【DOC】无限远点_洛朗展开

【DOC】无限远点_洛朗展开 无限远点_洛朗展开 第四章 级 数第三节 洛朗展式1、整 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数与亚纯函数的概念:如果 fz在有限复平面 C 上解析，那么它就称为一个整函数。显然无穷远点是整函数的孤立奇点。在 C 上，fz围绕无穷远点的洛朗展式也就是其泰勒展式:fznznn0当 fz恒等于一个常数时，无穷远点是它的可去奇点;当 fz是 n1次多项式时，无穷远点是它的 n 阶极点;在其它情况下，无穷远点是 fz的本性奇点，而这时称 fz为一个超越整函数。例如 ezsinzcosz 等都是超越整函数，无穷远点是它们的本性奇点。由刘维尔定理，我们有代数基本定理:任何 n1次代数方程至少有一个根。证明:设Pznznn1zn1...0n0是一个这样的代数方程。我们要证明整函数 Pz至少有一个零点。反证之，假定 Pz没有零点，那么 1 也是一个整函数，因为 Pz...Pzznnn1z0zznnnn1...0nz0 zz所以我们有limPz limz10 zPz因而 11 在全平面上有界，于是根据刘维尔定理，恒等于 0，与所设矛盾，PzPz因此 Pz至少有一个零点。定理 1 设 fz是一个整函数，按照 z是可去奇点、n1阶极点或本性 1奇点，必须而且只需 fz是恒等于常数、n1次多项式或超越整函数。证明:设 z是 fz的可去奇点， z界，由刘维尔定理，fz恒等于一个常数。设 z那么 limfz为有限复数，从而 fz有 是 fz的极点或本性奇点时，设 fz在 z的主要部分是gzkz 或kzk kk1k1n那么 z是 fz-gz的可去奇点。因此，fzgzC，其中 C 为一个常数。定理的必要性显然成立。如果函数 fz在有限平面上除去有极点外，到处解析，那么它就称为一个亚纯函数。亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个极点。例如个亚纯函数，它有极点 sinz01z2z2...nznnm0 2m01z2z...mz也是一个亚纯函数，zkk01...。有理函数 1 是一 它在有限复平面上有有限个极点，而无穷远点是它的极点(当 ngtm时)或可去奇点(当 nm 时)，在这里klk012...nl012...m是复常数，m 及 n 是正整数。定理 2 如果无穷远点是亚纯函数的可去奇点或极点，那么是一个有理函数。 证明:如果无穷远点是 fz的可去奇点或极点，那么可找到一个有限的 R，使得 fz在Rz内解析。在zR 上，fz只可能有有限个极点，因为否则极点的极限点既不是极点，而且函数也不可能在这点解析，这是不可能的。因此 fz只可能有有限个极点，设为 z1z2...zp;此外，无穷远点是可去奇点或极点。在每一个有限点附近把 fz展开为洛朗级数，并且设在点 z的主要部分是:ccchz...123...pzzzzzz当无穷远点是极点时，在这点的主要部分是:2gzA1zA2z2...Aqzq而当无穷远点是可去极点时，令 gz 0。令 FzfzRz其中 Rz h1zh2z...hpzgz是一个有理函数。函数 Fz除去在 z1z2...zp 与有可去奇点外，在其余各点解析;这是因为由于展式的唯一性，Fz在 z1z2...zp 及附近的洛朗展式都不包含主要部分。因此，令FzlimFz123...p zzFz就是一个有界整函数。由刘维尔定理，Fz C(常数)，从而 fz RzC。2、解析函数的洛朗展式在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数其中 z001...n...是复常数。此级数可以看成变量 1 的幂级数;设这幂级zz01 内绝 R01zz0n2zz02...nzz0n...数的收敛半径是 R。如果 oR，那么不难看出，此级数在zz0对收敛并且内闭一致收敛，在zz01 内发散。同样，如果 R，那么此级 R数在zz00 内绝对收敛并且内闭一致收敛;如果 R0，那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在 zz0 没有意义。于是根据定理 2.3，按照不同情形，此级数分别在zz01R10R及zz00 内收敛于一个解析函数。 R更一般地，考虑级数nnzz n0这里 z0nn012...是复常数。当级数3n0nzz及zz n0n0nn1都收敛时，我们说原级数nn 并且它的和等于上式中两个级数的zz0n 收敛，和函数相加。设上式中第一个级数在zz0R2 内绝对收敛并 且内闭一致收敛，第二个级数在zz0R1 内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别zz0R2及zz0R1 在内解析。