2222,,11xyxy，，11解 因为，而 lim0，,0,,,，,,22442222(,)(,)xy,，,，,yx22xyxyyx，222,, 22xy，因此( lim0,44xy,，,，,(,)(,)xy， 1,1)初等变形求极限，如极限，凑，( 51，,e,0，， 2x ，xy1,,例 ，lim1,,(,)(,0)xy,，,x,, x2xxx，xylim,,，xy11,,,,,,xy,，,(,)(,0)，xyee解 ( lim1lim1，,，,,,,,,,,(,)(,0)(,)(,0),，,,，,xyxyxx,,,,,,,, 10(重极限与累次极限有什么关系, 答:(1)重极限与累次极限没有必然的蕴含关系(除了若两个累次极限存在但不相等能 推重极限存在); (2)若两个重极限与累次极限都存在时，则三者相等; (3)若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能 不存在( (4)两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可 能相等，也可能不相等( fxy,fxy,fxy,11.二元函数在xy,连续，与一元函数在连续，一元函数x，，，，，，，，00000在连续有什么关系, y0 答 1, 0,xy,,反例 二元函数在原点处显然不连续(但由 fxy(,),,0, 0 xy,, fyfx(0,)(,0)0,,, fy因此在原点处对和对分别都连续( x 三 典型例题 1(求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合( 2,,y2 (1) ; Exyx,,，,,14，，,,4,, (2); Exyxy,,,0,1都是中的有理数，，,,,, (3); Exyxy,,,都是整数，，,, 1,,Exyy,,,sin(4)( ，，,,x,, 2,,y2 解:(1)E的内点集合是， Exyx,,，,,14，，,,4,, 22,,yy22边界点集合是， Exyxx,，,，,,14或，，,,44,, 2,,y2聚点集合是( Exyx,,，,,14，，,,4,, 没有孤立点( EE (2)没有内点，(因为中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数); 0,10,1，0,10,1， 边界点集合是(聚点集合是，没有孤立点( ,,,,,,,, EE (3)没有内点，(因为中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点) EE 边界点集合是，没有聚点，孤立点集合是( 1,,Exyy,,,sinE (4)没有内点，聚点是，没有xyxy,0,11,,,,，，，，,,,,x,, 1,,Exyy,,,sin孤立点，界点是( xyxy,0,11,,,,，，，，,,,,x,, 2( 证明( (,)(,)(),()xyxynxxyyn,,,,,,,,nnnn0000 ，，,NZ 证:()由于，即对,,,0，，当nN,时 (,)(,)()xyxyn,,,,nn00 22有，因此有 ()()xxyy,，,,,nn00 22， ||()()xxxxyy,,,，,,,nnn000 22， ||()()yyxxyy,,,，,,,nnn000 即( xxyyn,,,,,()nn00 ，，,NZ ()由于，即对，，当时有,,,0nN,xxyyn,,,,,(),nn00 ,,，， ||xx,,||yy,,n0n022从而有 22， ()()xxyyxxyy,，,,,，,,,nnnn0000 即 ( (,)(,)()xyxyn,,,nn00 3((1)举出两个累次极限存在，但不相等的例子( (2)举出两个累次极限存在，且相等的例子( (3)举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子( (4)举出两个累次极限都不存在的例子( xy,(0,0)fxy(,),)例如 解:(1在点的两个累次极限存在，但不相等( xy， xy,xy,limlimlim11limlimlim11,,,,,,，( ，，xyx,,,000yxy,,,000xy，xy， xy(0,0)fxy(,), (2)例如在点的两个累次极限存在，且相等( 22xy， xyxylimlimlim00,,limlim0,，( 2222xyx,,,yx,,00000，，xyxy 1(0,0)fxyx(,)sin, (3)例如在点只有一个累次极限存在( y ,,,,11不存在，( xxlimlimsinlimlimsin0,,,,,xy,,00yx,,00yy,,,, 11(0,0)fxyxy(,)sinsin,， (4)例如在点两个累次极限都不存在( yx 注 两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可 能相等，也可能不相等( y,0fxy, 4x,0(试作函数，使当，时 ，， (1)两个累次极限存在而重极限不存在; (2)两个累次极限不存在而重极限存在; (3)重极限与累次极限都不存在; (4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在( xyfxy(,),解 (1)，两个累次极限存在(见上题)，但 22xy， 2xykxklimlim,, ， 222222xyx,,,0,00，，，，，，，1xyxkxkykx, 因为与有关系，因此重极限不存在( k 11(0,0)fxyxy(,)sinsin,， (2)，在点两个累次极限都不存在，但重极限存在 yx ,,11( xylimsinsin=0，,,xy,0,0,，，，，yx,,11(0,0)fxy(,),， (3)，在点的两个累次极限，重极限都不存在( 22xy 11fxyx(,)sin,(4)或( fxyy(,)sin,yx 11,0变形:当，时，有，， y,,,0x,,yx11 xyxy (1); fxy(,),,2211xy，，22xy 11fxyyx(,)sinsin,， (2); xy 22 (3); fxyxy(,),， 1 (4)( fxyy(,)sin,x ,,x,(,)(0,0)xy,,22(0,0)5. 讨论二元函数在点的连续性( fxy(,),xy，, ,0,(,)(0,0),xy,, ,,,xrcos,,yr,sin,limlimxr,cos,解 令，， 222(,)(0,0)0xyr,,，xyr ,xlim00,0,,f,,2当，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知，因此，，22(,)(0,0)xy,，xy fxy(,)(0,0)在点连续; fxy(,)(0,0)，由极限值与有关，二重极限不存在，因此在点不连续; 当,,2, ,,rcos,fxy(,)(0,0)当，由不存在，则二重极限不存在，因此在点不连lim,,22r,0r 续( fxy(,)Sabcd,，[,][,].[,]cdf6(设定义在闭矩形域若对在上处处连续,对在yx [,]abf(且关于)为一致连续.证明在上处处连续. yS ff分析:要证在上处处连续，只要证,,xyS,，在连续，即证， xy,S,,，，，，0000 ，当，，就有fxyfxy(,)(,),,,，因为条件中有一元函数，,,0xx,,,yy,,,0000连续，因此要出现偏增量，即证，，当，， ,,，,,0xx,,,yy,,,00 fxyfxyfxyfxy(,)(,)(,)(,),，,,, 0000 [,]abf[,]cd(因为条件是对在上处处连续,对在(且关于)为一致连续，因此插入yyx . fxy(,)0 [,]cdffxy, 证明:因为对y在上处处连续，则在连续，于是,,，，,,0， y，，00 ,当，就有. yy,,,fxyfxy(,)(,),,00002 [,]ab 因为对在(且关于)为一致连续，则有,,，，,,0，当(对任意 yyxx,,,x0 ,就有. fxyfxy(,)(,),,02 ,,，,,0因此，，当，，就有 xx,,,yy,,,00 . fxyfxyfxyfxyfxyfxyfxyfxy(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,),，,,,，,,,00000000 7. 设，，且在附近有 (,)xylim()(),,yyA,,lim()()0,,xx,,0000yy,xx,00 fxyyx,()(),,,,， ，， 证明. lim(,)fxyA,xyxy,,,，，，，00 ,,，,,,0,0,分析:要证，只要证当，，lim(,)fxyA,xx,,,yy,,,00xyxy,,,，，，，00 ,()y,()yfxyA(,),,,，有.而与有关系，因此就要插入，即证 fxy,(,)(,)xyxy,，，00 fxyyyA(,)()(),，,,,,,. ,,,，,,,0,0, 证 由得，当，有()yA,,. yy,,,lim()(),,yyA,,,00yy,02 ,,,，,,,0,0, 由得，当，有.因为在xx,,,()x,lim()()0,,xx,,,00xx,02 fxyyx,()(),,,,附近有，于是当，有 xx,,,yy,,,(,)xy，，0000 ,. fxyy,(),,,，，2 ,,，,,,0,0,因此当，有 xx,,,yy,,,00 fxyyyAfxyyyA(,)()()(,)()(),，,,,，,,,,,,,， 因此. lim(,)fxyA,xyxy,,,，，，，00 fEEPQ,8. 在上一致连续的充要条件是:对中的每一对点列如果,,,,kk ，便有. lim0，，fPfQ,,lim,0,PQ,，，，，，，kkkk，，,,,,kk ,,(,)PQ,f,,,，,,0,,,PQD,,,E证 必要性 在上一致连续只要，就有，， fPfQ()().,,, fPfQ()().,,,，,,,NkNPQ,,,有,,对上述,，，因此 lim,0,PQ,,，，，，kkkkkkk,, 即. lim0，，fPfQ,,，，，，kk，，,,k fD充分性 反证法，设在上不一致连续,，,,，,,,0,,,PQD尽管0,, fPfQ()().,,,，但有 ,,(,)PQ,,,0,, 11则取总有相应的，虽然，但是 PQD、,PQ,,,,,(,),1,2,,kkkkkkk fPfQ()().,,, kk0 fE即，，矛盾.因此在上一致连续. lim0，，fPfQ,,lim,0,PQ,，，，，，，kkkk，，,,,,kk