5周超艳入乎其内，出乎其外——高中数学试题命制的尝试与感悟（宁波市惠贞书院修改稿）

——高中数学试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 命制的尝试与感悟命题感悟答案优化试题命制试题构思宁波市惠贞书院周超艳试题构思1.1研读考纲考题1.2明确命制要求1.3制定双向细目表1.1研读考纲考题研读《浙江数学 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 考试说明》（2019年版）关于“导数及其应用”的考试要求：1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义；2.会用基本初等函数的导数 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 表和导数运算法则，并能求简单的复合函数的导数（限于f(ax+b)的导数）。3.了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间。4.理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大（小）值，会求闭区间上函数的最大（小）值。试题构思宁波市惠贞书院周超艳试题构思1.1研读考纲考题关注高考真题，尤其是浙江卷、上海卷和全国卷（2017浙江20）已知函数1()212xfxxxex．（Ⅰ）求f（x）的导函数；（Ⅱ）求f（x）在区间[12，+∞）上的取值范围．（2018年浙江22）已知函数f(x)=x−lnx．（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．（2019年浙江）已知实数0a，设函数()=ln1,0.fxaxxx（Ⅰ）当34a时，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）对任意21[,)ex均有(),2xfxa求a的取值范围.宁波市惠贞书院周超艳（2018年全国卷）已知函数1()lnfxxaxx．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx存在两个极值点12,xx，证明：1212()()2fxfxaxx．试题构思1.1研读考纲考题关注高考真题，尤其是浙江卷、上海卷和全国卷（2016年全国卷）已知函数2(2)e1xfxxax有两个零点。（1）求a的取值范围；（2）设12,xx是fx的两个零点，证明：122xx．（2017年全国卷）已知函数2e2exxfxaax（1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个零点，求a的取值范围．宁波市惠贞书院周超艳试题构思1.1研读考纲考题关注高考真题，尤其是浙江卷、上海卷和全国卷（2019年全国卷）已知函数()sinln(1)fxxx，()fx为()fx的导数．证明：（1）()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）()fx有且仅有2个零点．（2018年全国卷）已知函数1()lnfxxaxx．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx存在两个极值点12,xx，证明：1212()()2fxfxaxx．思考：考什么？怎样考？有哪些变化？命题趋势是什么？...宁波市惠贞书院周超艳试题构思1.2明确命制要求以“导数及其应用”的大题为例（1）不回避热点问题，做到推陈出新；（2）积极寻找命题素材，落实“源于教材高于教材”的命制原则；（3）从导数在判断函数单调性、参数范围求解、零点（隐零点）和极值点等方面的应用入手，合理设计试题的设问方式；（4）重点考查学生分类讨论、数形结合、转化与化归的数学思想和学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养；（5）试题的形式和内容要和浙江卷吻合，力求表述简洁，强调通性通法。宁波市惠贞书院周超艳试题构思1.3制定双向细目表双向细目表包括：知识板块、能力层次、题型分值、难度分布、权重比例等根据命题要求和命题立意，制定如下双向细目表：题序 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 必备知识数学思想核心素养满分评估难度22导数及其应用导数、函数的零点、函数的对称性分类讨论、数形结合、转化与化归数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象150.3宁波市惠贞书院周超艳试题命制视角1：从高考真题中寻找试题切入点——“导数及其应用”试题的命制视角2：从课本题目中寻找试题生长点——“平面解析几何”试题的命制视角3：在知识交汇处让试题生根发芽——以“平面向量”试题命制为例反复磨题形成雏形构造设问寻找素材形成定稿宁波市惠贞书院周超艳试题命制环节一：寻找素材（2018年浙江22）已知函数f(x)=x−lnx．