线路测量坐标正、反算原理及卡西欧5800计算器程序说明

线路测量坐标正、反算原理及卡西欧5800计算器程序说明 线路测量坐标正、反算计算原理 及卡西欧fx-5800P程序说明 一、计算原理 在各测量书中对于坐标正算的相关计算式均有说明，故在此不做详解，仅对正算过程中需要用到的原理及公式做一汇总。对于坐标反算，虽然都采用无限趋近原理进行计算，但计算方式各有差别，本文仅对其中一种自认为相对简单易懂并便于操作的原理进行详解。 [1]1.1 坐标转换 如图1，设X、Y为P点在国家控制网坐标系中的PP 坐标,x、y为P点在工程独立控制网坐标系中的坐标。PP X、Y为工程独立坐标系原点o在国家坐标系中的坐标，OO Δα为两坐标系纵坐标轴的交角。如果一条边在国家坐标系 中的坐标方位角为A，而在工程独立坐标系中的坐标方位 角为α，则: (1-1) 当由工程独立坐标系坐标换算至国家坐标系坐标时，换算公式为: (1-2) 当由国家坐标系坐标换算至工程独立坐标系坐标时，也可使用式(1-2)，此时应 。 将X、Y与x、y互换，且 1.2 坐标方位角关系计算 [2]1.2.1 正、反坐标方位角 一条直线的坐标方位角与直线的前进方向有 关，沿直线前进方向的坐标方位角称为正坐标方位 角，与其相反方向的坐标方位角称为反坐标方位 1 角。如图2，由于轴子午线之间是互相平行的，因此同一直线的正、反坐标方位角相差180?，即: (2-1) 当时，取“+”号,当时，取“-”号。 [3]1.2.2 坐标方位角的推算 1.2.2.1 转折角为右角 如图3(a)，为已知边坐标方位角，为推算边的坐标方位角，为该两边所夹的右角，则: (2-2) 1.2.2.2 转折角为左角 如图3(b)，为已知边坐标方位角，为推算边的坐标方位角， (2-3) 无论用右角还是左角推算，如遇出现负数的情形，应加上。当推算出的坐标方位角超过，则应减去。 如果已知导线起始边的坐标方位角和导线各右角或左角时，可直接用以下公式计算第n边的坐标方位角: 按右角: (2-4) 按左角: (2-5) 1.3基本曲线要素及坐标计算 2 各类测量书均对曲线要素及坐标计算有详细推到过程，此处仅列出 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 ，便于程序编制说明。本编制程序适用 于圆曲线两端缓和曲线不等长的基本 曲线，即基本形式为:第一直线段? 第一缓和曲线段?圆曲线段?第二缓 和曲线段?第二直线段。曲线形式及 各要素如图4所示，由于圆曲线两端 的缓和曲线不等长，故曲线中点与圆曲线的中点不一致，一般取曲线交点与圆心的连线与圆曲线相交之点M作为曲线中点。 1.3.1 曲线要素计算[4] (3-1) 切线角: (3-2) 内移值: (3-3) 切线增值: (3-4) 切线长: 圆曲线长: (3-5) 曲线长: (3-6) 或者: (3-7) (3-8) 3 (3-9) [5]1.3.2 切线支距坐标计算 (3-10) 缓和曲线: 式中:为计算点至直缓点ZH或缓直点HZ的曲线长，为缓和曲线长度。 (3-11) 圆 曲 线: 式中:为计算点至缓圆点HY或YH点的曲线长，为该点圆曲线部分的长度， 即该点里程与HY或YH点里程之差,为弧长对应圆心角。 [6]1.4 中桩坐标计算 参见图5，分段对各曲线组成段进行坐标计算。 1.4.1 HZ点(包括路线起点)至ZH点之间的中桩坐标计算 此段为直线段，即第一直线段，计算点坐标按下式计算: (4-1) 式中:为路线导线至的坐标方位角,为计算点至点的距离， 及计算点里程与点里程之差。 4 实际计算过程中，通过换算的反方位角即至的坐标方位角来计算第一直线段中桩坐标。计算式如下: (4-2) 式中:为计算点至的距离，及计算点里程与里程之差。 1.4.2 ZH点至YH点之间的中桩坐标计算 此段包括第一缓和曲线及圆曲线，可按式(3-10)和式(3-11)先分别计算出切线支距坐标x、y，然后通过坐标变换将其转换为测量坐标X、Y。坐标变换公式为: (4-3) 当曲线为左转角时，应以代入,点的坐标采用(4-2)计算，在此不做计算说明。 