又设 R1R2，那么这两个级数都在圆环于是我们说级数 D:R1zz0R2 内绝对收敛并且内闭一致收敛，nzzn0n 在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛;显然它的和函数是一个解析函数。我们称级数nzzn0n 为洛朗级数。因此，洛朗级数的和函数是圆环 D 内的解析函数，我们也有定理 1 设函数 fz在圆环:D:R1zz0R20R1R2内解析，那么在 D 内fznzz nn0其中，n1fdn012... 2iz0n1是圆zz0是一个满足 R1R2 的任何数。证明:设 z 是圆环 D 内任一点，在 D 内作圆环 D:R1 zz0R2，使得 zD，这里R1R1R2R2。用1及2分别表示圆zz0R1 及zz0R2。由于 f在闭圆环 D上解析，根据柯西定理，有fz1f1fdd， 212iz2iz其中积分分别是沿1及2关于它们所围成圆盘的正向取的。4当2时，级数 1111zz0zz0z010z0zz0nn1n0z01z0n 一致收敛。一致收敛;而当1时，级数1zzz10n0zz0n10zz0把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到 fz有展式fznzz nn0其中，n1fdn012...， 2n12iz01fdn12...。 2i1z0n由柯西定理，上面两 、由于函数 fz的解式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。注解 1 析区域不是单连通区域，所以公式n1fdn012... n12iz0fnz0. 不能写成:nn注解 2、我们称nzz0n 为 fz的解析部分，而称nzz0n 为其主要n0n1部分。注解 3、我们称nzz0n为 fz的洛朗展式。n定理 2 设洛朗级数nzz0n 在圆环nD:R1zz0R20R1R2中内闭一致收敛于和函数 gz，那么此展式就是 gz在 D 内的洛朗展式:gznzz. nn05证明:现在把系数用 gz计算出来。在 D 内任取一圆:zz0R1R2，用乘1zz0k1 以定理中展式的两边，然后沿求积分。由于所讨论的级数在 2i上一致收敛，在求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有1gz1nk1dzdzkk012...，zz0k2izz02i这里因为上式中求和记号后各项只有在 nk 时不为零，因此定理的结论成立。注解:此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算，同时，这也表明，gz在D 内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理:系 4.1 在定理 7.1 的假设下，fz在 D 的洛朗展式式唯一的。例 1 求函数式。解:如果 1ltzlt2，那么z111利用当1 时的幂级数展式 2z1 分别在圆环1ltzlt2 及 2z内的洛朗级数展z1z2112...n... 1我们得11zn1111n1nz1z2z2z121z1n02n1z2z如果 2z，那么2111同样，我们有 zz111 z1z2z2z12n1111nnn1zz1z1n1z zz2n11.n2z例 2 sinzsinz 及在 0z内的洛朗级数展式是: 2zz6sinz1zz3 1nz2n1...... z2z352n1sinzz2z4 1nz2n1...... z352n113 ez 例在 0z内的洛朗级数展式是:1ez11111 1......。 z2znz例 4 求函数 1 在圆环 1ltzlt3 内的洛朗级数展式。 2z1z31z 解:由于 1ltzlt3，那么11利用当1 时的幂级数展式 z3112...n... 1我们得11z3111z 3， 22228z3z1z1z1z38z3z11111111zn22n 2 而 nz3313n03z1z21zn0zz23所以，有11zn3. z1z38n03n0zn0z13、解析函数的孤立奇点设函数 fz在去掉圆心的圆盘 D:0zz0R0R内确定并且解析，那么我们称 z0 为 fz的孤立奇点。在 D 内，fz有洛朗展式fznzz nn0其中n1fdn012... 2iCz0n17C是圆zz00R。sinzsinz12ez 的孤立奇点。 例如，0 是 zz一般地，对于上述函数 fz，按照它的洛朗展式含负数幂的情况(主要部分的情况)，可以把孤立奇点分类如下:(1)、如果当时 n-1-2-3…，那么我们说 z0 是 fz的可去奇点，n0，或者说 fz在 z0 有可去奇点。这是因为令 fz0 0，就得到在整个圆盘zz0R 内的解析函数 fz。(2)、如果只有有限个(至少一个)整数 n，使得n0，那么我们说 z0 是 fz的极点。设对于正整数 m，m0，而当 nlt-m 时，n0，那么我们 z0 是 fz的 m 阶极点。按照 m1 或 mgt1，我们也称 z0 是 fz的单极点或 m 重极点。