（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．（2016年全国卷）已知函数2(2)e1xfxxax有两个零点。（1）求a的取值范围；（2）设12,xx是fx的两个零点，证明：122xx．（2018年全国卷）已知函数1()lnfxxaxx．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx存在两个极值点12,xx，证明：1212()()2fxfxaxx．视角1：从高考真题中寻找试题切入点——“导数及其应用”试题的命制宁波市惠贞书院周超艳试题命制环节一：寻找素材视角1：从高考真题中寻找试题切入点——“导数及其应用”试题的命制环节二：回归教材人教A版《数学》（选修2-2）第32页B组第1题：利用函数的单调性，证明下列不等式：（1）sin,(0,)xxx；（2）20,0,1xxx；（3）1,0xexx；（4）ln,0xxxex.宁波市惠贞书院周超艳试题命制环节一：寻找素材视角1：从高考真题中寻找试题切入点——“导数及其应用”试题的命制环节二：回归教材环节三：构造设问宁波市惠贞书院周超艳近几年“极值点偏移”比较热门，各类考题层出不穷，因此本试题的编制想避开此类问题，最终确定参考2016年全国卷，选取xe与2x、x为素材，第一问以xye与yaxb的位置关系为背景考查导函数的零点问题，第二问以函数的对称性为背景把“122xx”改成研究12fxfx“”的值的大小。（2016年全国卷）已知函数2(2)e1xfxxax有两个零点。（1）求a的取值范围；（2）设12,xx是fx的两个零点，证明：122xx．试题命制视角1：从高考真题中寻找试题切入点——“导数及其应用”试题的命制环节三：构造设问我们还可证得以下两个命题：命题1：函数()fx有且仅有两个极值点1212,xxxx，()fx在区间1,x内和区间2,x内单调递增，在区间12,xx内单调递减，且()yfx的图像过点,ab12xax。（1）若22()(2)2fxfaxb，则12()()2fxfxb；（2）若11()(2)2fxfaxb，则12()()2fxfxb。命题2：函数()fx有且仅有两个极值点1212,xxxx，()fx在区间1,x内和区间2,x内单调递减，在区间12,xx内单调递增，且()yfx的图像过点,ab12xax。（1）若22()(2)2fxfaxb，则12()()2fxfxb；（2）若11()(2)2fxfaxb，则12()()2fxfxb。宁波市惠贞书院周超艳试题命制视角1：从高考真题中寻找试题切入点——“导数及其应用”试题的命制环节一：寻找素材环节二：回归教材环节三：构造设问环节四：形成试题雏形一稿：已知函数12()xfxexaxa有两个极值点12,xx（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：12()+()0fxfx.宁波市惠贞书院周超艳二稿：已知函数222()2xfxexaxa有两个极值点12,xx（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：12()+()0fxfx.环节一：寻找素材环节二：回归教材环节三：构造设问环节四：形成试题雏形环节五：反复磨题形成共识考虑到近几年浙江省考题都有涉及简单的复合函数（f(ax+b))的导数，因此将试题改为：试题命制视角1：从高考真题中寻找试题切入点——“导数及其应用”试题的命制宁波市惠贞书院周超艳定稿：已知函数222()221xfxexaxa有两个极值点12,xx（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：12()+()2fxfx.试题命制视角1：从高考真题中寻找试题切入点——“导数及其应用”试题的命制环节二：回归教材环节三：构造设问环节四：形成试题雏形环节五：反复磨题形成共识环节一：寻找素材宁波市惠贞书院周超艳宁波市惠贞书院周超艳环节一：挖掘教材人教A版《数学》（选修2-1）P70例5：过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。素材1试题命制视角2：从课本题目中寻找试题生长点——“平面解析几何”试题的命制宁波市惠贞书院周超艳人教A版《数学》（选修2-1）P70例5：过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。素材1人教A版《数学》（选修2-1）P81B组习题7：过抛物线焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，借助信息技术工具，观察它与抛物线准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？