麦克斯韦速率分布函数导出研究
张晓庆
(天水师范学院，物理与信息科学学院,物理系. 甘肃,天水. 741000) 摘要:运用基本的统计理论得出了正则系综几率分布,而室温条件下的理想气体满足经
典力学描述,借助正则几率分布得到麦克斯韦速度分布律,进而得到麦克斯韦速率分
布函数.
关键词: 几率分布; 正则系综;速度分布;麦克斯韦速率分布函数; 1(引言
1859年麦克斯韦首先提出了平衡态气体分子的速度分布律,进而得到麦克斯韦速率分布函数.麦克斯韦速率分布函数在《热学》中是一条很重要的物理规律,但通常是直接给出,并不说明其推导过程,本文将运用统计理论加以推导(
2(正则系综几率分布推导
我们研究的是处于一定体积V内,分子数为N,在绝对温度下处于平衡的理想气体体系.把这样的一个体系看作A.那么对A进行N次观测,出现某一特殊结果的次数若为n,则这一特殊结果出现的几率就用
(1)
表
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示.为了使观测更加方便，就制备N个同样条件下的A体系,这样就能通过一次观测,得出N个体系中特殊结果出现n个的几率(1).
在同样的宏观条件(N,V,T)下，制备出N个全同与A的体系,设这些体系的总能量为E.若某一时刻t,有n个体系处于能量为?的能级上,n个体系处于能量为?的能0011级上,„„n个体系处于能量为?的能级上,每个n>>1且满足条件(2).rrr
(2)
1
这N个体系在能? ??上的分布,n,数用W表示,这个分布数相当于从N0 ,1 , r r
个体系中取n个放入中,从(N-n)个中取n个放入?中,从(N-n-n)个中取n0 01 1012
个放入?中„„的一个组合数，即 2
(3) 如果把上面N个体系看成是宏观条件(N,V,E)下的“独立体系”(加引号是这个大体系与一个恒温为T的热源接触，并非真正意义上的独立体系),那么(3)表示“体系”(正则系综)处于给定分布{n}的可到达态数.按统计理论的基本假设:“如果孤立体系处r
于平衡,它就等几率地出现在每一个可到达态中.”那么“体系”(正则系综)进入给定分布{n}的几率P就与W成正比: rr
P? W (4) r
对W取对数有:
(5) 由于N和n>>1,所以可以用近似公式: r
(6) 将(6)在(5)中应用得:
(7) 当“孤立体系”处于平衡时，它总是趋向于分布{n}数最大的那种分布态. r
所以极值条件: (8) 得
(9) 对约束条件(2)取变分后有:
(10)
(11)
2
以拉格朗日因子α和β分别乘以(10)和(11)并从(9)式中减去后得:
(12)
由(12)得: (13)
引入的两个拉格朗日因子α和β其中α是一个与体系数有关的常数, β是与体系数无关,
-1具有能量倒数量纲的因子，即,β,=,E,.
n表示体系在能级?中出现概率的分布数, rr
又因为: (14) 所以, (15) (15)可以看作体系,在能级ε中出现的几率,若用P表示,并将归在常数项C中rr
有,
(16) p表示在能量为ε的能级中找到体系的几率，即正则统计分布几率. rr
,(推导速度分布函数
(16)得出了正则统计几率分布，而我们不知道理想气体分子是按经典力学规律运动，还是按量子力学规律运动.这时就要用经典近似判别式:
q.p>>h (17)
若体系中任何一个有作用量的值与h相比较都非常大时,用经典力学描述会得到足够高
h的精确度.(17)相当于. q,,p
23用室温时N气考察T=300K,N的分子量是28,阿伏伽德罗常数N6.02×10 /mol, 22A=
-26普朗克常量h=6.626×10-34J?s(一个N分子的质量m?4.6×10kg,测得最概然速率2
-11-10为V=420m/s.所以h/p?3.24×10,而氮气分子直径约为3.64×10m,h/p值约为分子P
直径的10倍是符合经典判别式(17)的，所以理想气体分子的运动,可以用经典力学的
方法
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描述.
3
经典力学中用广义坐标和广义动量可以完全描述体系的运动状态，以广义坐标和广义动量建立笛卡尔坐标系，以标记相空间中的一点Q.由于理想气体分子处于三维空间,它的位置坐标分别用x,y,z表示，则动量坐标分别对为p,p,p,那么Q所xyz在的相空间,即相格用表示，其中
(18) 相格的几率密度设为F(,),那么在相格Q的几率为F(,), 根据统计理论基本假设的经典表述“孤立体系处于平衡时,它就以相等的几率处于相空间中的每一个可达相格中”,把这个几率用正则几率分布p表示就会有, r
,,,,33,rcedqdpF(,)= (19) 由于理想气体分子之间不考虑相互作用，并且重力可以忽略,那么气体分子的能量只是质心运动的动能,即
(20) 将(20)式代入(19)得:
(21)
在这里再引入(21)就变为，
(22)
若C归一，(22)就表示分布在单位体积内速度在到之间的几1
率，即为麦克斯韦速度分布律.
对C归一化,1
(23)
4
则得: (24)
所以麦克斯韦速度分布律: (25) ,(推导麦克斯韦速率分布律
将(25)式中的变元转换到球坐标系中
(26) 因为 如果不考虑速度的方向，只关心v的大小,就相当于在体积变元中对φ和θ的变化区间全积分.
将(26)代人(25)结合(24)并对对φ和θ的变化区间全积分有,
(27) 用f(v)表示速率分布则，
(28 ) (28 )中的f(v)称为麦克斯韦速率分布律.
现在来确定拉格朗日因子β值，运用热力学中分子的平均动能等于KT即
(29)
-23其中k= 1.38066×10J/K为玻尔兹曼常数,T为热力学温度.
由(29)得 (30) 用麦克斯韦速率分布律求得方均根速率应与(30)相等
5
(31) 得 : (32) 将(32)代人(28 )，得麦克斯韦速率分布律:
2,mv3m22kT2()4(),, (33) fvev2,kT
,(结束语
综上所述，对麦克斯韦速率分布律的推导，可以先用基本的统计理论得到正则系综的几率分布，再借助正则几率分布推出麦克斯韦速度分布律和速率分布律.函数中的β值可以结合热力学中平均动能值来确定.
参考文献
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