二叉树模型在股票及股票期权定价中的应用

二叉树模型在股票及股票期权定价中的应用 二叉树模型在股票及股票期权定价中的应 用 第10卷第1期太原师范学院(自然科学版)Vol?10No?l 2011年3月JOURNAIOFTAIYUANNORMAIUNIVERSITY(NaturalScienceEdition)Mar?2011 二叉树模型在股票及股票期权定价中的应用 郭尊光仉志余 (1.中北大学理学院,山西太原030051;2.太原工业学院理学系,山西太原030008) [摘要]期权是持有人在未来确定时间,按确定价格向出售方购入或售出一定数量和质量的 原生资产的协议,但他不承担必须购入或售出的义务.二叉树模型是金融衍生物定价的常用方法之 一 .文章介绍了通过复制技巧推导出了期权定价公式,基于Matlab编程解决了比较复杂的多时段 期权定价的实际问题. (关键词]二叉树模型;复制技巧;Matlab;期权定价 (文章编号]l672-2027(2011)0l_003503(中图分类号]0211.6[文献标识码]A 0引言 1990年哈里?马科维茨(HarryMarkowitz),威廉?夏普(WilliamSharpe)和默顿?米勒(MertonMill— er)获得诺贝尔经济学奖,让整个世界注意到了一门新学科——金融学.此学科研究金融市场如何运作,如何 使金融市场更有效率,以及如何进行调节.现代金融理论的核心问题是金融衍生物定价问题,期权和期货是 金融市场中比较重要的两种金融衍生物,期权是持有人在未来确定时间,按确定价格向出售方购人或售出一 定数量和质量的原生资产的协议,但他不承担必须购人或售出的义务.期权按合约中有关实施的条款可分为 欧式期权和美式期权,欧式期权是只能在合约规定的到期日实施.美式期权是能在合约规定的到期日以前 (包括到期日)任何一个工作日实施.期权按合约中购入和销售原生资产可分为看涨期权和看跌期权,看涨期 权是一张在确定时间,按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约,看跌期权是一张在确定时 间,按确定价格有权出售一定数量和质量的原生资产的合约].期权定价问题是金融衍生物定价问题中的重 要问题之一.二叉树模型是由考克斯,罗斯和鲁宾斯坦(Cox,RossandRubinstein)[2 首先建立.本文在风险 中性的市场中如何利用复制来化解风险,运用二又树模型对欧式期权进行定价,并利用MATIAB进行了二 又树的多步实现. 1单时段二叉树模型 起点和终点分别记时刻0与时刻1,h和t分别表示一枚硬币的正面和反面,时刻0股票价格为S.>0. 时刻1股票价格将为S.(^)或s.(),上升因子为一,下降因子为一,为利率,假设0<< 0n,DO l+r%u.定义如果抛掷硬币结果为正面,衍生证券在时刻1的支付为(),如果抛掷硬币为反面,衍生证 券在时刻1的支付为V(t),欧式看涨期权和欧式看跌期权是特殊的衍生证券,欧式看跌期权在时刻l的支 付为(K—S),欧式看涨期权在时刻1的支付为(S一K)一,其中K是到期日的敲定价格. 为确定衍生证券在时刻0的价格我们将利用复制期权的方法?.假设初始财富为x.,在时刻0买 入?.份股票,现金头寸为X.一?.S.,在时刻1股票与货币市场账户的资产组合价值为: X1一?(Sl+(1+r)(X.一?S,)一(1+r)x+?.Es一(1+r)s] 选择x,和?.使得X(H)一(H)和X(T)一.(T)为使衍生证券得以复制,必须有: 收稿日期:2Ol01210 作者简介:郭尊光(1978),男,山东单县人,中北大学理学院应用数学在读硕士研究生,太原工业学院理学系助教,主要从事金融数学研 究. 36太原师范学院(自然科学版)第1O卷 x.+?.(1s(H)一s.)一l_V(H), x.+?.(雨1s(r)一s.)一(丁) 如果选取声一暑,一等使得s.=丁{[声s(H)+牙s(T)] 求得XozI@rEPV1(H)-FqV1(T)~= 由以上对冲衍生证券的空头,到时刻1支付为V的衍生证券在时刻0的定价应为: V.一『干1Epv(H)+(T)]. 例1若股市中有一股票当前价格为50美元,已知在一年后这一股票价格将变为45美元或55美元, 无风险利率为5%.执行价格为50美元,一年后的欧式看跌期权的价格为多少? 由以卜知"一】.】,d=0.9.r一0.05.K一50 声一s,口一!1.1—1—0.O5 —r丁 S1(h)一55,S1(,)一45,V1()=(K—S1(H)) .一 l@rEPV,(H)-FqV1(T)]~.1.19. :0.25. 0,Vl(T)一(K—S1(丁))一5, 2多时段定价模型 我们将上面单时段模型推广到多时段,考虑一个N时段二叉树资产定价模型,其中O<<1+r<",并 且,定义如上,设V为一个随机变量(衍生证券在时刻N的支付),它取决于前N次抛掷硬币过程. …N. 由V(??…?)一1-[声+(…H)++(?.