素材2环节一：挖掘教材试题命制视角2：从课本题目中寻找试题生长点——“平面解析几何”试题的命制我们可以从素材1中发现问题中的D点既是B在准线上的射影，又是直线AO与准线的交点。如果我们同样连接点B和抛物线顶点，设其交抛物线的准线于E，则结合素材2的性质可知EF⊥DF。环节一：挖掘教材试题命制视角2：从课本题目中寻找试题生长点——“平面解析几何”试题的命制宁波市惠贞书院周超艳环节一：挖掘教材环节二：推广结论试题命制视角2：从课本题目中寻找试题生长点——“平面解析几何”试题的命制宁波市惠贞书院周超艳推广1：过抛物线C：220ypxp焦点F的直线交抛物线于不同两点A、B，P为抛物线上任一点（与A，B不重合），直线PA，PB分别交抛物线准线l于点D，E，求证：EF⊥DF。环节一：挖掘教材环节二：推广结论试题命制视角2：从课本题目中寻找试题生长点——“平面解析几何”试题的命制推广1：过抛物线C：220ypxp焦点F的直线交抛物线于不同两点A、B，P为抛物线上任一点（与A，B不重合），直线PA，PB分别交抛物线准线l于点D，E，求证：EF⊥DF。真题再现：（2018年11月学考）如图，已知抛物线C：24yx的焦点是F，准线是l。（Ⅰ）写出点F的坐标和直线l的方程；（Ⅱ）已知点P（9,6），若过点F的直线交抛物线C于不同两点A，B（均与P不重合），直线PA，PB分别交l于点M，N。求证：MF⊥NF。宁波市惠贞书院周超艳环节一：挖掘教材环节二：推广结论试题命制视角2：从课本题目中寻找试题生长点——“平面解析几何”试题的命制推广1：过抛物线C：220ypxp焦点F的直线交抛物线于不同两点A、B，P为抛物线上任一点（与A，B不重合），直线PA，PB分别交抛物线准线l于点D，E，求证：EF⊥DF。推广2：A、B、P为抛物线C：220ypxp上相异的三点，直线PA，PB分别交抛物线准线l于点D，E，且与抛物线焦点满足EF⊥DF，求证：直线AB过点F。推广3：过抛物线C：220ypxp焦点F的直线交抛物线于不同两点A、B，D、E为抛物线准线l上的动点，且满EF⊥DF，延长EB，DA交y轴右侧于P点。求证：点P在抛物线上。宁波市惠贞书院周超艳环节一：挖掘教材环节二：推广结论事实上，从结论中我们发现在抛物线中：①直线AB过点F；②EF⊥DF；③点P在抛物线上（不与A，B重合），任意两个作为条件可以推出第三个成立。推广4：如图，以点F为右焦点的椭圆C：222210xyabab上有A，B两个不同点，直线PA、PB分别交椭圆右准线l于点D，E点。①直线AB过点F；②EF⊥DF；③点P在椭圆上（不与A，B重合），则任意两个作为条件可以推出第三个成立。试题命制视角2：从课本题目中寻找试题生长点——“平面解析几何”试题的命制宁波市惠贞书院周超艳环节一：挖掘教材环节二：推广结论环节三：形成雏形我们可以将以上任何一个结论特殊化，得到一个原创的试题。试题命制视角2：从课本题目中寻找试题生长点——“平面解析几何”试题的命制试题1：点M（x，y）与定点F（-1,0）的距离和它到直线l：2x的距离的比是常数22.（Ⅰ）求点M的轨迹Γ；（Ⅱ）若A为轨迹Γ与x轴左侧的交点，过F的直线与轨迹Γ交于P，Q两点，连接PA、QA并延长交直线l于M，N两点。求证：∠MFN=90º。宁波市惠贞书院周超艳环节一：挖掘教材环节二：推广结论环节三：形成雏形我们可以将以上任何一个结论特殊化，得到一个原创的试题。试题命制视角2：从课本题目中寻找试题生长点——“平面解析几何”试题的命制宁波市惠贞书院周超艳试题2：点M（x，y）与定点F（-1,0）的距离和它到直线l：2x的距离的比是常数22.（Ⅰ）求点M的轨迹Γ；（Ⅱ）若A为轨迹Γ与x轴左侧的交点，过F的任一直线PQ交轨迹Γ于P、Q两点，连接PA、QA并延长交直线l于M，N两点，问：以MN为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点；若不是，试说明理由。环节一：挖掘教材环节二：推广结论环节三：形成雏形我们可以将以上任何一个结论特殊化，得到一个原创的试题。试题命制视角2：从课本题目中寻找试题生长点——“平面解析几何”试题的命制试题3：点M（x，y）与定点F（-1,0）的距离和它到直线l：2x的距离的比是常数22.（Ⅰ）求点M的轨迹Γ；（Ⅱ）若A为轨迹Γ与x轴左侧的交点，任一直线PQ交轨迹Γ于P、Q两点（不与A重合），连接PA、QA并延长交直线l于M、N两点，且MF⊥NF，问：直线PQ是否经过定点？若是，请求出该定点；若不是，试说明理由。宁波市惠贞书院周超艳环节一：确定知识交汇处向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着丰富的实际背景，解三角形与平面向量有着极其紧密的联系。