椭圆的第二定义(比值定义)的应用
陈 文
教学目标:1椭圆的比值定义,准线的定义
2、使学生理解椭圆的比值定义,并掌握基本应用方法
3、对学生进行对应统一的教育
教学重点:椭圆的比值定义的应用
教学难点:随圆的准线方程的应用
教学方法:学导式
教学过程:
前节我们学习了随圆的第二定义(比值定义):
若
MF,e,(0,e,1,为常数)则M的轨迹是以F为焦点,L为准线的椭圆。 d
2a注:?其中F为定点,F(C,0),d为M到定直线L:,的距离 xc
?F与L是对应的,即:左焦点对应左准线,右焦点对应右准线。
22xy[例1]已知A(,2,3),F是,,1的右焦点,点M为椭圆的动点,求1612
MA,2MF的最小值,并求出此时点M的坐标。
MF1
分析
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:此
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
主要在于2MF的转化,由第二定义:,可得出,e,d22MF,d,即为M到L(右准线)的距离。再求最小值可较快的求出。 解:如图所示,过M作MN,lx,8于N,L为右准线:,由第二定义,知:MF1, ,e,d2
?2MF,d,MN
?MA,2MF,MA,MN,
要使为最小值,即:为“最小”, MA,2MFMA,MF
由图知:
当A、M、N共线,即:时,为最小;且最小值为A到AM,lMA,2MFL的距离=10,此时,可设,代入椭圆方程中,解得: M(x,3)x,2300
故:当M(23,3)时,为的最小值为10 MA,2MF
[评注]:(1)以上解法是椭圆第二定义的巧用,将问题转化为点到直线的距
离去求,可使题目变得简单。
(2)一般地,遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
22xy[例2]:设,,1,(a,b,0)P(x,y)为椭圆的一点,离心率为e,P到0022ab
左焦点F和右焦点F的距离分别为r,r 1212求证:r,a,ex,r,a,ex 1020
PF1证明如图,由第二定义:,e 2ax,0c
22aa即:r,PF,e,x,,e(x,),ex,a 11000cc
又PF,PF,2a 12
?r,2a,r,2a,(a,ex),a,ex 2100注:?上述结论r,a,exr,a,ex,称为椭圆中的焦半径公式 2010
?PF,r,a,ex由,a,x,a 得出 1100
r,a,ea,a,c且r,a,e,(,a),a,c 11
即a,c,PF,a,c 1
当PF,a,c时,P为(,a0,) 1
当PF,a,c时,P为(a,0) 1
2x20,y,1的左焦点F作倾斜角为30的直线交椭圆于A、B9
两点,则弦AB的长为 2
分析: ?AB是焦点弦[练习](1)过
AB?AF,BF,(a,ex,)(a,,ex),2a,e(x,,x)ABAB
只需求(用联立方程后,韦达定理的方法可解)(学生完成) x,x,?AB
22xy(2)F1、F2为,,1的左、右焦点,P为椭圆上的一点,若PF,3PF,126448
则P到左准线的距离为 24
分析:由焦半径公式,设a,ex,3(a,ex)即x,8,p(x,y)得 00000
又左准线为: x,,16
则P到左准线距离为8-(-16)=24
[例3] 设椭圆的左焦点为F,AB过F的弦,试分析以AB为直径的圆与左
准线L的位置关系
解,设M为弦AB的中点,(即为“圆心”) 作AA,L于A,BB,L于B,MM,L于M, 111111
由椭圆的第二定义知:
AB,AF,BF,e(AA,BB) 11
?0,e,1 ?AB,AA,BB 11
又在直角梯形ABBAMM中,是中位线 111
?AA,BB,2MM 111
AB即:AB,2MM ?,MM112
AB(r,MM,r,d为圆M的半径为圆心M到左准线的距离d 12
故以AB为直径的圆与左准线相离
本节,重点是掌握第二定义的应用方法,特别是焦半径公式的运用(通常在
焦点弦中采用)
22xy,,1,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M,1、《课外作业》P92、10 43
使它到左准线的距离为它到两焦点F、F距离的等比中项? 122、已知椭圆