数列通项公式的十种求法一、公式法二、累加法an1anf(n)例1已知数列{an}知足an1an2n1,a11,求数列{an}的通项公式。ann2例2已知数列{an}知足aa23n1,a3,求数列{an}的通项公式。n1n1an3nn1.)三、累乘法an1f(n)an例3已知数列{an}知足an12(n1)5na,a3,求数列{an}的通项公式。n1n(n1)(an32n152n!.)评注:此
题
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解题的重点是把递推关系an12(n1)5nan转变为an12(n1)5n,进而求an出anan1La3a2a1,即得数列{an}的通项公式。an1an2a2a1例4已知数列{an}知足a11,ana12a23a3L(n1)an1(n2),求{an}的通项公式。(ann!.)2评注:此题解题的重点是把递推关系式an1(n1)an(n2)转变为an1n1(n2),an进而求出anan1La3a2,进而可适当n2时,an的
表
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达式,最后再求出数列{an}的an1an2a2通项公式。四、待定系数法an1panqan1panfnan2pan1qan(其中p,q均为常数)。例5已知数列{an}知足an12an35n,a16,求数列an的通项公式。(an2n15n)评注:此题解题的重点是把递推关系式an12an35n转变为an15n12(an5n),进而可知数列{an5n}是等比数列,进而求出数列{an5n}的通项公式,最后再求出数列{an}的通项公式。例6已知数列{an}知足an13an52n4,a1,求数列{an}的通项公式。1(an133n152n2)评注:此题解题的重点是把递推关系式an13an52n4转变为an152n123(an52n2),进而可知数列{a52n2}是等比数列,进而求n出数列{an52n2}的通项公式,最后再求数列{an}的通项公式。例7已知数列{n}知足an12an3n24n5,a11,求数列n的通项公式。a{a}(an2n43n210n18)评注:此题解题的重点是把递推关系式an12an3n24n5转变为an13(n1)210(n1)182(an3n210n18),进而可知数列{an3n210n18}是等比数列,进而求出数列{an3n210n18}的通项公式,最后再求出数列{an}的通项公式。五、递推公式为Sn与an的关系式(或Snf(an))解法:这种种类一般利用anS1(n1)SnSn1(n2)例8已知数列an前n项和Sn4an12n2.(1)求an1与an的关系;(2)求通项公式an.六例9已知数列{n}知足an13an23n1,a13,求数列{an}的通项公式。a解:an3ann1两边除以3n1an1an21123,得n1n33n1,33an1an21则n1n3n1,故3331n1因此an2(n1)3n(13)12n11,3n3133223n则an2n3n13n1.322评注:此题解题的重点是把递推关系式an13an2n1转变为an1an213n1n3n1,333anan1an1an2)(an2an3)L(a2a1a1an进而求出(n3n1)(n1n23n23n3321)3,即得数列n33333的通项公式,最后再求数列{an}的通项公式。七、对数变换法(当通项公式中含幂指数时合用)例10已知数列{an}知足an123nan5,1,求数列n}的通项公式。a7{a解:因为an123nan5,a17,所以an0,an10。在an123nan5式两边取常用对数得lgan15lgannlg3lg2⑩设lgan1x(n1)y5(lganxny)11○将⑩式代入○nn11式,得5lganlg3lg2x(n1)y5(lgaxny),两边消去5lgan并整理,得(lg3x)nxylg25xn5y,则lg3lg3x5xx,故4xylg25ylg3lg2y164○lg3lg3lg2nlg3lg3lg2○式,得lgan1(n1)n)代入111645(lga1641244由lga1lg31lg3lg2lg7lg31lg3lg20及12式,41644164○得lganlg3nlg3lg20,4164lgan1lg3(n1)lg3lg2则41645,lg3nlg3lg2lgan4164所以数列{lganlg3nlg3lg2lg7lg3lg3lg25为公比的等416}是以416为首项,以44比数列,则lgalg3nlg3lg2(lg7lg3lg3lg2)5n1,因此n41644164lgan(lg7lg3lg3lg2)5n1lg3nlg3lg24164464111n11(lg7lg34lg36lg24)5n1lg34lg316lg24111n11[lg(73431624)]5n1lg(3431624)111n11lg(73431624)5n1lg(3431624)lg(7lg(75n15n1n5n115n113431624)5n15n4n15n1131624)75n15n4n15n11则an31624。评注:此题解题的重点是经过对数变换把递推关系式an123nan5转变为lgan1lg3(n1)lg3lg25(lganlg3nlg3lg2),进而可知数列41644164{lganlg3nlg3lg2lg3lg3lg2416}是等比数列,进而求出数列{lgann16}的通项444公式,最后再求出数列{an}的通项公式。八、迭代法例11已知数列{an}知足aa3(n1)2n,a5,求数列{an}的通项公式。n1n1解:因为an1an3(n1)2n,所以anan3n12n1[an3(n21)2n2]3n2n1n(n1)又a15,所以数列{an}的通项公式为an53n1n!22。评注:此题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式aa3(n1)2nn1n两边取常用对数得lgan13(n1)2nlgan,即lgan13(n1)2n,再由累乘法可推知lganlganlgan1lga3lga2n(n1)3n1n(n1)n1n!22n!2lganLlga1lg53,进而an52。lgan1lgan2lga2lga1九、数学概括法例12已知数列{an}知足an1an8(n1),a18,求数列{an}的通项公式。(2n1)2(2n3)29解:由an18(n1)及a18an2(2n3)2,得(2n1)9(2n1)21由此可猜测an(2n1)2,往下用数学概括法证明这个结论。(1)当n1时,a1(211)218,所以等式建立。(211)29(2)假定当nk时等式建立,即ak(2k1)21,则当nk1时,(2k1)2由此可知,当nk1时等式也建立。根据(1),(2)可知,等式对任何nN*都建立。评注:此题解题的重点是经过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学概括法加以证明。十、换元法例13已知数列{an}知足an11(14an124an),a11,求数列{an}的通项公式。16解:令bn124an,则an1(bn21)24故an11(bn211),代入an11(14an124an)得24164bn21(bn3)2因为bn124an0,故bn1124an10则2bn1bn3,即bn113bn2,2可化为bn131(bn3),2所以{bn3}是以b13124a13124132为首项,以1为公比的等比数2列,因此bn32(1)n1(1)n2,则bn(1)n23,即124an(1)n23,得2222an2(1)n(1)n1。3423评注:此题解题的重点是经过将124an的换元为bn,使得所给递推关系式转变b1b3形式,进而可知数列{bn3}为等比数列,进而求出数列{bn3}的通项公式,n12n2最后再求出数列{an}的通项公式。