随机信号分析(常建平+李海林)习题答案

随机信号分析(常建平+李海林)习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 答案 1-9 已知随机变量X的分布函数为 0,0x,, ,2Fxkxx(),01,,,,X ,1,1x,, (0.3,0.7)求:?系数k; ?X落在区间内的概率; ?随机变量X的概率密度。 解: Fx()第?问 利用右连续的性质 k,1 X PXPX0.30.70.30.7,,,,,,PX,0.7,,,,,,第?问 ,,F0.70.3F，，，， 201xx,,,dFx()Xfx(),,,X第?问 0elsedx, ,xfxkex()(),,,,,，,1-10已知随机变量X的概率密度为(拉X普拉斯分布)，求: (0,1)?系数k ?X落在区间内的概率 ?随机变量X 的分布函数 解: ,1 ,,fxdxk1，，,?问 第,,2 x2PxXxFxFxfxdx,,,,,,,，，，，，，1221第?问 ,x1 (,]xxyfx,PxXx{},,，，随机变量X落在区间的概率就是曲线下的曲1212边梯形的面积。 1PXPXfxdx0101,,,,,,,,,,，，,0 1,1,,1e，，2 第?问 1,xex,0,,2fx,，，,1 x,,ex,0 ,,2 x Fxfxdx,()，，,,, x11,,xxedxxex,,00,,,,,,,22,, ,,0x111,,xxx,,edxedxxex，,,,010,,0,,,,,,222 1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少, n=1,,,,,,,,,(01)-分布 ,,,,n,p0,np=二项分布泊松分布,,,,,,,,, ,pq,,,n成立，0不成立,,,,,,,,,高斯分布 实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布np,,100.1 k,,,e ,,,npPXk,，， !k 汽车站出事故的次数不小于2的概率 P(2)101kPkPk,,,,,,，，，， ,0.1P(2)11.1ke,,,答案 (,)XY1-12 已知随机变量的概率密度为 ,，(34)xy,kexy0,0,,,,fxy(,),, XY0,其它,, (,)XYPXX{01,02},,,,求:?系数k,?的分布函数,?, 第?问 方法一: Fxy(,)联合分布函数性质: XY 若任意四个实数，满足 aabb,,,1212 aabb,,,，则 1212 PaXabYbFabFabFabFab{,}(,)(,)(,)(,),,,,,，,,121222111221XYXYXYXY ,,,,,,，,,PXYFFFF{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2) XYXYXYXY PxyDfuvdudv{(,)},,,，，XY,,方法二:利用 D 21 PXYfxydxdy{01,02},,,,,,，，XY,, 00 1-13 已知随机变量的概率密度为 (,)XY ,,,,101,,xyx fxy(,),, 0,其它, fyx(|)fxy(|)?求条件概率密度和,?判断X和Y是否独YX 立,给出理由。 fy()fx()先求边缘概率密度、 XY 注意上下限的选取 x,，,2,01xx,,dyx,01,,,,,x,fxfxydy(),,,,，，,,XYX,,,0else， ,,0,else, 1,,,dxy,01,,y ，,1||,y11,,,y,,1fyfxydx(),,,,，，,,,,,dxy,10YXY,,,,0elsey,,, , 0,else, 1-14 已知离散型随机变量X的分布律为 X 3 6 7 P 0.2 0.1 0.7 YX,，31求:?X的分布函数 ?随机变量的分布律 XYe,1-15 已知随机变量X服从 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 高斯分布。求:?随机变量 ZX,的概率密度,?随机变量的概率密度, fyhyfhy()'()(),,,,分析:? YX fyhyfhyhyfhy()|'()|[()]|'()|[()],,，,? YXX1122 答案: 22lny，，z,,,,1222,,ey,0ez0,fyfz()(),,,,,YZ,y2 ,,else0else0,, XX121-16 已知随机变量和相互独立，概率密度分别为 11,,x21,,x1132,ex,0,ex,,0,21fx(),fx,(),3X2,22X11,,x0,0,x0,0,,2,1 ， YXX,，12求随机变量的概率密度, YYXX,,，,112,解:设 求反函数，求雅克比J,,1 YX,()任意的,21 11,,,yy11236eyy,0,,12fyy,,，，,6YY12 12 ,else0, 11,,y,y11,32eey0,,fy1,,，，,Y1 1,0else, XY,1-17 已知随机变量的联合分布律为 mn,532e,,,,PXYnmnm,,,0,1,2,,, mn!! PXm,,m(0,1,2,),,PYnn,,(0,1,2,),,求:?