1.4.3 YH点至HZ点之间的中桩坐标计算 此段为第二缓和曲线，仍按(3-10)计算切线支距坐标，再按下式转换为测量坐标: (4-4) 当曲线为右转角时，应以代入。 实际编程计算过程中，应换算成与转角的关系式，即: (4-5) 当为右偏角时取“+”号，当为左偏角时取“-”号。 [7]1.5 中桩切线方位角计算 如图5，第一直线段切线方位角即，第二直线段切线方位角即。第一缓和曲线段、圆曲线段及第二缓和曲线段切线方位角计算分别如下: 1.5.1 第一缓和曲线段切线方位角计算 (5-1) 5 式中:右转角时，左转角时,，其中为计算点至点的里程差。 1.5.2 圆曲线段切线方位角计算 (5-2) 式中:同前,按式(3-1)计算。 1.5.3 第二缓和曲线段切线方位角计算 (5-3) 式中:同前,，其中为计算点至点的里程差。 [8]1.6 边桩坐标计算 在计算出中桩坐标及中桩法线方位角后，只需给出左偏角(或右偏角)、左边距和右边距，就能求出边桩坐标。如图6所示，左、右偏角只需给出其中任一个，另一个偏角可通过求得。 偏角值输入及计算如图6所示，A为中点切线方位角，W、W分别为左、右边LR距，中桩坐标为X、Y，则边桩坐标计算如下式: ii (6-1) (6-2) 6 [9]1.7 坐标反算 坐标反算即已知路线外任意点坐标，反算该点对应线路中桩里程及至中线的垂距。 如图7所示，AB为一曲线元，点P为一地面点，点P的坐标为已知或可用仪器测得。过点P作垂线PP′，l为垂足点P′到起点A之间的弧长，D为点P与线路PP中线的垂距。由图可知，点P与线路中线相对位臵可由2个唯一的量l和D确定。PP由于点P可能位于中线的左边或右边，所以为了区分，D也分正负，当P点位于线P 路左边时取负值，反之取正值。 直接求解D和l十分困难，故采用趋近原PP 理来达到计算目的。如图7所示，已知曲线元起 点A的坐标,X，Y,，过点A的切线方位角αAA ，地面点P的坐标,X，Y,，现求l 和D。 APPPP 坐标反算计算原理如下: ?取点P到起点A法线的垂距l的绝对值作为l的近似值，计算该近似弧长对1P 应里程中心桩号(即P点里程)及中桩坐标与切线方位角, 1 ?再以P点到通过P点法线的垂距l加上l作为新的l的近似值，同样计算该121P 近似弧长对应里程中心桩号(即P点里程)及中桩坐标与切线方位角, 2 ?如此类推，直至计算P点至上一近似弧长对应里程中心桩号法线的垂距绝对值等于0或小于精度要求范围内的某一微小数值(一般取<0.001m)，则此时所得近似弧长对应里程即所求P点对应路线中心桩号(即P′点)，并计算该里程中桩坐标及切线方位角, ?根据P点及P′点坐标计算两点间距，即D,为满足前面所说的当P点位于线路P 左边时D取负值，反之取正值的目的，D值用如下公式计算: PP (7-1) 7 式中:即点处法线方位角。 计算过程中点到直线的垂距公式如下: (7-2) 该公式推导原理为，分别以P点和P′点坐标及P′点切线方位角和法线方位角计算垂点坐标X或Y，详细步骤不做说明。 二、参考文献 [1] 公路施工测量手册-2版/聂让、付涛，人民交通出版社，2008.5，8-9 [2] 同上，107 [3] 同上，170-171 [4] 同上，247-248 [5] 同上，238-239 [6] 同上，252-254 [7] 公路几何设计/李绪梅，人民交通出版社，2003.10,41-42 [8] CASIO fx-5800P编程计算器:公路与铁路施工测量程序/贾辉，同济大学出版社，2009.8,45 [9] 线路测量通用公式的推导及编程/何艳维 8 CASIO fx-5800P坐标正、反算计算程序 三、程序说明 坐标正、反算计算程序主要包含五个程序，程序名称及说明如下: 1、交点要素子程序:JDn(n为线路设计交点编号)，输入对应交点要素，主要包含交点里程S、交点横坐标M、交点纵坐标N、方位角A()、路线转角Z()、曲线偏转方向系数G(左偏为-1，右偏为1)、圆曲线半径R、第一缓和曲线长度C、第二缓和曲线长度D，该程序仅对各要素赋值，正对不同线路对交点编号即程序内要素赋值进行改写, 