若以平面向量为载体，把“数”转化为“形”，既考查向量的运算、向量的模、向量的几何意义等向量的基本知识，又考查三角形、圆等几何知识，将代数、几何和三角完美结合起来，可以进一步考查学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养.平面向量几何三角试题命制视角3：在知识交汇处让试题生根发芽——“平面向量”试题的命制宁波市惠贞书院周超艳试题命制视角3：在知识交汇处让试题生根发芽——“平面向量”试题的命制环节一：确定交汇处本试题通过平面向量来刻画“四点共圆”的问题，借助正余弦定理和圆的几何性质进行三角形之间边与角转化，研究与向量模有关的最值问题，渗透函数与方程的思想。环节二：挖掘背景宁波市惠贞书院周超艳环节一：确定交汇处环节二：挖掘背景环节三：形成雏形试题1：已知向量,ab的夹角为3，向量ca，cb的夹角为23，7ab，3ca，则c的最大值为．试题3：已知向量,ab的夹角为3，向量ca，cb的夹角为23，7ab，3ca，则abc的最大值为．试题2：已知非零向量,ab满足abab，向量ca，cb的夹角为2，3ca，4cb则abc的最大值为（）A．8B．9C．12D．145试题命制视角3：在知识交汇处让试题生根发芽——“平面向量”试题的命制宁波市惠贞书院周超艳定稿：已知函数222()221xfxexaxa有两个极值点12,xx（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：12()+()2fxfx.答案优化试题已经命制出来，怎样制定符合课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 、考试说明和考生认知水平的参考答案呢？这就需要集思广益，对不同方法进行比较，优化解法。如针对试题：给出以下参考答案：解：（Ⅰ）求导得22()24xfxexa，令22()()24xgxfxexa，由已知()gx有两个零点。又22()44xgxe，令()0gx，则1x.当,1x时，()0gx，()gx单调递减；当1,x时，()0gx，()gx单调递增。而当x时，()gx；当x时，()gx，要使得()gx有两个零点必有min()(1)20gxga，所以2a.（也可以从函数222xye与4yxa图像的位置关系入手，研究曲线的切线问题）宁波市惠贞书院周超艳定稿：已知函数222()221xfxexaxa有两个极值点12,xx（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：12()+()2fxfx.答案优化（Ⅱ）证明：不妨设121xx，由（Ⅰ）知函数()fx在1,x上递增，在12,xx上单调递减，在2,x单调递增。由221x知，21(2)()fxfx。所以要证12()+()2fxfx，只要22(2)+()2fxfx.不难发现函数()fx过定点1,1，构造函数()()(2)1Fxfxfxx，则2222()()(2)2288xxFxfxfxeex.2222()2288xxHxeex令，则2222()4480xxHxee，所以()Hx在1,上单调递增，()(1)0HxH.所以()Fx在1,上单调递增，()(1)2FxF，所以1222()()(2)+()2fxfxfxfx.宁波市惠贞书院周超艳1入乎其内，出乎其外命题感悟2素材积累，功在平时3反思命题，提升能力宁波市惠贞书院周超艳4.1入乎其内，出乎其外试题命制“源于教材又高于教材”，因此在平时的教学中，我们要回归教材，关注本质。一方面，我们要重视对课本例题、习题的加工、改编和重组；另一方面要对教材中某些知识的背景进行深入研究，对课本的某些例题、习题的结论进行延伸或推广，使得我们命制的试题“入乎其内”而又“出乎其外”。宁波市惠贞书院周超艳要命制一道出色的试题，必须要持续的学习和思考，必须注重零星的素材积累和整理，而这些都功在平时。一方面，我们要做好高考真题的收集、整理、归类和研究；另一方面，我们要多看期刊、书籍，多交流学习，勤做笔记，要“站在巨人的肩膀上”巧命题、命好题。4.2素材积累，功在平时宁波市惠贞书院周超艳试题需兼顾难度、区分度和效度，因此它的命制是一个非常复杂的过程，对思维的深刻性、灵活性、严谨性、批判性以及对知识本质的理解要求较高。每次命题都要经过“试题构思——试题命制——优化解法——命题反思”的基本流程，再经历编题、打磨、完善、反思等程序。最后还要合理利用考试后的反馈数据，研究答题情况，进一步完善试题，从而极大地提升了命题者的命题能力。4.3反思命题，提升能力宁波市惠贞书院周超艳要命制一张好试卷或者一道好题，必将经历这样三重境界：结束语：宁波市惠贞书院周超艳昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路（博览）；衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴（思考）；众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处（返璞归真）。谢谢聆听！