关于凸函数的定义和性质

关于凸 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数的定义和性质 宋方 ( )东华大学 人文学院, 法学 0601, 上海 201620 摘要: 主要研究了凸函数的几种定义及他们在不同的条件下的关系, 并讨论了连续凸函数的一些性质. 关键词: 定义; 性质; 凸函数 凸函数的定义及其关系1 () 定义 1 设 f x 为定义在区间 I 上的函数, 若对 I 上的任意两点 x , x 和任意的 Κ?1 2 () 0, 1总有 () (()() ) () () 1 1 - f 1 - Κf Κx 1 +x Κx 1 +Κx 2 Φf 2 () () 则称 f x 为 I 上的凸函数, 若 1中的不等式改为严格不等式, 则相应的函数称为严格凸函 数. 1905 年丹麦数学家首次给出了如下凸函数定义.J en sen () 定义 2 设函数 f x 在区间 I 上有定义, 若 Π x , x ? I , 总有1 2 () ()f x + f x x 1 + x 2 1 2 ()Φ 2 f 2 2 () 则称 f 上的凸函数.x 为 I () 上的严格凸函数.若在定义 2 中当 x ? x 且不等式严格成立, 则称 fx 为 I 1 2 () () 定义 3 设函数 f x 在区间 I 上有定义, 若 Π x 1 , x 2 , , x n ? I n Ε 2, 总有 () () ()f x + f x + + f x x + x + + x n 1 2 n 1 2 ()Φ 3 f n n () 则称 f 上的凸函数.x 为 I 在凸函数的几种定义中, 在不同的条件下有不同的处理方法. 我们可以验证: 定义 2 和 () 定义3 等价; 若 f x 连续, 则定义1, 2, 3 是等价的, 连续性的条件是保证由有理数到无理数 的平稳过度. () 但是由于在上述定义中并没有对函数 f x 作出连续性假设, 因此 意义下凸函 J en sen 数可能是不连续的. 例如, 若令 x , x < 1 || () f x = | x | = 1 2, () () 则容易证明 f x 在 - 1, 1 上是凸函数, 但 f x 在 - 1, 1 上不连续. 与此同时, 连续函数 3 () x 在上是连续的, 但在上不是凸函数. 这样, 就自然 也可能不是凸函数. 例如, f x = R R 产生以下几个问题: )() () 1 当连续函数 f x 满足何种条件时, f x 是 I 上的凸函数? )() () 2 当凸函数 f x 满足何种条件时, f x 是 I 上的连续函数? )连续的凸函数在 I 上具有何种性质?3 为解决上述问题, 本文从凸函数的定义出发, 研究了连续函数与凸函数的关系, 讨论了 连续凸函数的性质, 并得到一些重要结论. 主要性质2 证明本文主要结论, 需要用到以下引理. 1, 2() 引理 1设函数 f x 在区间 I 上有定义, 则以下论断彼此等价. ) () 1Π x 1 , x 2 ? I 及 Κ? 0, 1, 总有 () ) () () (f Κx + 1 - Κx Φ Κf x + 1 - Κf()() 1 2 1 4 x 2 () ) 2Π x 1 , x 2 ? I 及 q1 , q2 ? 0, 1, q1 + q2 = 1, 总有 () () () qf x 2 f q1 x 1 + q2 x 2 Φ q1 f x 1 +2 ) 3Π x 1 , x 2 ? I ?x 1 < x 2 , 总有 x - x - x 2 x1) () () ( x Φ ff fx +x 1 2x - x - 2 2 x x 1 1 ) 4Π x 1 , x 2 ? I ?x 1 < x 2 , 总有 ) () (() ()x f x - f 1 f x 2 -f x Φx - x - 2 x x 1 () ( ) 则函数 -同时, 根据定义 2, 容易证明: 若函数 f 上的凸函数 严格凸函数, x 为 I () ()f 上的凹函数 严格凹函数. 据此, 下面仅讨论凸函数及连续凸函数的性质, 所得x 为 I 结果可以自然地推广到凹函数及连续凹函数中去. () () 性质1 设函数 f x 在 I 上连续, 若 f x 是 I 上意义下的凸函数, 则 Π x 1 , x 2 ? J en sen () I 及 Κ? 0, 1 都有 4成立. () () 使得证明 假设 f x 不满足 4式, 则 ϖ x 1 , x 2 ? I , Κ′? 0, 1 ) ) (() () (() f Κ′x + 1 - Κ′x > Κ′f x + 1 - Κ′f x 1 2 1 2 构造函数 () () ) () () (() f Κ= f x + 1 - Κ 1 - Κf x Κ1 x 2 -Κf x 1 -2 () () () () () 则 f , 且 f > 0, 因此 f , 且M > 0.