高考数学一轮复习北师大版离散型随机变量的均值与方差名师公开课省级获奖课件

第6讲　离散型随机变量的均值与方差概要第*页夯基释疑第*页考点一离散型随机变量的均值与方差考点突破解析【例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1】(2013·浙江卷)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X为取出此2球所得分数之和，求X的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y为取出此球所得分数．若E(Y)＝eq\f(5,3)，D(Y)＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.(1)由题意得X＝2，3，4，5，6.P(X＝3)＝eq\f(2×3×2,6×6)＝eq\f(1,3)，故P(X＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)，P(X＝4)＝eq\f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq\f(5,18)，P(X＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6)＝eq\f(1,9)，P(X＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36).第*页考点一离散型随机变量的均值与方差考点突破所以X的分布列为 Y 1 2 3 P eq\f(a,a＋b＋c) eq\f(b,a＋b＋c) eq\f(c,a＋b＋c) X 2 3 4 5 6 P eq\f(1,4) eq\f(1,3) eq\f(5,18) eq\f(1,9) eq\f(1,36)(2)由题意知Y的分布列为所以E(Y)＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(3c,a＋b＋c)＝eq\f(5,3)，D(Y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,3)))eq\s\up12(2)·eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))eq\s\up12(2)·eq\f(b,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,3)))eq\s\up12(2)·eq\f(c,a＋b＋c)＝eq\f(5,9).化简得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3c，,b＝2c，))故a∶b∶c＝3∶2∶1.第*页考点一离散型随机变量的均值与方差考点突破第*页考点一离散型随机变量的均值与方差考点突破【训练1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．解析(1)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P eq\f(1,2) eq\f(1,20) eq\f(1,10) eq\f(3,20) eq\f(1,5)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.第*页考点一离散型随机变量的均值与方差考点突破【训练1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))第*页考点二与二项分布有关的均值、方差考点突破解析【例题2】(2013·福建卷)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为eq\f(2,3)，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为eq\f(2,5)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？(1)由已知得，小明中奖的概率为eq\f(2,3)，小红中奖的概率为eq\f(2,5)，且两人中奖与否互不影响．第*页考点二与二项分布有关的均值、方差考点突破记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，因为P(X＝5)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，即这2人的累计得分X≤3的概率为eq\f(11,15).所以P(A)＝1－P(X＝5)＝eq\f(11,15)，(2)法一设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．　由已知可得，X1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))，X2～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,5)))，第*页考点二与二项分布有关的均值、方差考点突破所以E(X1)＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，E(X2)＝2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,5)，因此E(2X1)＝2E(X1)＝eq\f(8,3)，E(3X2)＝3E(X2)＝eq\f(12,5).因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．法二　设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y2，则Y1，Y2的分布列为： Y1 0 2 4 P eq\f(1,9) eq\f(4,9) eq\f(4,9) Y2 0 3 6 P eq\f(9,25) eq\f(12,25) eq\f(4,25)∴E(Y1)＝0×eq\f(1,9)＋2×eq\f(4,9)＋4×eq\f(4,9)＝eq\f(8,3)，E(Y2)＝0×eq\f(9,25)＋3×eq\f(12,25)＋6×eq\f(4,25)＝eq\f(12,5)，因为E(Y1)>E(Y2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大．第*页规律方法考点二与二项分布有关的均值、方差考点突破第*页考点二与二项分布有关的均值、方差考点突破解析(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此第*页考点二与二项分布有关的均值、方差考点突破P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)·0.63＝0.216.分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X～B(3，0.6)，所以数学期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.第*页考点三　均值与方差在决策中的应用考点突破*第*页考点三　均值与方差在决策中的应用解析考点突破(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝eq\f(10,50)＝0.2，p2＝P(80≤x≤120)＝eq\f(35,50)＝0.7，p3＝P(X>120)＝eq\f(5,50)＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝Ceq\o\al(0,4)(1－p3)4＋Ceq\o\al(1,4)(1－p3)3p3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(4)＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))＝0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．1安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，*第*页考点三　均值与方差在决策中的应用考点突破此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如右 Y 4200 10000 P 0.2 0.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；*第*页考点三　均值与方差在决策中的应用考点突破当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如右 Y 3400 9200 15000 P 0.2 0.7 0.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．*第*页规律方法考点三　均值与方差在决策中的应用考点突破第*页解析考点三　均值与方差在决策中的应用考点突破第*页考点三　均值与方差在决策中的应用考点突破第*页思想方法课堂小结第*页易错防范课堂小结第*页（见教辅）****