…T)] 按时间倒向递归定义随机变量序列一,V,…,.,每个V取决于前次抛掷硬币结果…cu, 其中在.到N一之间变化,接下来定义(091092'''(-On)一三孽三. 如果我们定义X.一.且由式X+一AS+(1十r)(X一AS)按时间向前递归定义资产组合价值 XI,X2,…,XN则我们有:XN(叫12…N)一N(1叫2…叫N). 对于0到N之间的,衍生证券在时刻的价格有风险中性定价公式"一l格J给出?进一 步,在2_T,衍生证券的贴现价格是一个鞅,即: 一 『]一0,1,…,N一1.1(1+r)"L(+r)』儿一'" 3应用及Matlab程序 多时段模型中,股票期权在初始时刻的价格要用到递归推导.计算非常复杂,我们可以利用软件来计算, 以此我们计算下面实际问题. 例2某股票的当前价格为40美元,在今后两个3个月的时间段内,股票价格或上涨10或下跌 10,无风险利率为每年12(连续复利).执行价格为42美元,6个月的欧式看跌期权价格为多少? 利用以上公式,建立双时段模型,通过Matlab[编程: S一100;E一100;T一1;r一0.08;M一2;dt—T/M;U一1.1;d一0.9; p一(exp(r*dt)一d)/(UEd)一0.7041;q一0.2959; S一100;E=100;T:1;r一0.08;M一2;dt—T/M;u一1.1;d一0.9;P一0.7041;q一0.2959; W—zeros(M+1,1); 第1期郭尊光:二叉树模型在股票及股票期权定价中的应用37 AssetpricesattimeT forn一1:M十1 w(n)一S*(d'(M+1一n))*(U(n一1)); end %OptionvaluesattimeT forn一1:M十1 w(n)一max(w(n)一E,0); end re—tracetOgetoptionvalueattimezero fori—M:一1:1 forn=1:i w(n)一exp(一r*dt)*(p*w(n+1)+qw(n)); end end disp('一年期的欧式看涨期权的价格为'),disp(w(1)) 运行即得结果: 一 年期的欧式看涨期权的价格为9.6105. 每个节点上: 上方数值一股票价格. 下方数值一期权价格. 参考文献:图1股票期权的二叉树 Eli姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].第2版.北京:北京教育出版社,2008:355 [23CoxJC,Rosss,RubinsteinM.Optionpricing:asimplifiedapproach[J].Fin.Econ,1979,3 :145166 [3]StevenE.Shreve,stochasticcalculusforfinanceI[M].NewYork:Springer'2005 [43JohnC.Hul1.期权,期货及其他衍生产品[M].第7版.王勇,索吾林,译,北京:机械工 业出版社,2009 [5]Desm.ndJ.Higham,ninewaystoimplementthebinomialmethodforoptionvaluationinMatlab[J].SIAM,2002,44(4):661 667 BinomialModelintheApplicationofStockandStockOptionsPricing GuoZunguang'ZhangZhiyu (1.SchoolofScience,NorthUniversityofChina,Taiyuan030051; 2.DepartmentofScience,TaiyuanInstituteofTechnology,Taiyuan030008,China) [Abstract]Optionisakindofagreementthattheholderwillpurchaseorsellacertain quantityandqualityoftheoriginalassetsfromtheselleratthedeterminedpriceandthedeter— minedfuturetime,buttheholderdoesnotassumetheobligationtopurchaseorsellnecessarily. Binomia1mode1isoneofthecommonmethodsoffinancialderivativespricing.BasedonMATLAB programming,wederivedtheoptionspricingformulabyreplicationtechniquesandsolvedthe morecomplicatedproblemsOfmoretimeoptionspricinginthispaper. [Keywords]binomialmodel;replicationtechniques;Matlab;optionspricing 【责任编辑:王映苗】