正方体涂色问
题
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公式 正方体中涂色问题的解题技巧
三个面都染色的在8个顶点处，
三个面都染色的在12条棱的中间段(去掉每条横两头的各一个)，一面有色的在各个面的中央，没有着色的在长方体的中在。
对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下:三面涂色的:8块
二面涂色的:(n,2)×12
一面涂色的:(n,2)×(n,2)×6
对于一个a×b×c的长方体，其涂色情况如下:三面涂色的:8块
二面涂色的:[(a,2)，(c,2)]×4
一面涂色的:[(a,2)×(b,2)，(a,2)×(c,2)，(b,2)×(c,2)]×2
正方体中涂色问题的解题技巧
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在人教版小学五年级下期教学《长方体和正方体的表面积》后，一位同学拿来了一道题来问我:把
一个棱长是6厘米的正方体表面涂成红色，然后把它截成棱长1厘米的小正方体，请观察有二个面涂成红色的正方体有多少个,我觉得本题很有意思，如果运用得好，对学生的动手能力、思维发展能力，对激发学生的学习兴趣会取得很好的效果。对于这道题，我没有及时给学生讲解方法，而是专门用了一节课的时间，让全班同学一起来探讨这类题的解决方法。
我充分利用学生手中的小正方体(我在上长方体和正方体的认识时，每个学生都做了2个边长1厘米的小正方体)，首先让学生用小正方体拼成一个较大的小正方体，用了8个拼成边长2厘米的正方体，然后给它的表面涂色，再截开成8个小正方体，学生很容易观察出一面涂色没有，两面涂色没有，三面涂色8个;再接着拼，用了27个拼成边长3厘米的正方体，涂色，再截开，归类出一面涂色6个，两面涂色12，三面涂色8个,没有涂色27,6,12,8,1个;第三次拼，用了64个拼成边长4厘米的正方体，涂色，截开，观察出一面涂色24个，两面涂色24个，三面涂色8个,没有涂色64,24,24,8,8个;我接着
用课件演示125个涂色正方体截成小正方体，然后归类，观察出一面涂色54个，两面涂色36个，三面涂色8个,没有
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涂色125,54,36,8,27个……
在实际解题中，我们的学生如果每种情况都这样去分析，显得太麻烦，我为了充分调动学生的积极性，激发学生的学习兴趣，让学生主动探究出有没有更好的方法或规律来解决这类题型，我出示了课件:把一个涂色的棱长3厘米的正方体截成棱长1厘米的小正方体，你能不能不截开直接观察出涂色的情况,
学生通过小组合作探究并与展开激烈的讨论，许多学生碰撞出思维的火花，很快发现:
?三面涂色都有8个(8个顶点);
?一面涂色的原正方体每个面上有1个，
共1×6,6个;
?二面涂色的原正方体每条棱上有1个，
共1×12,12个;
?没有涂色就是最中间的1个。
接着课件出示涂色后边长4厘米的正方体，学生同样发现:
?三面涂色都有8个;
?一面涂色的原正方体每个面上有2×2个，共2×2×6,24个;
?二面涂色的原正方体每条棱上有2个，
共2×12,24个;
?没有涂色就是最中间的8(23)个。
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接着课件出示涂色后边长5厘米的正方体，学生同样发现:
?三面涂色都有8个;
?一面涂色的的原正方体每个面上有3×3个，共3×3×6,54个;
?二面涂色的原正方体每条棱上有3个，共3×12,24个;
?没有涂色就是最中间的27(33)个。
根据以上三种情况，我通过小组讨论,让学生在对比中很快就发现了:
?截的过程实际就是正方体每条棱等分的过程;?无论哪种情况，三面涂色都有8个，就在8个顶点上的小正方体;
?一面涂色的原正方体每个面上有(棱长数,2)
×(棱长数,2)个，
总个数:(棱长数,2)×(棱长数,2)×6个;?二面涂色的原正方体每条棱上的个数是(棱长数,2)个，共(棱长数,2)×12个;
?没有涂色的个数依次是0、1、8、27……实正方体中涂色问题的解题技巧际上就是一个数的立方，也就是(棱长数,2)3个。根据学生的
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，我及时总结出正方体中涂色问题的解题技巧:
把一个棱长n厘米的涂色正方体截成棱长1厘米的小正方体(也就是把正方体的各棱长n等份)。由于一个正方体无论从哪个角度去看，都只能看见三个面，
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所以在截开后的小正方体中涂色只有三个面、两个面、一个面、没有涂色四种情况。
则一面涂色的小正方体有:
(n-2)×(n-2)×6个;
二面涂色的小正方体有:(n-2)×12个个;;
三面涂色的小正方体有:8个(8个顶点处的正方体);
没有涂色的小正方体有:(n-2)3个。
运用此结论学生很容易就解决出“把一个棱长是6厘米的正方体表面涂成红色，把它截成棱长1厘米的小正方体，请观察有二个面涂成红色的正方体有多少个,”这个问题，
一面涂色的小正方体有
(6-2)×(6-2)×6,96个;
二面涂色的小正方体有(6-2)×12,48个，三面涂色的小正方体有8个;没有涂色的小正方体有(6-2)3,64个。
在小学数学课堂教学中，学生的潜能是无限的，关键是我们在课堂教学中如何抓住学生的闪光点，让课堂真正成为有效的课堂，
提高课堂教学效率。特别是我们在几何知识教学中，要充分利用点、线、面、体及它们的关系，提高学生的空间观念和解决实际问题的能力。
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