边缘分布律和, PYnX,,|mPXYn,,m|,,,,?条件分布律和, mn,5mn,32,32e32ee,,,,,,PXYnmnm,,,0,1,2,,,分析: mn!!mn!! k,,,e ,,,,0,1,2,PXkk,,泊松分布 !k k,,k,,,e,,,,,,,PXkeee,,,,,,1,,,,, P19 (1,48) k!k!000kk,,k, 32m,n,,,3e2e,,,,,PXPXYnmm,,,,,,,解:? m!n!11n,n, n2,,2e同理PYPXYn,,,,,nm,,,,,, n!n,1 PXYnPXmPY,,,,m,n,,,,,,,,? 即X、Y相互独立 1-18 已知随机变量相互独立，概率密度分别为XXX,,,12n 。又随机变量 fxfxfx(),(),,()1122nn YX,,11 ,YXX,，,212 , , ,YXXX,，，，nn12, 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :随机变量的联合概率密度为 YYY,,,12n fyyyfyfyyfyy(,,,)()()(),,,Ynnnn12112211, YX,,11 ,YXX,，XYY,,,212121, ,,YXXX,，，XYY,,,,2123232,,, ,, ,,YXXX,，，，XYY,,nn1121nnn1,,,,, YXXXX,，，，，,nnn121,, 10000 ,11000 J,,1 00100 00110, 00011, 因为|J|,1,故 fyyyfyyyyy(,,,)(,,,),,,Ynn121211Xn, XXX,,,相互独立，概率密度分别为已知随机变量12n fxfxfx(),(),,()1122nn fyyyfyyyyy(,,,)(,,,),,,Y121211nnnX, ,,,fyfyyfyy()()()11221nnn,1 1-19 已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为 1,xfxex,,,,,，,(),X 2 求其数学期望与方差, 解: ,,1,xEXxdxxdx,,,fx(0)e奇函数,,X,,,,,,2 ,,1x,222，，EXxdxxdx,,fx()e偶函数X,,，，,,,,2 ,,222xxx,,，,,,,,，xdxxeedxe，，0,,00 ,x,,,exdx2 ,0 ,xx,，,,,,，,2xee22dx，，0,0 {4,1,2,3,4},, 1-20 已知随机变量X可能取值为，且每个值出 15现的概率均为。求:?随机变量X的数学期望和方差,? 2YX,3随机变量的概率密度,?Y的数学期望和方差, ?? , EXxp[],,kk ,k1 , 2 EgXgxpEX[()]()[],,,kk ,k1 2 2D[][]XEXEX,,,, 4462142答案: EXEXX[][]D,,,,, 5525 13884062 EYEYY[][]1098D,,,,, 525 ? Y 3 12 27 48 P 1/5 1/5 1/5 2/5 离散型随机变量的概率密度表达式 P12，1-25式 , ,,,0x,fxpxx,,,，，，，,kk,x,，，, 其中 为冲激函数 0,0x,,k1, 1 fyyyyy,,，,，,，,,,,,31227248，，，，，，，，，，，，Y 5 mm,,1,2XY,1-22 已知两个随机变量的数学期望为，方XY 22,,0.4,,,,4,1差为，相关系数。现定义新随机变量XYXYVW,为 VXY,,，2, , WXY,，3, VW,求的期望，方差以及它们的相关系数, EVEW,,37,,,, EaXbYaEXbEY，,，,,,,,, DVDW,4.817.8,,,,, 22,,,,,,DaXbYaDXbDYabC，，,，2XY CXY,,XY 0.13 ,,XY XY,ab,YaXb,，1-23 已知随机变量满足，皆为常数。证明: 210a,,aEX[]2,m,0b,,,Ca,,,? ;? ;? 当且时，XYXXYX,,10aEX[], XY,随机变量正交。 