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化繁为简学习法之
专
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
:不定积分计算 24 字
口诀
小学生乘法口诀表下载关于乘法口诀表的题目党史口诀下载一建市政口诀下载健身气功八段锦功法口诀下载
求不定积分是《高等数学》的一个重要部分,它的直接考题不多,但是它却是定积分
和重积分的基础.它的理论很简易,就是导数的逆运算,但对于初学者会以为要用到许多技
巧.我当学生的时候,很喜欢做,至少做了上千题,当时没有想到总结.当老师以后,为了让
同学们学得更有效率,我试图去总结的时候,却意外地发现了一些隐藏在深处的规律!用此
规律去做题,即使基础一般的同学也能够迅速地找到求法路径!
针对考研的同学,我不想再像对待初学者那样做那些常规的总结,因为随便找一本考
研书,你都可以得到不错的总结,也不外乎书上所述的:1.基本公式法,2.凑微分法(第一
类换元法),3.第二类换元法,4.分部积分法,5,有理
函数
excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
法.但关键是如何在第一时间迅
速作出决断?而不是几种方法逐一尝试,结果耽误时间.我这里有突破常规的“口诀”,既巧
妙又简单,保证让你得益匪浅.
你只要知道,不定积分无非是导数公式反过来运用,没什么神秘的.从导数公式看下来,
有一些不变的法则,我这里总结成 24 字的口诀,请大家先牢牢背下:
甲求导后得乙,
无理变成有理,
三指凑成一类,
幂次化出整倍.
解释:我们知道上述书中讲的 5 种方法,最难办的就是“凑微分法”,此口诀最开始是
为凑微分法总结的,没想到发现对于其它 4 种方法也很适用!
第一句:“甲求导后得乙”.它的第一层意思是作为凑微分的总纲,它也是解决凑微分的
法宝.凑微分法是从下面的复合函数的求导公式得来: d(f ( (x)) f '( (x)) '(x)dxϕ = ϕ ϕ ,两边积
分变成
f '( (x)) '(x)dx f '( (x))d (x) f ( (x))ϕ ϕ = ϕ ϕ = ϕ∫ ∫ +C
关键是我们拿到一个函数,有时不知道哪个是 (x)ϕ !我们思路可以反过来:我先假设它就
是用凑微分(除了一眼就能看出的积分),那么仔细看,被积函数必须是这样: f '( (x)) '(x)ϕ ϕ ,
其中一个部分 f '( (x))ϕ 中的中间变量 (x)ϕ (作为甲)的导数就是后面的 '(x)ϕ (作为乙).
不知道大家明不明白?这里举一例说明,例如求:
1 cosx
dx
x sin x
+
+∫
此题很容易走入误区:“分部”?万能公式?……按照“甲求导后得乙”,一看:
(x sin x) ' 1 cosx+ = +
分母(甲方)求导后成了分子(乙方),于是将乙方凑到微分符号里:
1 cosx 1
dx d(x sin x) ln | x sin x | C
x sin x x sin x
+
= + = + +
+ +∫ ∫
简单吧?!
“甲求导后得乙”还有第二层意思,仔细观察一下所有的基本求导(微分)公式,所有
基本函数求导后是没有对数函数和反三角函数的!反过来就是说,若不定积分中含有“ln”、
“arc”这样的对数函数或反三角函数,除了凑微分(一小部分),看来只有通过分部积分对
此部分求导才能化开,因为对数函数求导后成了有理函数,反三角函数求导后虽然是无理函
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数,但是总还有办法积出来.可见,甲求导后得乙亦是指将对数函数与反三角函数作为“甲
方”先求导试一试,它变成其它函数后就可以确定需要凑微分还是分部.若求导后被积部分
含求导后的函数,则是凑微分,若不含,则分部.如
2ln(ln x)dx( x ln x
x ln x∫ ∫凑微分); (分部)
第二句:“无理变成有理”.这是一般原则,对第二类换元和纯三角函数非常适合,这
部分你们看书体会,对凑微分也是一样!无理函数尽可能往有理函数的方向化.请看:
3 2x 1 x dx+∫
不要一开始就想到第二类换元( x tan t= ).没事千万不要轻易用第二类换元,麻烦!抓住
主要矛盾: 21 x+ 无理式不好办,那么外面还有“尾巴”,先凑微分:
3 2 2 2 2x 1 x dx 1/ 2 x 1 x d(x 1)+ = + +∫ ∫
这样根式可以看成幂次!即:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 3/ 2 2 2 1/ 2 2
1/ 2 x 1 x d(x 1) 1/ 2 (1 x ) 1 x d(x 1) 1/ 2 1 x d(x 1)
1/ 2 (1 x ) d(x 1) 1/ 2 (1 x ) d(x 1)
+ + = + + + − + +
= + + − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
下面就请同学们自己完成吧!