的连续函数′Κ是 Κ0= f 1, f ΚΚ有最大值M () () () () 令 Κ0 = inf{Κ| f Κ= M , Φ ΚΦ 1}. 显然 Κ? 0, 1, 即 Κ是 0, 1内使 f Κ= M 的自 0 0 0 ?] < 0, 1 . ?, Κ+ 变量的最小值. 选取 ? >0, 使得[ Κ0 - 于是点0 ′′ ) ) ) ) (((( = Κ- ?+ 1 - Κ+ ?x ,x = Κ+ ?+ 1 - Κ- ? x 1 0 x 1 0 2 2 0 x 1 0 x 2 都介于 x 与 x 之间. 由定义可知1 2 ′ ′ ′ ′ () () f x 1 + f x 2 x + x 1 2Φ f 2 2 即 () 1 - f [ Κx + Κ0 x 2 ]0 1 ) ) ) ) ( ( ( ( f [ Κ- ?x + 1 - Κ+ ?x + f [ Κ+ ?x + 1 - Κ- ?x ]0 1 0 2 0 1 0 2 Φ 2 () 由 f Κ的定义整理可得 ( ) ( ) f Κ0 - ?+ f Κ0 + ?][ () f ΚΦ0 < M . 2 () 此与 f Κ= M 矛盾.0 () () 性质1 表明: 连续的凸函数 f x 必满足不等式 4, 这个结论很有意义. 事实上, 其逆 也成立. 为此, 我们先证明一个引理. () () 引理 2 若函数 f x 在区间 I 上定义, 如果对 Π x 1 , x 2 ? I , Κ? 0, 1 有 4成立. 即 ) () () (() x f [ Κx 1 + 1 - Κx 2 ] Φ Κf x 1 + 1 - Κf2 则对任意 x 1 , x 2 , x 3 ? I 且 x 1 < x 2 < x 3 成立 () () () () () ()f x - f x f x - f x 2 1 3 1 f x 3 - f x 2 ()5 ΦΦx - x x - x x - x 2 13 13 2 x - x - 3 2 x x 1 2 (() () ) 证明 令 Κ=1 - Κx 3. 及 x = Κx +易见 Κ? 0, 1, 且 1 - Κ=2 1 x - x x - x 3 13 1() 由 4式得 ) (Κx ] Φ () () f [ Κx + () 1 - 3 Κf 1 - Κf 1 x x 1 +3 可以得到 () ) () () () (f [ Κx + 1 - Κ] Φ Κf = +1 - ,x 2 f 1 x 3 x 1 Κf x 3 从而 () () () () () f x 2 -x 3 -f x 1 ,f x 1 Φ 1 - Κ[ f ) (() () () f x 2 ΕΚ[ f x 3 -x 3 -x 1 ]f f 于是 () () () () f x - f x f x - f x 2 1 3 1 Φ,x - x x - x 2 13 1 () () () ()f x - f x f x - f x 3 2 3 1 Εx - x x - x 3 23 1 () 由上即得不等式 5成立. () ) (性质 2 性质 1 的逆命题设 f x 是定义在区间 I 上的, 若对 Π x , x 2 ? I , Κ? 0, 1 1 都有 () f [ Κx +1 - Κ] Φ () () () 1 x 2 Κf x x 1 + 1 - Κf2 () 则 f x 在 I 内连续. () 证明 设 x 是区间 I 上的任一内点, 必存在 ? >?, 可取 h , 0, 使得 x - ?, x + < I 使 | h | < ?. 当 h > 0 时, 记 x = x - ?, x = x , x = x +1 2 3 h , x 4 = x + ?. 由题设条件两次运用 () 引理 2 中的不等式 5. 可以得到 () () () () () ()f x - f x - ?f x + h - f x f x + ?- f x Φ Φ ? ? h 于是 () ()() ()f x + ?- f x f x - f x - ? () () () f x + h - f x Φ hm ax , || 6 ? ? () () 当 h < 0 时, 同样可得不等式 6, 由不等式 6易得 () () lim f x + h - f x = 0.|| h ?0 即 () ()lim f + h f x . x =h ?0 () 由 x 的任意性可知 f x 在 I 上连续. () () () 注记 1 f x 在 [ a , b ] 上满足性质 2 中的条件, 则 f x 只在开区间 a , b内连 如果 a 或 x = b 处未必右连续或左连续.续, 在 x = 例如, 函数 0, 1 当 x <|| () f x = 1 1. 