CRmm,,? XYXYXY EYEaXbamb,，,，,,,,X 2，，EXYEXaXbaEXbm,，,，，，，，,,X，，，， 2Ca,,,XYX CXY,,XY? ,,XY 222DYDDXa,,,aXba，,，，，，，， X 2Ca,aXYX,,,,XY22 a,,XY,a,,XX 正交,,R0? XY 2,，，EXYaEXbm,，,,X，，, 2,得证,[]aEX b,,, []EX, ,XY,,1-25 已知随机变量相互独立，分别服从参数为和的21 泊松分布。?求随机变量X的数学期望和方差,?证明 ,,，ZXY,，服从参数为的泊松分布。 12 ,,k,e,,,PXk,,解:? 泊松分布 ,!k0k, kjuk,,,e，，,juXjuk,,,,，，QuEeeee,,,,,,，，,,特征函数的定义 X，，kk!!kk,,00 jujuk,,,,e,(1)e,xxQuee,,,e，，,e由(1-17题用过) 可得 ,X!k0k, jue,1,，，dQu，，deX,,,,,,EXjj，，，，,, duduu,0u,0 jue,1,2，，2dQu，，de22X22，，EXjj,,,,,，,,，，，， 22，，duduu,0u,0 ?根据特征函数的性质，X Y相互独立， ju()(1),,，,e12QuQuQue,,,，，，，，， ZXY ,,，表明Z服从参数为的泊松分布12 XY,1-26 已知随机变量的联合特征函数为 6 Quv,(,)XY ,,,jujvuv623 求:?随机变量X的特征函数 ?随机变量Y的期望和方差 3 QuQu,,()(),0XXY解:? ,ju3 2 Qv()()vQ,,0,YXY? 2,jv kdQu()kkX,,EXj[]()k du,0u 2dQvdQv()()2jjv48,YY,,224 dvdv22,,jvjv，，，， 2dQvdQv()()1122YY,,,,,,EYjEY[]()[](j)2 du22du,v0,v0 XY,Qu()1-28 已知两个独立的随机变量的特征函数分别是和X Qu()Qu()ZXY,，，,3(1)2(4)，求随机变量特征函数, ZY 解: 特征函数的性质:相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积 X、Y独立， 3(1)X，2(1)Y，因此有 和独立 独立的等价条件(充分必要条件) fxyfxfy(,)()(),,? XYXY knkn,,,,knEXYEXEY1,1()()()? Q(u,u)=QuQu,，，，， ? X12X1X212 1-29 已知二维高斯变量中，高斯变量的期望分别为(,)XXXX,1212 22mm,,,,,，方差分别为，相关系数为。令 1212 ,,,,,XmXmXm1112211YY,,,,,,,12 2,,,121,,1,, (,)XX?写出二维高斯变量的概率密度和特征函数的矩阵形12式，并展开; (,)YY?证明相互独立，皆服从标准高斯分布。 12 ,,XmXm1122,,XX,,,,12XN~(0,1)XN~(0,1)解: ，， 12XX12,,12 1YXYXX,,,,,，，11221 21,, 10,, ,,,,1,A系数矩阵 ,,22,,,,,,11,, YYAX,，线性变换，故也服从高斯分布 0,, MAM,,,,YX 0,, 110,,,,,TTCACAAA,,,YX,,,, 101,,,,, Cij,,0()YY，故不相关， ij12 YY高斯变量不相关和独立等价，独立 12 (,)XX1-30 已知二维高斯变量的两个分量相互独立，期望皆12 2为0，方差皆为。令 , YXX,，,,,112 , YXX,,,,212, ,,,,0,0(,)YY为常数。?证明:服从二维高斯分布; 其中12 YY,(,)YY?求的均值和协方差矩阵; ?证明:相互独1212 ,,,,立的条件为。 复习: n维高斯变量的性质 1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的 2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。 3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布 解:? YX,,，，，，，，，11,,,,,,, YX,,,，，22，，，， 2222，，,,,，,,0，，T2CACA,,,MAM,,,,? YXYX,,22220,,,，,,,,，，，， YY,?相互独立、二维高斯矢量 12 YY,C因此互不相关 只要证为对角证 Y12 22,,,,,,,,,0即 X，，1 ,,XX,2a1-31 已知三维高斯随机矢量均值为常矢量，方差阵,, ,,X3，， 222,，， ,,B,,254,,为 ,,,,244，， XXXXXX,,323,，，证明:相互独立。 