“无理变成有理”还有第二层意思,就是一般中学时候讲“有理化”常常是分母有理化,
而不定积分常是分子有理化!这看似无理,实际有理,原因在于分子有理容易凑微分且求导
基本函数里面有许多式子根号在分母上的缘故.具体到下面讲述.
第三句:“三指凑成一类”.“三指”指的是“三角函数”与“指数函数”.
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
求导基
本公式发现,三角函数(或指数函数)均有一种“惰性”性质,就是导函数仍然是三角函数
(或指数函数),尤其是指数函数,惰性显得更明显.所以,对于三角函数(或指数函数),
我们的原则是尽可能通过三角公式(或指数分解),将之化成一类三角公式(包括 d后面的
积分变量),且凑成一种角度(或指数相同的指数公式).你们仔细看书中三角函数积分的方
法是不是这个原理?比如:
4
1
dx
sin xcos x∫
典型的例子,利用 2 2sin x cos x 1+ = ,要么正弦化余弦,要么余弦化正弦,那么如何选择?
有方法!秘诀在于偶数次幂的不管,化奇数次幂,看完下面你就明白
4 2 4 2 4
2 4
1 1 1
dx dcosx dcosx
sin xcos x sin xcos x (1 cos x)cos x
1
dt(t cosx)
(1 t )t
= − = −
−
= − =
−
∫ ∫ ∫
∫
下面大家都明白…
“三指凑成一类”,还有一层意思,就是因为三角函数与指数函数有惰性性质,所以
它们旁边有其它类型函数时,往往都要想办法将它们“除去”,此时常用分部积分法.
第四句:“幂次化出整倍”.首先整数幂遇到幂次比较大的时候,凑微分可降幂,秘诀
在于将幂次化出整倍,不是整倍的凑微分变成整倍.先看例子更明白:
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11
8 4
x dx
x 3x 2+ +∫
这里幂次是 4,8,11,以 4 为基础,11不是 8 的倍数,将 11分解成 8+3, 11 8 3x x x= ,只要将
不能成整倍的 3x 凑进微分中即可!
11 8 4 2
4
8 4 8 4 2
x dx x dx t dt
1/ 4 1/ 4 (t x )
x 3x 2 x 3x 2 t 3t 2
= = =
+ + + + + +∫ ∫ ∫
降幂成功!
还有,当分数幂(无理)时,用第二类换元法时,用分数的分母中的最小公倍数,这样
就可以保证还原后全变成有理形式,如
4
dx
x x+∫
,可令 4 x t= .这也算另类“幂次化出整
倍”吧.
可不要小看这四句话哦!前面只是针对简单的积分,目的是让大家明白大概.此四句话可
比喻为武林高手的“内功秘诀”,要想运用自如,还需要悟性和多练习.下面我们进行:
实战操练:我们下面取出一些针对性的题目,运用口诀分析做题.我选的题目尽可能
是一般或偏难一点的(太难太易都不具备代
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
性).大家慢慢体会.注意:以下将“24口诀”
简称为“口诀法”.
例 1 求
1
dx
x ln x ln ln x∫
“口诀法”分析:前面讲到,遇到对数函数有两条路:分部、凑微分.无论如何均将甲
作为“lnx”求导后成为乙:1/x,在积分函数中有!因此用凑微分.运用口诀“甲求导后得乙”!
解:原式=
1
dlnx
ln x ln ln x∫ =
1
dln lnx
ln ln x∫ = ln | ln ln x |+C
例 2
x 1 xdx
1 x
+
−∫
“口诀法”分析:口诀有言,“无理变成有理”.要将分子(不是分母)有理化.
解:原式
2
2 2
xdx x dx
1 x 1 x
= +
− −
∫ ∫
2 2
2 2 2
dx (x 1)dx dx
1/ 2
1 x 1 x 1 x
−
= + +
− − −
∫ ∫ ∫
2
2
2
d(1 x )
1/ 2 1 x dx arcsin x C
1 x
−
= − − + +
−
∫ ∫
2
2
2
d(1 x ) x 1 x
1/ 2 1 x arcsin arcsin x C
2 2 a1 x
−
= − − − + +
−
∫
第二类换元法总结:与第一类换元法不同,其原函数并非复合函数.是因为为了去根
号等原因人为地将自变量作为中间变量.这里称“主动换元法”第一类换元可称“被动换元
法”.