当 x =|| () () 在 - 1, 1 上满足条件 4, 但是 f x 在 x = - 处并不分别右连续或左连续.1 1 或 x = () 注记 2综合性质 1 和性质 2 很容易得出这样的结论: 若 f 上为凸的充分必要 x 在 I () () x 为凸可定义如下: 对任意的 x 1 , x 2 ? I 及 Κ? 0, 条件是 1式成立. 鉴于此, 连续函数 f 1 , 恒有 ) () () (() 1 - Κf x f [ Κx 1 + 1 - Κx 2 ] Φ Κf x 1 +2 () 注记 3 顺便指出, 条件 1具有等价的形式 () () ()() x + qx f 7 x q1 1 2 2 Φ q1 x 1 +fq2 f 2 q+ q= Κ. 其中 q, qΕ 0, 1. 事实上, 这里的 q1 与 q2 分别相当于 Κ与 1 - 1 2 1 2 2 () 根据所述的定义可以判断函数是否为连续凸函数. 例如, 连续函数 fx = x 是凸的, 因为 2 2 2 2 2 2() () qx + qx = qx + qx - qqx - x Φ qx +1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 qx 2 2 只要 q1 , q2 Ε 0, q1 + q2 = 1. 根据上述注记 2, 可以得到一个判别连续凸函数的判别法. () 性质 3若 f 上连续, 且满足 x 在区间 I x - 2 xx - x 1() () ) ()( x Φ 8 f fx x 1 +f 2 x - x - x 2 x 12 1 或 ) (1 x f x 11 () ()f 1 x x Ε 0 9 () x f 2 1 x 2 () f x 是 I 上的凸函数. 则 其中 x 1 , x 2 ? I , 证明 令 x - x x - x 2 1 q= q= , , 1 2 x - x x - x 2 12 1 从而 qx + qx . x = 1 1 2 2 () () () 由此可见, 不等式 8和 9与不等式 7是等价的, 因而结论得证. 在前面的学习中, 已经知道凸函数未必都连续. 但是在一定条件的限制下, 凸函数就必 定连续. 我们容易证明下面一个引理. () 引理3 设 fx 是闭区间 [ a , b ] 上有上界的凸函数, 则对任意的 x 1 , x 2 ? [ a , b ] 及 Κ? () 0, 1 . 恒有 4式成立, 即 ) () () () (Κx 2 ] Φ f [ Κx + 1 -x Κf x 1 + 1 - Κf1 2 由引理 3 及性质 2 立得 () () 性质 4若 f ,b ] 上有界的凸函数, 则 f , b ] 内必连续. x 是闭区间 [ a x 在 [ a 注记 4有界凸函数在区间端点处未必连续. () 注记 5由性质 4 可以推出: 在开区间 a , b内不连续的凸函数必是无界的. 显然, 这是 性质 4 的逆否命题. () ()总之, 一个凸函数或者很“规则”连续且有界, 或者就很不“规则”不连续且无界. 注 () 记 6 事实上, 我们由引理 1 中的不等式 2可以得到连续凸函数又一个更强的结果: () 性质 5 若函数 f x 是区间 I 上的连续凸函数, 则有 ′ ′ ′ ′ () () () () () ) 1函数 f x 在 I 内处处存在左、右导数 f x 与 f x , 且 f x Φ f x ; - + - + ′ ′ () () ) 2f - x 与 f + x 都是 x 的不减函数. ) 证明 1设 x 是 I 中任一个内点. 取 0 < ?′< ?, 使得 x + ? ? I , x - ? ? I. 令 x = 1 x - ?, x = x - ?′, x = x , x = x + ?′, x = x + ?. 显然 x < x < x < x < x . 由 2 3 4 5 1 2 3 4 5 () 性质 1 可知, 连续的凸函数 f x 适合引理 1 的条件, 三次运用引理 1 就得到 ) (() () () () () () () x f x - f x f x - f x x f f 3 3 1 3 2 f x 4 -3 f x 5 - ,Φ ΦΦx - x x - x x - x - 3 13 24 5 x x 3 3 即 () () ) () () () ()() (x - f x - f x - f x - ?f?′f x + ?′- fx f x + ?- f x ()Φ Φ Φ 10 ? ?′?′? () 由关系式 10可知, () () () () x - f x - ?fx + ?- f x f当 ? 递减趋于 0 时, 差商递增, 差商递减.因而存在 ? ? () () f x - f x - ?′ () lim =x , - f ??0 ? () () f x + ?- f x ′ () lim = f + x ,??0 ? ′ ′ () ()() 且 f - x Φ f + x . 的任意性, 结论 1得证.由 x ′′) 2对区间 I 中的四个内点 x 1 < x 2