121123 复习: n维高斯变量的性质 1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的 2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。 3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布 ，， ,,YX，，11,,,,YYXX,,,，,,,,212思路:设随机矢量 ,,,,Y12，，3XXX，，,,12333，， CY由性质可得为三维高斯变量，求得方差阵为对角阵 Y TCACA, YX ，，，， ,,,,100200 ,,,, AC,,,110030Y,,,, ,,,,122,,,,000 ，，，，333 (,,)XXX1-32 已知三维高斯随机变量各分量相互独立，皆服123 YXX,，YXX,，从标准高斯分布。求和的联合特征函数, 112213 0100，，，， ,,,,MC,,0010XX,,,, ,,,,0001，，，， MCYYX思路:是线性变换故也服从高斯分布，求得就Y 可以写出联合特征函数 XX，，，，11YXX,，Y110,，，，，1121,,,,,,,XXA,22,,,,,,,, Y,，XXY101，，，，213,2,,,,XX33，，，， YYAX,，线性变换，故也服从高斯分布 021，，，，TMAMCACA,,,,YXYX,,,, 012，，，， N维高斯变量的联合特征函数 T，，TTUCUjUYY，，,,,,,,expQEejMU,,,，，Y1Yn,,，，2,,，， 22，，exp,,，，,,,,，，1122，， 2、已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为 6(2)0101xyxyxy,,,,,,, fxy(,),,XY0else, fxyfyx(),()(1)条件概率密度 (2)X和Y是否独立,给出理由。 fxyfxfyfxyfyx(,)(),()(),(),,解题思路: XY 解:(1) 12,,6(2)4301xyxydyxxx,,,,,,,,0fxfxydy()(,),,,XXY,,, ,0else, 62yxy,,,，， fxy(,)0101,,,,xy,XYfyx(),,43,x,Yfx()X,0else, 62xxy,,,，， 010,,,,xy1, 同理fxy(),43,y,X ,0else, fxyfxorfxyfxfy()(),,,，，，，，，(2) XXXYXY X和Y不相互独立 4、已知 (X,X,X) 是三维高斯变量～其期望123和方差为 732，，YXX,，Xm0，，，，，，11211,,,,,,,,,,C,341YX,XXXMm,,,023X,,22 ,,,,,, ,,212,,,,,,Xm0，，33，，，，，， 求:(1) (X,X)的边缘特征函数。 12 (2) (Y,Y)的联合概率密度 12 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布 Y所以(X,X)、服从高斯分布 12 X073，，，，，，1 EC,,XX,,,,,,12(1) X034，，，，，，2 22，，764uuuu，，1122Quu,exp,,，，X12,, 2，， ,1100173，，，，，， AMC,,,YY,,,,,,(2) 001032，，，，，， 23,，，1,1CC,,25YY,, ,31725，， 22，，2617YYYY,，，，，11122 fyy,exp,,，，,,Y12 ,1050，， 2-1 已知随机过程 ，其中 为常数，随机变量 服从标准高斯分布。求 三个时刻 的一维概率密度, 解: (离散型随机变量分布律) 2-2 如图2.23所示，已知随机过程 仅由四条样本函数组成，出现的概率为 。 图2.23 习题2-2 在 和 两个时刻的分布律如下: 1 2 6 3 5 4 2 1 1/8 1/4 3/8 1/4 求 , 2,23 2-4 已知随机过程 ，其中 皆为随机变量。?求随机过程的 和自相关函数 ,?若已知随机变量相互独立，它们的期望 ，求 的一维概率密度 概率密度分别为 和 第?问 方法一:用雅克比做(求随机变量函数的分布) 步骤: t时刻， 为两个随机变量的函数 ?设二维的随机矢量 ?求反函数 ?求雅克比行列式J，得到|J| ?利用公式 ?由联合概率密度求边缘概率密度 ?t为变量，则得到 方法二: 用特征函数定义和性质(独立变量和的特征函数等于各特征函数的乘积)做 (特征函数和概率密度一一对应) 2-5 已知 为平稳过程，随机变量 。