上海大学数学竞赛

上海大学数学竞赛 上海大学2008年高等数学竞赛参考答案 limf(,)nn(,, 0)(1,1)y,f(x),x,，,nn1(设曲线在点处的切线交x轴于点，求。 n,1,,,k,f(1),ny,1,n(x,1)y,f(x),nx解:， ，切线方程为。 1,,1,n(,, 0)0,1,n(,,1)nnn 切线过点，解之得， 111nnff(,),(1,)lim(,),lim(1,),nn,，,,，,nnnne， ?。 //fx()f(x)f(,x),x[f(x),1]2(已知是可微函数,且满足，求函数。 ////f(t),,t[f(,t),1]f(x),,x[f(,x),1],x,t解:令，则上式为，即; 22xx，xx，1/2fx(),fxdxxxxc()ln(1)arctan,,，，,，2,2x，1x，12; 两边积分得。 得 ,,，，I,x,ydxdy,D,x,y|0,x,2,,1,y,1,,D3. 计算。 ,DDD解: 区域 关于y=0 对称，被积函数关于y 是偶函数，记是的上半部分. 则 ,,,I,2x,yd,2y,xd，2x,yd,,,,,,,12DDD y11232,2dyy,xdx，2dyx,ydx,？,2,,,,15000y 6f(0),fx()x,,154(设(1)时，函数具有连续导数，且; x,,1C (2)在范围内的任何闭曲线上恒有 ,,22xx[5()]()0yyefxdxefxdy,，, ,C。 ,,22xxIyyefxdxefxdy,,，[5()]()fx(),l 试求的表达式，并计算曲线积分，(1,0)(2,3)l其中是从到的一段弧。 ,,,,22xxefxyyefx()5()0,,,，，，，fx()xy,,x,,1 解:由题设当时，，即满足 dfx()12x,32xxfxcee,，()，,3()fxe5dx一阶线性微分方程，解得，又由条件 61,32xxf(0),fxee,，()(1,0)(2,0)c,155得，即;且计算曲线积分可沿到再(2,3)到的折线进行: ，，11,,,,,,,,232232xxxxxxIyyeeedxeeedy,,，，，5,,,,,,,l55,,,,，， 23111,,,,,,,,,,xx551010yedxedydxedye,,，，,，，,，503，，,,,,,,,,,l10555,,,,,,。 222x，y，(z，1),45. 设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面 作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S， ,求此封闭曲面S所围成的立体的体积。 (x,y,z)000解:设点Q为，则球面的切平面方程为 x(x,x)，y(y,y)，(z，1)(z,z),0000000 xyz,,,,,，,xtxytyztz,,1000xyz，1000垂线方程为 4222x，y，z,2222222222x，y，(z，1),4x，y，z，z,t(x，y，z)000t代入及切平面方程，得，，2222222,,2,cos,(x，y，z，z),4(x，y，z)即(P点轨迹)，化为球坐标方程得。 2, , 2,cos, ,2,,4023V,d,sin,d,,d,,(2,cos,)d(2,cos,),,,,,33 0 0 0 0。 1,() 0xdx,,,,,0,1,，，,,,(x)f(x)06(设函数在连续，周期为1，且，函数在上 ,21an,afxnxdx,() () ,n,0n,1有连续导数.设，证明:级数收敛。 1 2 n ,,,()()()0uduuduudu,,,,？,,,, 0 1 1n证明:由已知条件，令 xFxtdt()(),,F(x)FFn(0)()0,,, 0,则为周期为1的函数，且. 1 1 11111afxFnxdxfxdFnxfxFxfxFnxdx,,,,()'()()()()()'()()n,,,0 0 0 0nnn因此 11 1111,,fxFnxdx'()(),,,fFfFfxFnxdx(1)(1)(0)(0)'()(),,n 0nnn0， ,x,(,,,，,)|F(x)|,M？，M,0Fx()Fx()1由于连续、周期，则有界，，使，有， ,x,(0,1)？，M,0|f'(x)|,Mfx'()[0,1]22又在连续，，使，有， ,2111222an,aMM,|a|,|f'(x)F(nx)|dx,MM,nn12122nnn,1n故，由正项级数比较法知收敛. 