(3)、如果有无限个整数 nlt0，使得n0，那么我们说 z0 是 fz的本性奇点。sinzsinz12ez 的可去奇点、单极点及本性奇点。 例如，0 分别是 zz定理 1 函数 fz在 D:0zz0R0R内解析，那么 z0 是 fz的可去奇点的必要与充分条件是:存在着极限，limfz 0，其中0 是一个复数。 zz0证明:(必要性)。由假设，在 0zz0R 内，fz有洛朗级数展式:fz01zz0...nzz0n... 因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是 R，所以它的和函数在zz0R 内解析，于是显然存在着 limfz 0。 zz0(充分性)。设在 0zz0R 内，fz的洛朗级数展式是fznzz nn0由假设，存在着两个正数 M 及0R，使得在 0zz00 内， 8fz M那么取，使得 00，我们有n12MMn1nn012... 2当 n-1-2-3…时，在上式中令趋近于 0，就得到n0n123...。于是 z0 是 fz的可去奇点。系 1 设函数 fz在 D:0zz0R0R内解析，那么 z0 是 fz的可去奇点的必要与充分条件是:存在着某一个正数0R，使得 fz在 0zz00 内有界。下面研究极点的特征。设函数 fz在 0zz0R 内解析，z0 是 fz的 m1阶极点，那么在 0zz0R 内，fz有洛朗展式:fzmzz0mm1zz0m1...1zz001zz0...nzz0n...在这里m0。于是 fzmzz0m1zz0...1zz001zz0...nzz0n...在这里z是一个在zz0R 内解析的函在 0zz0R 内 数，并且z00。反之，如果函数 fz在 0zz0R 内可以表示成为上面的形状，而z是一个在zz0R 内解析的函数，并且z00，那么可以推出 z0 是 fz的 m 阶极点。定理 2 设函数 fz在 D:0zz0R0R内解析，那么 z0 是 fz的极点的必要与充分条件是:limfz 。 zz0证明:必要性是显然的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数0R，使得在 0zz00 内，fz0，于是 Fz1 在 fz 90zz00 内解析，不等于零，而且 limFz limzz0zz010。因此 z0 是Fzfz的一个可去奇点，从而在 0zz00 内，有洛朗级数展式:Fz01zz0...nzz0n...我们有0limFz0。由于在 0zz00 内，Fz0，由定理 5.1，可以zz0设01...m10m0。由此得 Fzzz0mz，其中z在zz00 内解析，并且不等于零z0m0。于是在 0zz00 内，fz1z， mzz0在这里，z1 在zz00 内解析，z0mm10。因此 z0 是zfz的 m 阶极点。系 2 设函数 fz在 D:0zz0R0R内解析，那么 z0 是 fz的 mlimz z0mfzm，阶极点的必要与充分条件是:在这里 m 是一个正整数，mzz0是一个不等于 0 的复数。关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论:定理 3 函数 fz在 D:0zz0R0R内解析，那么 z0 是 fz的本性奇点的必要与充分条件是:不存在有限或无穷极限 limfz。 zz0例 0 是函数 e 的本性奇点，不难看出 lime 不存在。 z01z1z解:当 z 沿正实轴趋近于 0 时，e 趋近于;当 z 沿负实轴趋近于 0 时，e 趋近于 0;当 z 沿虚轴趋近于 0 时，e 没有极限。4、解析函数在无穷远点的性质设函数 fz在区域 Rz内解析，那么无穷远点称为 fz的孤立奇点。在这个区域内，fz有洛朗级数展式: 1z1z1z10fznznn其中系数由定理 7.1 中类似的公式确定。 11，按照 Rgt0 或 R0，我们得到在 0w或0w内解析的函 Rw1 数wf，其洛朗级数展式是: w znn 令 znw如果 w0 是z的可去奇点、(m 阶)极点或本性奇点，那么分别说 z是 fz的可去奇点、(m 阶)极点或本性奇点。因此(1)、如果当时 n123…，n0，那么 z是 fz的可去奇点。(2)、如果只有有限个(至少一个)整数 n，使得n0，那么 z是 fz的极点。设对于正整数 m，m0，而当 ngtm 时，n0，那么我们称 z是 fz的 m 阶极点。按照 m1 或 mgt1，我们也称 z是 fz的单极点或 m 重极点。(3)、如果有无限个整数 ngt0，使得n0，那么我们说 z是 fz的本性奇点。注解 1、我们也称nznz分别为级数nzn的解析部分和主要部 nnn0n1n分。注解 2、若 z为 fz的可去奇点，我们也说 fz在无穷远点解析。 注解 3、上一段的结论都可以推广到无穷远点的情 形，我们综合如下: 定理 1 设函数 fz在区域Rz内解析，那么 z是 fz的可去奇点、 极点或本性奇点的必要与充分条件是:存在着极限、无穷极限 limfz或 z不存在有 限或无穷的极限 limfz。 