判断随机过程 的平稳性, 随机过程 非平稳 2-6 已知随机过程 ，其中随机过程 宽平稳，表示幅度;角频率 为常数;随机相位 服从 的均匀分布，且与过程 相互独立。?求随机过程 的期望和自相关函数,?判断随机过程 是否宽平稳, ? 与过程 相互独立 2-8 已知平稳过程 的自相关函数为 ， 求过程的均方值和方差, ，其中随机变量 独立，均值都为0，方差2-10 已知过程 和 都为5。?证明 和 各自平稳且联合平稳;?求两个过程的互相关函数, ? 2-11 已知过程 和 各自平稳且联合平稳，且 。?求 的自相关函数 ,?若 和 独立，求 ,?若 和 独立且均值均为0，求 第?问 两个联合平稳的过程的互相关函数 第?问 两平稳过程独立 第?问 和 独立且均值均为0 2-12 已知两个相互独立的平稳过程 和 的自相关函数为 令随机过程，其中 是均值为2，方差为9的随机变量，且与 和 相互独立。求过程 的均值、方差和 自相关函数, 随机变量A，与 和 相互独立 可以证明过程 平稳 2-14 已知复随机过程 式中 为n个实随机变量， 为n个实数。求当 满足什么条件 时， 复平稳, 复过程 复平稳条件 ? ? 2-16 已知平稳过程 的均方可导， 。证明 的互相关函数和 的自相关函数分别为 若 为宽平稳(实)过程，则 也是宽平稳(实)过程，且 与 联合宽平稳。 2-17 已知随机过程 的数学期望 ，求随机过程 的期望, 2-18 已知平稳过程 的自相关函数 。求:?其导数 的自相关函数和方差,? 和 的方差比, 不含周期分量 补充题:若某个噪声电压 是一个各态历经过程，它的一个样本函数为 ，求该噪声的直流分量、交流平均功率 解:直流分量 、交流平均功率 各态历经过程 可以用它的任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计平均 再利用平稳过程自相关函数的性质 方法二: 2-19 已知随机过程 ，其中 是均值和方 差皆为1的随机变量。令随机过程 求 的均值、自相关函数、协方差函数和方差, 解: 1( 求均值，利用 随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换 2.求自相关函数 3. 求互协方差函数 4. 求方差 2-20 已知平稳高斯过程 的自相关函数为 ? ? 求当 固定时，过程 的四个状态 的协方差矩阵, 分析:高斯过程四个状态的 解:? ? 2-21 已知平稳高斯过程 的均值为0，令随机过程 。 证明 2-22 已知随机过程 ，其中随机相位 服从 上的均匀分布; 可能为常数，也可能为随机变量，且若 为随机变量时，和随机变量 相互独立。当 具备什么条件时，过程各态历经, 分析:随机过程各态历经要求为平稳过程且 解:? A为常数时 为平稳过程 A为随机变量时 和随机变量 相互独立 为平稳过程 ? ? 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A是均值为2，方差 为1的高斯变量，B是(0，2,)上均匀分布的随机变量， 且A和B独立。求 (1)证明X(t)是平稳过程。 (2)X(t)是各态历经过程吗,给出理由。 (3)画出该随机过程的一个样本函数。 EXtEAEtB()cos2,，，,，，，，(1) ,,,,，， AB与相互独立 112,,,,,RttEA,cos5cos，,，,，X 22 12，，EXtXt是平稳过程,,,,5，，，，(2) ，，2 T1 ，，XtXtdtA,,()lim, ,T,,TT2 32Xt()G(),,3-1 已知平稳过程的功率谱密度为，求:?该过程的X2(16)，,平均功率, ?取值在范围内的平均功率, (4,4),, 解 ,12,,，，(1),,EXtGd:P，，，，X,，，,,,2方法一()时域法 24，，，,4,,,11RFGFe()()44,,,,,,,,,X22,,4，,，， ,,R(0)4P1 方法二(频域法) ,,1132,,Gdd()PX1,,22,,,,,,,224，,,,,41,,,d42,,,4,,,,1，,,4,, 1'arcxtan,，，21，x(2)取值范围为-4,4内的平均率功，， ,4132,Pd2,,2,22,424， ,, Xt()3-7如图3.10所示，系统的输入为平稳过程，系统的输出为 Yt()YtXtXtT()()(),,,。证明:输出的功率谱密度为GGT()2()(1cos),,,,, YX :解 已知平稳过程的表达式 ,,()[()()],利用定义求,，REYtYtY ,,()(),,GFR,,YY ()[()()],，REYtYt,,Y {()()}{()(},,,，,，,EXtXtTXtXtT,,,, 2()()(),,,,，RRRTT,,,XXX ()()()()系统输入输出平稳,,GRGRXXYY,,,,利用傅立叶变换的延时特性 jTjT,,,()2()()()？