正整数立方和公式的推导

正整数立方和公式的推导正整数立方和公式的推导正整数立方和公式的推导提出问题 1S(n),1，2，3，？n,n(n，1)我们知道，前个正整数的和为， n12 (1)(21)nn，n，2222()123前个正整数的平方和为， Sn,，，，？n,n26 3333S(n),1，2，3，？n,?那么，前个正整数的立方和 n3 数学探究方案1 归纳推理如表1，列举出的前几项，希望从中归纳出一般的结论。 S(n)3 表1 ？ n1 2 3 4 5 6 ？1 9 36 100 225 441 S(n) 3 从表中数据并没有发现明显...

正整数立方和公式的推导正整数立方和公式的推导提出问题 1S(n),1，2，3，？n,n(n，1)我们知道，前个正整数的和为， n12 (1)(21)nn，n，2222()123前个正整数的平方和为， Sn,，，，？n,n26 3333S(n),1，2，3，？n,?那么，前个正整数的立方和 n3 数学探究方案 1 归纳推理如表 1，列举出的前几项，希望从中归纳出一般的结论。 S(n)3 表1 ？ n1 2 3 4 5 6 ？1 9 36 100 225 441 S(n) 3 从表中数据并没有发现明显的关系。我们猜想:S(n)与会不会有某种关系,如S(n)32表2，进一步列举出S(n)的值，比较与，希望能有所发现。 S(n)S(n)322 表2 ？ n1 2 3 4 5 6 ？1 5 14 30 55 91 S(n)2 ？1 9 36 100 225 441 S(n) 3 S(n)观察了与的相应数据，并没有发现明显的联系。怎么办呢, S(n)32 S(n)尝试计算。希望在计算与的比值中发现规律(表3) S(n)32 表3 ？ n1 2 3 4 5 6 ？ 1 5 14 30 55 91 S(n)2 ？ 1 9 36 100 225 441 S(n) 3 ？ 4539183063S(n) 3 35711913S(n)2 S(n)3我们想找出的通项公式，容易发现分母是一个等差数列，其通项公式为，下2n，1S(n)2 面问题的关键是要找出分子的通项公式，设其通项为，则 an ，其值构成等差数列故a,a,6,a,a,9,a,a,12,a,a,15,a,a,18,？2132435465,,是以6为首项，3为公差的等差数列，于是有 a,a(n,2)nn,1 a,a,3(n,1)，3,nn,1 a,a,3(n,2)，3,n,n,12 a,a,3(n,3)，3,n,n,23 ？ a,a,3,1，3.21 左右两边分别相加，得 (1)nn,3(123？1)3(1)333,a,a,，，，，n,，n,,,，n,n12 3n(n,1)3n(n，1)？3,3.a,？a,，n,1n22 S(n)(1)(21)nn，n，3n(n，1)3()故得，而Sn,， ,26S(n)2(2n，1)2 22(1)nn，所以有() Sn,34 方案2 演绎推理 4432我们知道(n，1),n，4n，6n，4n，1, 于是有: 41,1, 444322,(1，1),1，4,1，6,1，4,1，1,444323,(2，1),2，4,2，6,2，4,2，1, 444324,(3，1),3，4,3，6,3，4,3，1,？ 44432n,(n,1，1),(n,1)，4,(n,1)，6,(n,1)，4,(n,1)，1. 左右两边分别相加得 432,,,,,,,,S(n),S(n),n，4S(n),n，6S(n),n，4S(n),n，n 44321 1432S(n),(n，4n，6n，3n,6S(n),4S(n))于是得， 3214 (1)(21)(1)nn，nn，n，()将()，代入，得 Sn,Sn,1226 432222(1)n，n，nnn， ()Sn,,344 22(1)nn，至此，我们用两种方案推导出了正整数立方和公式，即。 ()Sn,34立方和[n(n+1)/2]^2 推导:(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 所以有 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2

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