z系 设函数 fz在区域 Rz内解析，那么 z是 fz的可去奇点 的必要与充分条件是:存在着某一个正数0R，使得 fz在0zz0内有界。11 sM h 5q iDX7 M g BVdqKampfzT4o I dx 2nmHb wQl l i a P 7jEY AV5ph BW gLfAU4p JeyS 3nncH Z9u1O-jDXP kkEY9-jDX8sM M JqL3fAUM oIdxxS vH kEY90 l -iCX7rM BVCX7W6j 4 o d xS 2JampeyT3nn0I S KampezT3ovP l sN mG rL 0k sF hBV6qT AU4oJampeyT3n fAU4p J tO-iDXksM h tNiCKP r gBV6q C2n7HcwQ0 l R2KampezT3o0kF Z uW6 L 8QAUCW 6qqLfAU4pR eyS L H cwRJlGbvavP cwR1lGKfzU4oBV5qyS 2n HcwQ1lF R KampfzT QtNaZ 27O-jDX8sM Za 6 jDY8KampezT3o IdxgH cwRblGQ83n k9ucB9 tN-i sM rM JBV q3n H cwRS av2P cwR1lGdyZaukOcwQ15l qKampfzT BV5q xS mHb wQI 2KampezT3 Id0kkEZ9tO-iDX sM JampeyT K sM hJamped6q LfAU4p9Jdy S P rM Y8tNiCW ggAV5ppS mHbIdxdxpR mG3 o08l kF R CO-jDXsM 9W66q L fAU4pR6qT S n HcwQ1tO-auP HM hBV6q W7rL AV5pK 7 rM gBV5q2nmGbv Qdx9S rL 8 sM KampezT3o IfAUp JC e S gHAU p1JlGavP sM uBtN-iCX r g J6 eyqi 3n HM oI1 lG avmHb4wQddyS 2n jDY sNh CW rL 8 tN 77 rLAV5pcxR1mGb Idx R mGb vP 0k E tO-iCX7 sM 4 BV KampfzT4o dy S mHb wQF Zau OrL 8 sNh B r6q L 5p 4R2JmGS xxR2 mGlGP 8kEZ htO-iDX fAU4p BV5qS fAU 4 dyeyS 22H cwR1Jd yS 2nO8 tNiCCX7 r E 5pgAU5p JampeybgIxR2 mG O bvIP xR2 mGbv 7 M 5p Jampey KAUhBW yS 2 IP cwQ1 l aunP jEY 1 lG avsM EY9tN-iCX rM oId F RmGbvvQ0k Zau O v Q0kkF Z JampeyT3n8IsM pBW T 3nvP 0kR1 1lGS P H hBV6q avP rk EY9tN-iCX4rM gIBV2n HcwQ10Idx9S jEY tNiCh BW qL dxKampezT3o rL n R2cwR1lG0k sM hxO-jDXsM M g qLi KampfzT4o1BV S K kEY9tN-iCXkO g tN-F haur jEYtNiCW L I d lF mH jDY8P Za O 6 rL Q0ksF huBV6qK fzUR1JmG S IP HcwQdlF 2 nHcwQ1lF KampfzT4o8IdxCW 7rL oAVF KampezT3oQ0k xZ9umGbv 88sNhCBO- g8AU5p BW dyS vP 0k41pmGb3n P jEY8tNiCW M g AV -iCX r3oJIdx KampfzT4o0IkF i Z 2 7 j DX8 si lF ZauO L 8dx4R W6rL n RcwRampey T3n Z hRW6q L fAU4p 5 i KampfzT4ohBV6q22HfzU ooJJ l Zau OEY 8 sN CP 6 r g AU5p JampeygT nI c KampezT3o dx EZ tO-iDX7 r g K fzU4o J dx S HcwQ10l F Zau jDY M 6 K fzU4o I dy 2 P jEY F u P O g tNiC W6q AVdxKampezT3 oI H cwRbbv P kF Z uBW i L 7 h g 66qqLKampfzT h 1 lGHcwQ1wQ0lF jEY jDY 5 qhauP 6gBV5q KampfzT4oT AV cZau vbQ F Za O 6 v 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