,,,GGGGeeYXXX,,,,jTjT,,,，，ee，,2()2()GG,,,XX,,2，， 2()(1cos),,GT,,X Xt()Yt()3-9 已知平稳过程和相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率 谱密度分别为 2,16G(), G,,(),YX22，16，16,, 令新的随机过程 ZtXtYt()()(),，, , VtXtYt()()(),,, ?证明和联合平稳; Xt()Yt() ?求的功率谱密度, G(),Zt()Z ?求和的互谱密度, G(),Xt()Yt()XY?求和的互相关函数, R(),Xt()Zt()XZ?求和的互相关函数 R(),Vt()Zt()VZ解: (1)()()XtYt、都平稳 ,4,,12RFGeEXtREXt()2[()]()0[()]0,,,，，,,,,,,，，XXX，， ,4,ReEYt()2[()]0,,,,，，,,,Y XtYt()()与独立 ？，,,，,,与联合平稳RttEXtEYtXtYt(,)[()][()]0()()XY,, (2)()()()ZtXtYt,， ,，REZtZt()[()()]Z,, ，，Yt()],,，，EXtYtXt[()()][(),,, ,，，，RRRR()()()(),,,,XYXXYY R()0,,XY ？,，RRR()()(),,,ZXY 2，16,？,，,,GGG()()()1ZXY2,,,，16,(3)()0()0RG,,,XYXY,, (4)()[()()]()()()REXtZtEXtXtYt,，,，，，,,,,XZ,,,,14||,,,,，,,,RRRFGe()()()[()]2XXYXX,,,, )[()()],，EVtZt,(5)(RVZ,,,，，，EXtYtXtYt[()()][()()],,,, ,,RR()(),,XY ,4||,,，,()4e,, 2Xt()R()2exp[],,,,3-11 已知可微平稳过程的自相关函数为，其导数X G(),,G(),YtXt()(),为。求互谱密度和功率谱密度, XYY F?.平稳过程 维纳,辛钦定理 GR,,() ，，,1XXF ,?.2-17 已知平稳过程的均方可导，。证明的互相关函数Xt()YtXt()(),XtYt(),()和的自相关函数分别为 Yt() 2dRdR()(),, XX,,,RR()(),,XYY2dd,, .傅立叶变换的微分性质 ? 2,,2,,4GFRFee解,,,,:()[()][2]2,,,XX 22t,,,,,,,,,,,,2,,,,,ee高斯脉冲,,, 222,,,,t,,P表第个,,,27928exp2exp,,,,,,222,,,,, 利用傅立叶变换的微分特性 2 ,,4,RRGGjej,,,,()()()()2XYXXYX,,,,,,,2 ,,224,,RRGGej,,,,,,()()()()()2YXYX,,,,,,, F()4,,3-17 已知平稳过程的物理功率谱密度为， Xt()X G(),Xt()R(),?求的功率谱密度和自相关函数,画出XXFGR(),(),(),,,的图形。 XXX Xt()?判断过程是白噪声还是色噪声,给出理由 物理功率谱密度 定义式FU,,G(,)2(),,，，XX 1GF,,,,,,,()()2,,,,XX2 R,()2(),,,X EXtX,,,Rt,，是白噪声。？[()]()0()X 白噪声的定义 若平稳随机过程的均值为零，功率谱密度在整个频率轴上均匀分布，满足 (,),,，, 1GN,, (3-1) ()N02 N0其中为正实常数，则称此过程为白噪声过程，简称白噪声。 4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 210VHzh(t)=U(t),U(t,0.5) 它的输入是功率谱密度为 的白噪声，试求 系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 白噪声 ht ，， R,，，Y ,12，，思路PEYtGd,,,,:()，，YY,，，,,2, 222，，DYtEYtmEYR,,,,[()][()]0，，YY，， RRh,,，，，，，，,,,XYX 解:输入输出互相关函数 RRhh()()()10()(),,,,,,,,,,XYX ,,,,10()10[()(0.5)]hUU,,, RRUU()()10[()(0.5)],,,,,,,,,,,YXXY 时域法 