第一章 解三角形
一、正弦定理、余弦定理对比表
正弦定理
余弦定理
备注
表
达
式
⑴
⑵
=
；
=
；
=
⑶
:
:
=
:
:
⑴
；
⑵
；
⑶
。
内涵
关系
指出了任意三角形中三边与对角的正弦之间的关系，即边与对角正弦的比值是定值（外接圆的直径）。
指出了任意三角形中三边与其中一角的具体关系。即三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
公
式
变
形
=
；
=
=
；
=
=
；
；
适用
范围
⑴两角一边；⑵两边及一对角。（至少一边）
⑴三边；⑵两边及一角。（至少两边）
证明
方法
⑴利用三角函数证明；
⑵利用向量证明。
⑴利用向量的数量积证明；⑵利用坐标法证明；
⑶利用几何法证明。
边
角
关
系
若
>
,则
>
；反之，若
>
，则
>
。
（大边对大角，或小边对小角）
⑴
，
=90
；三角形是直角三角形；
⑵
>
，
>90
；三角形是钝角三角形
⑶
<
，
<90
；三角形是锐角三角形
已知
三边
⑴用余弦定理连续求出二个角，再用内角和定理求出第三角。
⑵先用余弦定理求出第一角，再用正弦定理求出第二角，再用内角和定理求出第三角。（注意求角的顺序，即用正弦定理先求小边的对角，用余弦定理先求大边的对角）
⑶利用海伦公式求出面积，再利用其他面积公式求出正弦。
已知
两边
夹角
先用余弦定理求第三边，再用余弦定理或用正弦定理求出第二角。应用正弦定理求角可以使计算简便，为避免讨论，应先求小边的对角，因为它必是锐角。
已知
两边
对角
⑴先用正弦定理求第二角，再求用正弦定理或余弦定理求出第三边；
⑵先余弦定理求出第三边，再求用正弦定理或余弦定理第二角。
（注意此类问题的三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况）
已知
两角
一边
先用内角和定理求出第三角，再正弦定理求第二边和第三边，或用正弦定理求第二边、余弦定理求出第三边。
判断
三角
形的
形状
余弦定理和正弦定理都是围绕着三角形进行边角互化的，所以在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或者两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息。一般地，如果遇到的式子中含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。在判断三角形的形状时，采用边化角的运算较为简单。
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