2、主程序:ZCX，计算曲线要素及加桩点中桩坐标和切线方位角，该程序仅为过程计算，不显示任何结算结果，该程序适合任何线路基本曲线要素及中桩坐标和切线方位角计算, 3、坐标计算:ZBJS，根据设计路线各交点里程划分计算段落，并引用JDn和ZCX以计算中桩及边桩坐标和方位角，该程序仅划分线路段落，并判定计算桩号处于哪一个交点计算段落，该程序需根据不同线路交点里程划分段落, 4、坐标正算:ZBZS，引用ZBJS，显示中桩坐标及切线方位角，并计算边桩坐标，该程序为结果显示及衍伸计算，适合任何线路, 5、坐标反算:ZBFS，引用ZBJS进行循环计算，并最终显示线外点对应路线中桩里程及线外距，该程序适合任何线路反算。 程序中的桩号均为大桩号，如K5+020即为5020。 四、程序使用说明 在此仅对计算结果显示程序的使用进行说明，对于过程计算程序将在程序编制过程中进行说明。 下面对程序运行过程中屏幕显示及数据输入进行说明，屏幕显示内容以“”说明。 9 4.1 坐标正算:ZBZS ?“K=,” 输入计算点里程桩号 ?“XO=” 显示中桩横坐标 “YO=” 显示中桩纵坐标 “IO=” 显示中桩切线方位角 ?“LR，Y=1，N=0,” 如需计算边桩坐标输入1，否则输入0 输入0则结束程序，输入1后进行边桩坐标计算，计算过程如下继续 ?“α，L<0,R>0” 提示输入偏角值，左偏为负右偏为正 “I=,” 输入偏角值 ?“WL=,” 输入左边桩距离 “WR=,” 输入右边桩距离 ?“XL=” 显示左边桩横坐标 “YL=” 显示左边桩纵坐标 “XR=” 显示右边桩横坐标 “YR=” 显示右边桩纵坐标 计算完成，程序结束。 4.2 坐标反算:ZBFS ?“X=,” 输入线外点横坐标 “Y=,” 输入线外点纵坐标 “START，K,” 输入起算点里程桩号 说明:起算点里程桩号在本计算线路内任意点，不得超出线路计算范围,因循环引用计算，计算速度较慢，计算时间在30s左右。 ?“K=” 显示线外点对应线路桩号 “D，L<0,R>0” 显示线外距，左侧为负右侧为正 五、程序编制说明 10 为便于说明程序中每一条语句，实际编写程序中的“:”放在上一条语句后面，另省去回车符，即当前语句末尾如没有“:”则为回车符。 另外，为节省字符，个别可以省去后括号的语句，均未编写“)”。 程序中的计算公式均为最简化，需结合计算原理中相应计算公式对照理解。 5.1 交点要素子程序:JDn 程序语句:??S:??M:??N:??A:??Z:??G:??R:??C:??D 编写说明:分别将对应编号交点各要素赋值给对应变量，,为要素值，详见程序说明。有几个交点即有几个交点 要素则程序，程序名称编号应对应交点编号。 5.2 主程序:ZCX Deg:Fix 3:28?Dim Z 单位角度,小数位数3,增加28个变量 90C?(Rπ)?Z[1]: 计算切线角β，并赋值给Z[1] 1 90D?(Rπ)?Z[2]: 计算切线角β，并赋值给Z[2] 2 2C?(24R)-C^(4)?2688?R^(3?Z[3]: 计算内移值p，并赋值给Z[3] 1 2D?(24R)-D^(4)?2688?R^(3?Z[4]: 计算内移值p，并赋值给Z[4] 2 2C?2-C^(3)?(240R)+C^(5)?34560?R^(4?Z[5]: 计算切线增值q，并赋值给Z[5] 1 2D?2-D^(3)?(240R)+D^(5)?34560?R^(4?Z[6]: 计算切线增值q，并赋值给Z[6] 2 (R+Z[3])tan(Z?2)+Z[5]-(Z[3]-Z[4])?sin(Z?Z[7]: 计算切线长T，并赋值给Z[7] 1 (R+Z[4])tan(Z?2)+Z[6]+(Z[3]-Z[4])?sin(Z?Z[8]: 计算切线长T，并赋值给Z[8] 2 (Z-Z[1]-Z[2])Rπ?180?Z[9]: 计算圆曲线长度，并赋值给Z[9] C+Z[9]+D?Z[10]: 计算曲线长度，并赋值给Z[10] -1Tan((R+Z[3])?(Z[7]-Z[5]))?Z[11]: 计算中心角r，并赋值给Z[11] 1 -1Tan((R+Z[4])?