是白噪声，，XtmGR()0()10()10,,,,,,,,()XXX ,，mmhd,,()0,,YX,0 R()()()()10(,,,,,,,Rhhhh)(),,,,,,YX ,,，10()()hhd,,,,,0 2,,Rhhdd()10()()1000[()(0.,，,U,U,5)]Y,,,,,,,,00 0.5面积法,,,，,101100.55d,,0 2平均功率:EYtR[()](0),,5P,YY 22[()][()]5交流平均功率:DYtEYtm,,,Y 频域法 j,,,,,,,2UtUtSae,,，，,,矩形脉冲A的频谱等于A，，，，,,，，2,, ,(P131371信号与线性系统书式) 1,j1,,,,4,,HeSa(),,,24,, 21,j152,,,,2,4,,,,,GGHeSaSa()()()10 YX,,,,,,,2424,,,, ,,115,,2,,,,GdSad5P，，YY,,,,,,,,,,,2224,,,,,1,,2Sad,1,,,,,,22,,,,mmHH,,,,,0000直流分量为，，，，YX 222交流平均功率:DYtEYtmEYt[()][()][()]5,,,,,PYY httUtUt()(1)[()(1)],,,,4-5 已知系统的单位冲激响应，其输入平稳信号的自 R()2()9,,,,，相关函数为，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函X 数, mmht,,，，分析:直流功率,直流分量的平方 YX 2mRR,,,,,,,300,，，，，XXX解: 输入平稳 13mmhtht,,,,,=31-d,,3，，，，，，输出的直流分量 YX,02 92m,输出的直流功率 Y4 ,dFj，， 变换 频域的微分特性 -jtft,,F，，d, dFj，，,,,,tftj，，d, ,,,,,,At=AtAt,httt()(1)(1)[()(1UtUtt)]，，，，，， ',,,HAAj，，，，，，,,, j,,,,2,矩形脉冲，，,,,,的频谱UtUtASae1，，，，，，,,，，,2,, 'jjj,,,,,,，，1j,,,,,,,,''222,,,，,,ASaeSaeSae，，,,,,,,,,,,,,,22222,,,,,,,,,，， 2,,GGHGHH,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，YXX,2，，19,,,,,,',,，,SaSaR20，，，，,,,Y,,,,,,2224,,,,，， j1,,,,',HAAjSa,,,,,,,j0001lim0，，，，，，,,,,,0,222,,,, 39mmH,,,,直流功率0，，YX24 N4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为的白噪0 声，求:?系统的传递函数H(),,?输出的均方值,其中Zt() 2,,[sin()]ax,22,, dxaaxdxa[()]Sa,,2002x ,,,,,, YXHYH,()()()()(),,Z,,，，12 ,,,,,, XHHHHZ,,,()()()()()可以分别求、，，1212 ,Hhtht,()F,，，冲激响应，输入为冲激函数，，，，，， YtXtXtT(1)():,,,()() ,,htttT输入为冲激函数，冲激响应,,,，，，，，，1 jT,,,He,()1,,1 t1 htdUtH(),,,()()()(),，,,,,,,,22,,,j, HHH,(),()(),,,12 ,jT,,e1(1),,jTjT,, ,,,,,,,,，,,ee，(1)[()](1)()jj,, ,, (2)(0)()()RGR,求输出Zt的均方值即，所以有，，ZZZ ,jTjT,,， (1)(1)2,,ee2()(1cos)HT,,,,,,2 jj,,,, 22 2sinsinTT,,,,,22 2,,2NsinT220,()()()(),,,,,GGHHN,,ZX0,,,,22, 2,1sinT,1j,()[()]RFG,,,Ned,,,ZZ02,,,,,,2,,2,1sinTj,0(0)RN,,,ed,,Z02,,,2,,2,NTNNTsin,,000dT2,,,,,,,,2,0222,,, 4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为 2,，4G(),, Y42，，109,, ht()求此稳定系统的单位冲激响应, 2解: GHG,,,()()1,,,G(),，，XXY 22，4, ,HG,(),，，,,Y42，，109,, s,j带入, 