[攻略]曲率线坐标网下曲面上三个基础形式关系的证实

[攻略]曲率线坐标网下曲面上三个基础形式关系的证实[攻略]曲率线坐标网下曲面上三个基础形式关系的证实曲面上三个基本形式的关系的证明方法 ,,2,,:(,)rruvC设曲面是类的正则曲面.曲面上一点, ,nPuv(,)处的单位法向量为. ,,,,,, ennfnngnn,,,,,,,,令， uuuvvv ,称为曲面的第三类基本量.用表示曲面的第三基本形,efg,,,,, [13],式: 22,,,,，，edufdudvgdv()2() . 曲面第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示，在文献[1-3]中是在曲面上选取了曲率线网作为坐标曲线网后，给予证明的...

[攻略]曲率线坐标网下曲面上三个基础形式关系的证实曲面上三个基本形式的关系的证明方法 ,,2,,:(,)rruvC设曲面是类的正则曲面.曲面上一点, ,nPuv(,)处的单位法向量为. ,,,,,, ennfnngnn,,,,,,,,令， uuuvvv ,称为曲面的第三类基本量.用表示曲面的第三基本形,efg,,,,, [13],式: 22,,,,，，edufdudvgdv()2() . 曲面第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示，在文献[1-3]中是在曲面上选取了曲率线网作为坐标曲线网后，给予证明的. 5 曲率线网为坐标网下曲面的第三基本形式用第一和第二基本形式表示的证明定理 2.4.1 曲面的三个基本形式之间存在的关系:??+K?,2H=0 证明取曲率线网为坐标网，则有FM,,0,0; 2222?,，EduGdv?,，LduNdv，。 22,,，LduNdv()() k,,n22 ,，EduGdv()() 22LEduNGdv()(),，，2222EEduGdvGEduGdv()()()()，， LNLN min{,}max{,},,kn则有。EGEG LNLNk,min{,}k,max{,}12，。EGEG LN Kkk,,12将基本量代入， EG 1LGNE， Hkk,，,()12， 22EG ,,,,,,nnnn,,,,0,0nn,,1,因为所以，uv ,,,,,,nrr,,nrr,,从而共面，共面， uuvvuv ,,,Laa,,,,0narar,，设，则有; 12uuv12E ,,,Nbb,,,0,nbrbr,，设，则有 . 12vuv12G于是 ,,,,2ennarr,,,, uuuu1 2L, ， E ,,， fnn,,,0uv 2,,,,N2， gnnbrr,,,,,vvvv2G 22LNLN2222 ?,，,，dudvLduNdvEGEG LNLN2222,，，,，()()()LduNdvEduGdv EGEG =2H?-K?， ?-2H?+K?=0故成立。曲率线网为坐标网下曲面的第三基本形式用第一和第二基本形式表示的证明 2222取曲率线网为坐标网，则有?,，EduGdv，?,，LduNdv此 ,,时坐标网为曲率线，故为主方向，对应的主曲率分别为，kk,rr,uv12 ,, 由主方向判别定理，，其中为主曲率，kdnkdr,,nn ,,,, 因此， nkrnkr,,,,,uvuv12 ,,,,22得， ennkrrkE,,,,,uuuu11 ,,,, ， fnnkkrrkkF,,,,,,0uvuv1212 ,,,,22， gnnkrrkG,,,,,vvvv22 2222所以, ?,，kEdukGdv12 ,,,,,, Mnr,,,,0同时，，LnrkrrkE,,,,,,vuuuuu11 ,,,, NnrkrrkG,,,,,,, vvvv22 22因而?,，kEdukGdv， 12 2222于是 ?,，kEdukGdv 12 2222 ,，，,，()[]()kkkEdukGdvkkEduGdv121212 =2H?-K?， 1其中为平均曲率，为高斯曲率，Hkk,，()Kkk,12122 ?-2H?+K?=0故成立。参考文献: [1]梅向明，黄敬之.微分几何[M].第4版.北京:高等教育出版社出版， 2008，87-105. [2]陈维桓.微分几何[M]..北京:北京大学出版社,2006,158-176,229-241. [3] 彭家贵，陈卿.微分几何[M].北京:高等教育出版社，2002,47-59. [4]马力. 简明微分几何[M].北京:清华大学出版社, 2004,27-38. [5]陈维桓. 曲面的三个基本形式之间的关系是Hamilton-Cayley 定理的推论[ J] . 数学的实践与认识, 1990( 3) : 79-81. [6] 于纯孝,王洪英.曲面的三个基本形式之间关系的注记[J]. 山东师大学报( 自然科学版). 1996, 11 ( 4):9-11. [7] 傅朝金.曲面的三个基本形式之间关系的几种证明方法[J]. 高等函授学报( 自然科学版). 2001, 14 (6):13-14. [8]傅朝金,何汉林. 曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系的证明及其应用[J]. 海军工程大学学报, 2002 ,24(3):5-7. [9]宋占奎.曲面的第三基本形式研讨[J].吉林化工学院学报，2006， 23(4):79-82 . [10]杨殿训.高斯映射的基本性质[J]. 烟台师范学院学报(自然科学版).1989,5(2):76-81. [11] 林梦雷. 曲面上曲线的测地挠率公式的一个简单证明[J]. 漳州师范学院学报(自然科学版).1999,12(3):22-23

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