(Z[8]-Z[6]))?Z[12]: 计算中心角r，并赋值给Z[12] 2 (R+Z[3])?sin(Z[11])-R?Z[13]: 计算外距E，并赋值给Z[13] 1 (R+Z[4])?sin(Z[12])-R?Z[14]: 计算外距E，并赋值给Z[14] 2 If A<180:Then A+180?B:Else A-180?B:IfEnd 计算反方位角A，并赋值给B i,i-1 11 S-Z[7]?Z[15]: 计算ZH点里程，并赋值给Z[15] Z[15]+C?Z[16]: 计算HY点里程，并赋值给Z[16] Z[16]+Z[9]?Z[17]: 计算YH点里程，并赋值给Z[17] Z[17]+D?Z[18]: 计算HZ点里程，并赋值给Z[18] M+Z[7]cos(B?Z[19]: 计算ZH点横坐标，并赋值给Z[19] N+Z[7]sin(B?Z[20]: 计算ZH点纵坐标，并赋值给Z[20] M+Z[8]cos(A+GZ)?Z[21]: 计算HZ点横坐标，并赋值给Z[21] N+Z[8]sin(A+GZ)?Z[22] 计算HZ点横坐标，并赋值给Z[22] If K?Z[15]:Then M+(S-K)cos(B?X:N+(S-K)sin(B?Y:A?E:Goto 计算第一直线段加桩点横、纵坐标及切线方2:IfEnd 位角，并分别赋值给X、Y和E 2If K?Z[16]:Then K-Z[15]?L:L-L^(5)?40?(RC)?P:L^(3)?计算第一缓和曲线段加桩点切线支距坐标， 2(6RC)-L^(7)?336?(RC)^(3?Q:A+90G(K-Z[15])?(RCπ)?E:Goto 分别赋值给P、Q，并计算切线方位角赋值1:IfEnd 给E If K?Z[17]:Then K-Z[16]?L:Rsin(180L?(Rπ)+Z[1])+Z[5]?计算圆曲线段加桩点切线支距坐标，分别赋P:R(1-cos(180L?(Rπ)+Z[1]))+Z[3]?Q:A+G(Z[1]+180(K-Z[16])?值给P、Q，并计算切线方位角赋值给E (Rπ)?E:Goto 1:IfEnd 2If K?Z[18]:Then Z[18]-K?L:L-L^(5)?40?(RD)?P:L^(3)?计算第二缓和曲线段加桩点切线支距坐标(6RD)-L^(7)?336?(RD)^(3?Q:Z[21]-Pcos(A+GZ)-GQsin(A+GZ)P、Q，并换算为计算坐标X、Y，计算切线 2?X:Z[22]-Psin(A+GZ)+GQcos(A+GZ)?Y:A+G(Z-90(Z[18]-K)?方位角并赋值给E (RDπ))?E:Goto 2: Else K-Z[18]?L:Z[21]+Lcos(A+GZ)?X:Z[22]+Lsin(A+GZ)?计算第二直线段加桩点坐标及方位角，并分Y:A+GZ?E:Goto 2:IfEnd 别赋值给X、Y和E Lbl 1:Z[19]+Pcos(A)-GQsin(A?X:Z[20]+Psin(A)+GQcos(A? 第一缓和曲线段及圆曲线段加桩点支距坐Y:Goto 2 12 标转换为计算坐标 Lbl 2 5.3 坐标计算:ZBJS 本程序需根据设计交点进行分段编制，编制原则为:统一小于当前交点HZ点里程，或统一大于当前交点ZH点里程。为便于理解，特以某路线设计数据进行程序编制。 设计要素:起止里程K4+200-K8+300，包含3个交点，各交点对应子程序(JD3-JD5)及坐标计算程序(ZBJS)编写如下: JD3 JD5 4639.983?S:4608188.6?M:543761.321?N:115?24?S:4604919.955?M:543312.351?N:181?6?7934.59? 17.5??A:108?4?59.4??Z:1?G:160?R:80?C:8057.6??A:71?52?17.5??Z:-1?G:255?R:50??D C:50?D JD4 ZBJS 5090.109?S:4607773.896?M:543367.946?N:223?29If K?4759.041:Then Prog”JD3”:Prog”ZCX”:IfEnd ?16.9??A:42?22?19.3??Z:-1?G:260?R:80?If K?5221.247:Then Prog”JD4”:Prog”ZCX”:Else Prog”JD5”:Prog”ZCX”:IfEnd C:80?D 注:部分程序命令换行显示，编制时须注意。