222,，ss2，，，，,，s4HsHsHs,,,,，，，，，，42sss,，,，3311ss,，10s9，，，，，，，，系统稳定，则零头、极点都在左半平面 22，，sj,HsH,,,，，，，,ssjj，，，，3131，，，，，，，，,, 11,, ,,1tt113,,,,22htFHFeeUt,,,，，，，，，，，，，,,，，jj，，312,,,,,,, 4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为 2,，3G (),,X2，8, 设计一稳定的线性系统，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声, H(), 2解: GGH,,,,,,,1()1，，，，YX 33,，ss，，，，21,,,Hs，， Gs()2222,，ssX，，，， 22，s,,Hs，， 3，s 22，j,即H,，，, 3，j, 用复频率代替s=j, 2因式分解,,,HsHs()()sH，， 选择依据左:系统是稳定的物理可实现系统，所有极点都在半平面 H(0)2,N24-14 功率谱密度为的白噪声作用于的低通网络上，等效噪声带0 1,0.1WXHMHzN宽为。若在电阻上的输出平均功率为。求的值, 0 ,,e6fH,单位为故本题,,,,,,,,22XH10f书P162 ， Zeee2, ,,112,,GdGH,,,,,dP()，，，，YXY,,,,,,22,,解:对于低通情况 12,,,,NH(),,e0max2, 12 P,,,,(),,NHY0emax2, XH16,7,,，,,,，,0.1210410NN,00 24XH, ,2Hd,,(),P2,Y0或者调用公式 ,,,,e22HHN,(()),,0maxmax 图4.24 习题4-18 Wt()4-18 如图4.24所示的线性系统，系统输入是零均值，物理谱密度为1的 ,thteUt()(),白噪声，且。 Xt()Yt()?判断和分别服从什么分布,给出理由。 ?证明是严平稳过程。 Yt() 求和的互相关函数，的功率谱密度, ?Wt()Xt()Yt() ?写出的一维概率密度表达式, Yt() ?判断同一时刻，和是否独立,给出理由。 Xt()Yt() Wt()解:?是白噪声 (白噪声带宽无限，由定义)， 1,thteUt()(),,,H()线性系统，系统传递函数， ，1j,是个低通线性系统(带宽有限) 由4.5节结论2若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接 Xt()近于高斯分布可知，为高斯过程。 由4.5节结论1可知，为高斯过程。 Yt() Yt()Xt(),和服从高斯分布 Yt()?证明是严平稳过程 证:Wt()是白噪声(宽平稳过程)，通过线性系统的输出也是宽平稳过程Yt()(4.2.2结论1)。 对于高斯过程，宽平稳和严平稳等价。 Yt()?求和的互相关函数，的功率谱密度 Wt()Xt() 11t,,,RRtU,,,,,,,,,,,hUee()()()(()()) WXW22 1,thteU()(),,t,H(), 1，j, 112GHG()()(),,,,,,傅立叶反变换,,,R,,()exp() XWX22(1)，4,REYtYt()()(),,,，,,Y ,,,，,，,EXtXtTXtXtT()()()(),,,,,,,, ,,,,，2()()()RRTRT,,,XXX 1,，,,,,,,，，2exp()exp()exp()TT,,,，，4 1422，，,jTjT,,Gee,可得,,,()Y222,,4111，，，,,,，， 1421，，,jTjT,,eeT,,，,,1cos，，,，，222,,4111，，，，，,,, GGT()2()1cos,,,,,习题3-7 的结论 ，，YX t,,YtXtdt()(),,,tT Yt()?求一维概率密度表达式 , Yt是高斯过程,，， ,输入零均值，输出零均值,，则易得 ,12,,(0)1exp()RT,,,,,,Y2, 2y,122,fyte,; ，，Y,,2思考1:上述随机过程的一维概率密度表达式中没有时间参量，根据严平tYt() 稳过程的特性也可以推到。 思考2:试着写出这个过程一维、二维的概率密度和特征函数形式。 和是否独立,给出理由 ?判断同一时刻，Xt()Yt() 和独立(高斯过程) 等价 互不相关(零均值) 等价 正交 Xt()Yt() 和联合平稳，再由两者的相互关系可得 Xt()Yt() RRT()()(),,,，,，,，,,EXtYtEXtXtXtXtT()()()()()(),,,,R,,,,,,XYXX 即不正交 1,,,,,，,,R(0)0RRT(0)()1exp()T，,XYXX，，4 Yt(),Xt()和在同一时刻不独立。