先对凑微分来说,第二类换元法较有规律,一般的原则是:
1. 2 2a x− 型,令 x=asint
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2. 2 2a x+ 型 令 x=atant
3 2 2x a− 型 令 x=asect
4. 倒代换(少见):针对分母幂次较高的情形,可将分母的幂化为分子的幂.
5.最小次幂代换:当出现不同次的根号时,直接用凑微分不易求时考虑用它.
6.万能公式代换:能将三角被积函数化有理函数.(缺点是较繁琐,最好在其它方法不
灵时用)
……
注意:有的函数含有上面的形式的项,但是并不需要用第二类换元法.如:
2
x
dx
1 x−
∫ , 2
arcsin x
dx
1 x−
∫
例 3 2x tan x sec xdx∫
“口诀法”分析:三角函数与幂函数的结合体,最容易想到的应该是分部积分法,因为
我们最需要消去 x 这个“异类”.运用口诀“三指凑成一类”
解:原式= xsecxdsecx∫ 21/ 2 xd(secx)= ∫ = 21/ 2x tan x 1/ 2 tan x x / 2 C− + +
分部积分法总结:通过此题我们引出分部积分法的总结.此方法被积函数往往是有两
类函数相乘.其根据是函数乘法的导数公式.
此方法归纳起来, 总结成一口诀,就是“反对幂指三,前导后积莫乱来!”(前半句话每
一个字表示一类初等函数,“反”表示反三角函数,“对”表示对数函数,“幂”表示幂函数,
“指”表示指数函数,“三”三角函数.)意思是说,当两类函数在一起时,谁导谁积按照口
诀的顺序.
分部积分的目的:1)对幂函数降幂最终消去幂函数;2)对反三角函数(对数函数)求
导变成其它易积函数;3)循环求积分(往往针对三角函数);4)降幂求递推式(少用).
例如下面都是可以用分部做的,同学们结合上一段的口诀自己做一下:
(1)
ln(1 x)
dx
x
+
∫ (“对”与“幂”;答案: 2 x ln(1 x) 4 x 4arctan x C+ − + + )
(2)
x
x
ln(1 e )
dx
e
+
∫ (“对”与“指”;答案:
x x xe ln(1 e ) x ln(1 e ) C−− + + − + + )
(3)
2
2
x arc tan x
dx
1 x+∫ (“幂”与“反”;答案:
2 2xarctan x 1/ 2ln |1 x | 1 / 2(arctan x) C− + − + )
(4)
2
2 2
x
dx
(1 x )+∫ (用分部积分降幂;答案: 2
1 x
arctan x C
2 2(1 x )
− +
+
)
例 4
10
dx
x(x 1)+∫
“口诀法”分析:因为是有理函数,一般可以用书上的拆项,但是如死做的话,一是因
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式分解不易,即时分解开来了,待定常数也非常多,所以这条路行不通.用口诀:幂次化出
整倍.将分母中的 x乘以 9x ,然后分子多出一个 9x ,凑微分…
解:原式
=
9 10
10 10
10 10 10 10 10 10
x dx 1 dx 1 1 1 1
( )dx ln | x | ln | x 1| C
x (x 1) 10 x (x 1) 10 x x 1 10
= = − = − + +
+ + +∫ ∫ ∫
有理函数的积分总结:有理函数的积分一般方法没有什么技巧.在凑微分不灵和其它
典型方法不行时用,具体方法比较死,但是我告诉大家,除不得已之外,有时也可以避免待
定系数,可以有灵活的拆解.如:
3
1
x(x 1)−
的正规拆解要待定 4 个系数,很繁杂,若用线面
的方法就简单得多:
3 2 3 2 3
3 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( )
x(x 1) (x 1) x 1 x (x 1) x(x 1) (x 1) x 1 x 1 x
1 1 1 1
(x 1) (x 1) x 1 x
= − = − = − −
− − − − − − − −
= − + −
− − −
还有:
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 2
( ) 1/ 4( ) 1/ 4( )
(x 1) (x 1)(x 1) x 1 x 1 (x 1) (x 1) (x 1)(x 1)
1 1 1 1
4(x 1) 4(x 1) x 1 x 1
= = − = + −
− − + − + − + − +
= + − +
− + − +
例 5
2
1 cosx
dx
1 sin x
+
+∫
“口诀法”分析:纯三角函数,用“三指凑成一类”.分子中含“1”不便凑微分,那
么分开两项来做.