对应前面坐标计算程序所说的编制原则，并通过对各交点要素进行计算，不难发现，该程序符合编制原则第一条，即统一小于当前交点HZ点里程，同样亦可按第二原则进行编制。通过以上程序四条程序，可见对于不同线路，这些程序均需根据设计数据重新编制，但只是增加或减少交点对应子程序以及划分段落。 5.4 坐标正算:ZBZS “K=”?K 输入加桩点里程 Prog”ZBJS” 引用坐标计算程序 “XO=”:X? 显示加桩点中桩横坐标 “YO=”:Y? 显示加桩点中桩纵坐标 13 “IO=”:E?DMS? 显示加桩点切线方位角 “LR,Y=1，N=0”?W 选择是否进行边桩计算，输入1计算，输入W=1Goto 0 0则不计算，并结束程序 Lbl 0 进入边桩坐标计算程序 “α,L<0，R>0”:”I=”?O(说明:该处为字母O，而非数字0) 输入并显示偏角值，左偏为负右偏为正 If O<0:Then E+O?Z[23]:E+180+O?Z[24]:Else E+O-180?计算左、右边桩与中桩连线的方位角，并分Z[23]:E+O?Z[24]:IfEnd 别赋值给Z[23]、Z[24] “WL=”?U:”WR=”?V 输入左、右边桩距中桩距离 “XL=”:X+Ucos(Z[23]?Z[25]? 计算并显示左边桩横坐标 “YL=”:Y+Usin(Z[23]?Z[26]? 计算并显示左边桩纵坐标 “XR=”:X+Vcos(Z[24]?Z[25]? 计算并显示右边桩横坐标 “YR=”:Y+Vsin(Z[24]?Z[26]? 计算并显示右边桩纵坐标 5.5 坐标反算:ZBFS 坐标反算程序编制对照计算原理进行分析理解，以下程序编制过程中仅做简单说明。 “X=”?I:”Y=”?J: 输入线外点横、纵坐标 “START,K”?K 输入起算点里程，该里程必须位于路线内 Prog”ZBJS” 计算起算点中桩坐标及切线方位角 Abs((J-Y)cos(E-90)-(I-X)sin(E-90))+K?K 计算，并计算里程 Do 开始循环计算弧长及里程 Prog”ZBJS” 计算当前点中桩坐标及切线方位角 (J-Y)cos(E-90)-(I-X)sin(E-90)?Z[27]:Z[27]+K?K 计算，并计算里程 LpWhile Abs(Z[27])>0.001(注:此处后括号不得省略) 满足精度要求则结束循环计算 14 “K=”:K? 显示线外点对应线路中桩里程 “D,L<0，R>0”:(Y-J)?sin(E-90)?Z[28] 计算并显示线外距，负在左侧正在右侧 15 六、程序字母及变量对照表 字母 已知 代表含义 变量 代表含义 A 正方位角 Z[1] 切线角1 B 反方位角 Z[2] 切线角2 C 缓和曲线长度1 Z[3] 内移值1 D 缓和曲线长度2 Z[4] 内移值2 E 中桩方位角 Z[5] 切线增值1 F 正反算选择 Z[6] 切线增值2 G 转角方向系数 Z[7] 切线长1 H Z[8] 切线长2 I 线外点横坐标 Z[9] 圆曲线长度 J 线外点纵坐标 Z[10] 曲线长 K 所求桩号 Z[11] 中心角1 L 距离 Z[12] 中心角2 M 交点横坐标 Z[13] 外距1 N 交点纵坐标 Z[14] 外距2 O 边桩偏角 Z[15] ZH点里程 P 相对横坐标 Z[16] HY点里程 Q 相对纵坐标 Z[17] YH点里程 R 半径 Z[18] HZ点里程 S 交点里程 Z[19] ZH点横坐标 T 曲线要素显示 Z[20] ZH点纵坐标 U 左边桩距离 Z[21] HZ点横坐标 V 右边桩距离 Z[22] HZ点纵坐标 W 边桩坐标计算选择 Z[23] 边桩横坐标 X 中桩横坐标 Z[24] 边桩纵坐标 Y 中桩纵坐标 Z[25] 左边桩方位角 Z 转角 Z[26] 右边桩方位角 Z[27] 线外点至起点法线垂距 Z[28] 线外点至中桩垂距 说明:部分字母及变量含义因字数限制未说明白，参照计算原理及程序理解。 16