32,xfxfxtx()(),，0,10,1，，,,fx()2在上连续，在内大于零，且满足;7(设函数 yfx,()xy,,1,0yfx,(),又曲线与所围的平面图形的面积值等于2，试求， ,xt并求常数为何值时平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。 ,3xfxfx()()3,2,,txfxfxtx()(),，2x,0x22解:因，故当时，有， dfx()3,,32,tfxtxCx(),，,,dxx2,,,2即，所以。又因为平面图形的面积为 1fxdx()2,,0 13tC,,2txCxdxCt，,，,,,,24,,,0222,,所以 ， 32fxtxtx()4,，,，，2故 ,x平面图形绕轴旋转一周的体积为 221,,3,t，，2Vtxtxdxt,，,,，，416,，，,,,,,02310，，,, 令,t,,,105,，,,,,Vtt,,35,,。 45,t,,510故当时，所求的旋转体的体积最小为。 ,xy,0,,,xy,0，，，，PQ,PQ,8(设分别为曲线和上的任意两点，现分别在点 ,xy,0,，，PQ,PQ,PQ,开凿运河，证明当运河的长最短时，直线必是曲线和 1,,xy,0，，PQ,,,,,C分别在处的法线，这里. PQ,,(,),(,),,,,解:设点 22f,,,,,,,,,,,,,，,，，，，，，目标函数: ,xy,0,,,xy,0，，，，约束条件: ， 22L,,，,，，(),,,,,,,,,,,,,，，，，，，12设 ,L,'20(1),,,,,,,，,，，,1,,,,,1,,,''PQ[,],,,,,,，，，，,,,,,,,，，,1,,L,',,20(2),,,，,，，,,,,1,,,,, ， ,,,,1,,PQn|1,,,,，，2即。 同理: ,L,'20(3),,,,,,，,，，,1,,,,,,,,,,L,1',20(4),,,，,，，,,PQn|,,,,12,,,,,，，,,,2,。 222xyRzR，,,,9( 将一均匀的物体:斜放在水平的桌面上，求稳定状态下， ,z轴与桌面的夹角。 122zxy,,，，，GR分析:物体与桌面的接触点在侧面上到该物体重心距离 x,0，，A最小的点处，由于侧面为旋转曲面，所以可处理为求截面边界抛物线2Rzy,GA上求到重心距离最近的点。 Gxyzy,,,0显然x,,，，解:设重心。 3,RR2,,R2,,,MdVdrdrzdz,,,12,,,,,,,r002R 4,RR2,,R2,,,MzdVdrdrzdz,,,1xy2,,,,,,,r003R 2M,,2xyG,0,0,,,,zR,,3,,M3， x,0,12,,,,2Ayy,0,,,G,0,0,2,,,,Rzy,R3,,,,,在侧轴截线上任取一点该点到的距离的平 方为: 22121141117,,,,22422222UyyRyyRyRR,，,,,，,,，,,,,22RRR339636,,,, 126dzRR,,2zy,,,,|arctan,A,0,,R,,y,Rdy2666U,,6使最小，应取 。对于。 Sxy,,,,,0,01,,fxy(,)10，设四次可微函数在平面域的边界上为零，并且 4,f,B22,,xy 1fxydxdyB(,),,,144S证明: gxyxxyy(,)(1)(1),,,证:考虑函数，对此。易知 414,ggxydxdy,,(,),4,,2236144,,xyS ， 22fxy(,)xxy,,,,0,1,01,,fy/ 因为在S的边界上为零，因此在这两线上 为零。于 33441111,,,,,ffg,,ffx,1,,dygdx|gdxdydygdx,,,x,022,,,,,,22220000,,,,,xyxyx,,,,xyxy,,S是 2222311,,,,,,fgfg11,,fg1,,,dydxdy |,,dydx,,02222,,2,,0000,,,,yxyx,,,xyx,, 2222,,fg11,,fg,dxdy,dydx,,22,,2200,,yx,,yxS 22yyx,,,,0,1,01,,gx/同理，在这两线段上为零，作与上相同的运算，得 442211,,gg,,fg ,dxdyfdxdydyfdx,,,,,,,22222200,,yx,,,,xyxySS 44,f,g,4fdxdygdxdy,fdxdy,,,,,,2222,,xy,,xySSS因此 ， 441,f1,ffdxdy,gdxdy,gdxdy22,,,,22,,4,,xy4,,xySSS 从而