解:原式
2 2
1 cosx
dx dx
2 cos x 1 sin x
= +
− +∫ ∫ 2 2
1 1
dx dsin x
2 cos x 1 sin x
= +
− +∫ ∫
2 2
1 1
d tan x dsin x
2sec x 1 1 sin x
= +
− +∫ ∫ 2
1
d tan x arctan(sin x) C
1 2 tan x
= + +
+∫
1/ 2 arctan( 2 tan x) arctan(sin x) C= + +
三角函数的积分总结:三角函数的积分,除了凑微分凑掉一部分外,总的来说,就
是往有理函数的积分的方向转化.“三指凑成一类”也就是这个目的.书上还有“万能公式”,
但是别动不动就用万能公式!如果不加思考就用它的话,有时候积分的计算会变得十分复杂.
所以,在其它方法不灵时用万能公式.我个人体会,就是在积分函数既含有三角函数且次数为
1次,又含有常数相加的情况下,可以用万能公式,如:
1
dx
2 sin x+∫ (答案:
2tan(x / 2) 1
2 / 3arctan C
3
+
+ )
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例 6 2x
2xcosx sin x
dx
cosx(1 cosxe )
−
+∫
“口诀法”分析:我选择这题的目的是告诉大家,越是看起来复杂的题目越不用怕!而
有的看起来简单的形式做起来倒是难.看此题,又是指数函数,又是三角函数,还有幂函数!
往往用凑微分即可解决,你拿各个部分作为“甲”试试,发现:
2 2x x(1 cosxe ) ' ( sin x 2xcosx)e+ = − +
看见没有?分子上有求导的结果,只是相差一个指数函数,没关系,配一个.
解:原式
2
2 2
x
x x
(2xcosx sin x)e
dx
cosxe (1 cosxe )
−
=
+∫
2
2 2
x
x x
d(cosxe )
cosxe (1 cosxe )
=
+∫
2 2
2 2
x x
x x
d(cosxe ) d(cosxe )
cosxe 1 cosxe )
= −
+∫ ∫
2 2x xln | cosxe | ln |1 cosxe | C= − + +
下面要来点综合的:
例 7
4 4
sin xcosx
dx
sin x cos x+∫
“口诀法”分析: 先用“三指凑成一类”,然后“幂次化出整倍”.
解:原式=
2 2 2 2 2
sin x
dsin x
(sin x cos x) 2sin xcos x+ −∫
=
2
2 2
dsin x
1/ 2
1 2sin xcos x−∫
2dt1/ 2 (t sin x)
1 2t(1 t)
= =
− −∫ 2
dt
1/ 2
2t 2t 1
=
− +∫
2
dt
1/ 4
(t 1/ 2) 1/ 4
=
− +∫ 1/8arctan(2t 1) C= − +
21/8arctan(2sin x 1) C= − +
例 8
ln tan x
dx
cosx sin x∫
“口诀法”分析:有三角函数与对数函数,用:“三指凑成一类”和“甲求导后得乙”,
但是主要矛盾还是对数函数!所以先用甲求导后得乙,显然这里甲取 ln tan x ,
21 1(ln tan x) ' sec x
tan x sin xcosx
= = ,因此:
解:原式=
2
ln tan x
dx
cos x tan x∫
ln tan x
d tan x
tan x
= ∫ ln tan xdln tan x= ∫
21/ 2(ln tan x) C= +
例 9
3
1
dx
(x 1)(x 1)+ −
∫
“口诀法”分析:这里根号里面有两 个部 分,可 将 3(x 1)− 部分化成
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4
2(x 1) 1 (x 1)
x 1 x 1
−
= −
− −
,这也算一种“幂次化出整倍”吧!留下的
x 1
x 1
+
−
可以直接令它
为 t,从而“无理变成有理”.
解:原式=
2
1
dx
x 1
(x 1)
x 1
+
−
−
∫ 2
2
2
1 2
d( )
2 1 tt( )
1 t
=
−
−
∫
x 1
C
x 1
+
= − +
−
例 10
x x
x x
2 3
dx
9 4−∫
“口诀法”分析:典型的“三指凑成一类”,将两类指数化为一类再说.
解:原式=
x
2x
2
( )
3 dx
2
1 ( )
3
−
∫ x
2x
1 1 2
d( )
2ln(2 / 3) 31 ( )
3
=
−
∫
x x
x x
1 1 2 1 2
( d( ) d( ) )
2 22ln(2 / 3) 3 31 ( ) 1 ( )
3 3
= +
+ −
∫ ∫
2x 2x1 2 2(ln |1 ( ) | ln |1 ( ) |) C
2ln(2 / 3) 3 3
= + − + +
=
x x
x x
1 3 2
ln( ) C
2(ln3 ln 2) 3 2
−
+
− +
例 11
1
dx
x(1 x)+∫
“口诀法”分析:直接令 t= x(1 x)+ 不好.若用“甲求导后得乙”凑微分,看起来甲
不好选,变形一下:
2
1 1
x(1 x) x 1 ( x )
=
+ +
此时可选甲为: x .先凑微分再主动(第二类)换元“无理变成有理”(或用双曲函数公式).
解:原式=
2
1
dx
x 1 ( x )+
∫
x =t
22
1 1
2 d x 2 dt
1 t1 ( x )
= =
++
∫ ∫
令
= 2arsht +C
= 2ln | x 1 x | C+ + +
好,现在大家经过艰苦练习,功力已经达到四成,师傅要让你们出山.要知道不经过真
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刀真枪的干,功力难到九成!下面我出一些题目,方法我先不说,各种各样奇怪的积分放在
一起,你们先做,最后我再讲评(仅简单讲评和公布答案,不讲步骤,不这样大家永远依赖
师傅!).好,现在开始:
真枪实战:
例 12 计算下列不定积分:
(1)
x 2x
1
dx
e (1 e )+∫ (2)
ln(1 x)
dx
x
+
∫ (3) x xx
3 62
dx
.
1 e e e+ + +
∫
(4)
sin x
dx
sin x cosx−∫ (5)
arccot x
dx
x (1 x)+∫
(6)
2
dx
x 4 x−
∫
(7)
2 2
2
ln (x 1 x )dx
1 x
+ +
+
∫ (8) 4
1
dx
x 1 x+
∫ (9)
1
dx
sin2xcosx∫
(10)
2
2
x x
dx
(1 x )(x 1)
+
+ −∫
简单讲评:
例 12(1)用口诀“三指凑成一类”,分式上下同乘 xe .
(2)分部积分,对对数函数求导.用了“甲求导后成乙”.
(3)用口诀:幂次化出整倍,令
x
6t e= .
(4)技巧:
sin x 1 sin x cosx sin x cosx 1 sin x cosx
( ) ( 1)
sin x cosx 2 sin x cosx sin x cosx 2 sin x cosx
+ − +
= + = +
− − − −
,然后用“甲
求导后得乙”.
(5)用口诀:甲求导后得乙,凑微分.
(6)令 24 x t− = ,或令 x=2sint,或 x=1/t,
(7)用“甲求导后得乙”的典型,甲为: 2ln(x 1 x )+ + .
(8)用口诀:“幂次化出整倍”先凑 2x ,再第二类换元,“无理变成有理”.
(9)先倍角公式,然后 1拆解成平方和,目的是“三指凑成一类”.
(10)
2 2
2 2 2
x x (x 1) (x 1) 1 1
(1 x )(x 1) (1 x )(x 1) x 1 1 x
+ + + −
= = +
+ − + − − +
.
真枪实战答案:
例 12(1) x xe arctane C−− − +
(2) 2 x ln(1 x) 4( x arctan x ) C+ − − +
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(3)
x x x
6 3 6
3
x 3ln(1 e ) ln(1 e ) 3arctane C
2
− + − + − +
(4)
1
ln | sin x cosx | x / 2 C
2
− + +
(5) 2(arccot x ) C− +
(6)1/2
22 4 x
ln | | C
x
− −
+
(7) 3 2
1
ln (x 1 x ) C
3
+ + +
(8) 2 21/ 2ln | csc(arctan x ) cot(arctan x ) | C− +
(9)
1 1
ln | cscx cot x | C
2cosx 2
+ − +
(10) ln | x 1| arctan x C− + +
总结:本专题我就讲完了.口诀传给了大家,上面一点练习当然不够,要知道师傅练了
1000 题,徒弟也不要太懒,练 500 题总是要的吧!大家用我的口诀试一试,是不是练起来
事半功倍?是不是绝大部分都可以用到口诀? 一定的,我拿参考书随机测试过!最后温馨
提示:任何方法都不是绝对的,我上面讲的也一样.掌握方法加灵活运用,才能立于不败之
地。