2021-2022学年广东省惠州一中南湖校区八年级（下）期末数学试题及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2021-2022学年广东省惠州一中南湖校区八年级（下）期末数学试卷1.下列式子中，是最简二次根式的是(    )A.6B.8C.9D.122.对于函数y=−5x(k是常数，k≠0)的图象，下列说法不正确的是(    )A.是一条直线B.经过点(0,0)C.y随着x增大而减小D.经过第一、第三象限3.下列是关于x的一元二次方程的是(    )A.x2−1x=2021B.x(x+6)=0C.a2x−5=0D.4x−x3=24.如果一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，那么k、b应满足的条件是(    )A.k>0，且b>0B.k>0，且b<0C.k<0，且b>0D.k<0，且b<05.三角形三边长为a，b，c满足|a−4|+5−b+(c−3)2=0，则这个三角形是(    )A.等边三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形6.2022年北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，中国金牌选手谷爱凌第二跳分数如下：95，95，95，95，96，96，关于这组数据，下列描述正确的是(    )A.中位数是95B.众数是95.5C.平均数是95.25D.方差是0.017.用配方法解方程x2−2x−1=0，配方结果正确的是(    )A.(x+1)2=1B.(x−1)2=1C.(x+1)2=2D.(x−1)2=28.如图，在菱形ABCD中，下列式子可以求出在菱形ABCD面积的是(    )A.12AE⋅BCB.12AF⋅CDC.AC⋅BDD.BC⋅DG9.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=105°，则∠BAC的度数为(    )A.24°B.25°C.26°D.28°10.如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，且BF=12CF，点E沿BD从点B运动到点D.设点E到边BC的距离为x，EF+EC=y.y随x变化的函数图象2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标为(    )A.(32,210)B.(3,32+10)C.(2,2+210)D.(74,210)11.在函数y=x−1中，自变量x的取值范围是______．12.王俊懿、刘芷妍两位同学在射击比赛中各射击10次的成绩如图所示，她们的平均成绩均为7.5环，若王俊懿射击10次成绩的方差为S王俊懿2，刘芷妍射击10次成绩的方差为S刘芷妍2，则S王俊懿2______S刘芷妍2.(填“>”，“<”“=”)13.已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+3=0的一个根为1，则m=______．14.如图，直线y=kx+b(k≠0)与直线y=mx(m≠0)交于点P(−1,−2)，则关于x的不等式kx+b≤mx的解集为______．15.如图，一次函数y=2x+2的图象为直线l，菱形AOBA1，A1O1B1A2，A2O2B2A3，…按图中所示的方式放置，顶点A，A1，A2，A3，…均在直线l上，顶点O，O1，O2，…均在x轴上，则点Bn的纵坐标是______．16.(1)解方程：2x2−x−3=0．(2)计算：12−6÷2+(1−3)2．17.某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩(单项满分100分)如下表所示：候选人文化水平艺术水平组织能力甲80分87分82分乙80分96分76分(1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？(2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？18.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k−2=0．(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根：(2)若该方程的两个实数根x1，x2，满足x1−x2=−2k+3.求k的值．19.某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本).试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数，用y(元)表示该店每天的利润．(1)若每份套餐售价不超过10元．①试写出y与x的函数关系式；②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应为多少元？(2)该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？20.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3过点A(5,m)且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C.过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D．(1)求直线CD的解析式；(2)直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中，与x轴交点的横坐标的取值范围．21.如图，已知等边△ABC中，BE、CD分别是AC、AB边上的中线，与BE、CD相交于点O，点M、N分别为线段OB和OC中点．(1)求证：四边形DENM是矩形；(2)若等边△ABC的边长为12，求矩形DENM的面积．22.初二(8)班“数学兴趣小组”在学习“勾股定理”章节的内容后，遇到这样的问题．如图在直角三角形ABC中，CA=6，CB=8.点D是边CB上的一个动点(不与B、C重合)连接AD.若△ADB是等腰三角形，求线段CD的长．方法一：王朗坤同学利用学习的勾股定理进行解决，当△ABD为等腰三角形时，AD=BD，设CD=x，则BD=8−x，所以AD=BD=8−x.在直角三角形ACD中，利用勾股定理，可得：62+x2=(8−x)2．解得：x=74.所以当△ABD为等腰三角形时，CD的长为74．方法二：王子贺同学提前预习了函数这一章节的内容，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题．下面是他的探究过程，请你补充完整．(1)根据点D在边BC上的不同位置，画出相应图形，测量出线段CD、AD的长度，得出下面的表格：CD012345678AD66.16.36.77.27.88.59.2a①表格中a的值为______．②王子贺同学分析得知可以不用测量BD的值，因为CD与BD满足关系式______；(2)将CD的长作为自变量x，AD的长为x的函数，记为y，在下面平面直角坐标系中画出函数y关于x的图象，并写出该函数的一条性质：______．(3)继续在平面直角坐标系画出BD(BD用y1表示)关于CD的函数图象，并结合图形直接写出，当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值(精确到0.1)．23.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，过点A作AD/​/BC.且点D在点A的右侧．点P、Q分别是射线AD，射线CB上的一点，点E是线段CQ上的点，且CQ=2AP，设AP=x，CE为y，则y=2x−2，当点Q为BC中点时，y=3．(1)求QE，BC的长度；(2)若PE⊥BC，求BQ的长；(3)请问是否存在x的值，使以A、B、E、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A 【解析】解：A、6是最简二次根式，故A符合题意；B、8=22，故B不符合题意；C、9=3，故C不符合题意；D、12=23，故D不符合题意；故选：A．根据最简二次根式的定义：化简后被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2.【答案】D 【解析】解：A、∵函数y=−5x是正比例函数，∴此函数的图象是一条直线，故本选项正确；B、∵当x=0时，y=0，∴过点(0,0)，故本选项正确；C、∵k=−5<0，∴y随着x增大而减小，故本选项正确；D、∵k=−5<0，∴函数图象经过二四象限，故本选项不正确．故选：D．根据正比例函数的性质进行解答即可．本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的图象经过的象限是解答此题的关键．3.【答案】B 【解析】解：A.是分式方程，故本选项不合题意；B.是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；C.当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；D.未知数是最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不合题意；故选：B．根据一元二次方程的定义求解即可．本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．4.【答案】B 【解析】解：由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，得k>0，b<0．故选：B．经过第一、三象限，说明x的系数大于0，得k>0，又经过第四象限，说明常数项小于0，即b<0，即可确定k的取值范围．本题考查的知识点为：一次函数图象经过第一、三、四象限，说明x的系数大于0，常数项小于0．5.【答案】D 【解析】解：∵|a−4|+5−b+(c−3)2=0，∴a−4=0，5−b=0，c−3=0，∴a=4，b=5，c=3，∵a2+c2=16+9=25，b2=25，∴a2+c2=b2，∴这个三角形是直角三角形，故选：D．根据已知条件可得a=4，b=5，c=3，根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状．本题考查了直角三角形的判定，涉及非负数的性质，勾股定理的逆定理等，求出三角形的三边长是解题的关键．6.【答案】A 【解析】解：把这组数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为95、95，故中位数为95+952=95，故选项A符合题意；这组数据出现最多的数是95，故众数为95，故选项B不符合题意；这组数据的平均数是95×4+96×26=9513，故选项C不符合题意；这组数据的方差为16×[4×(95−9513)2+2×(96−9513)2]=16×43=29，故选项D不符合题意；故选：A．根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断．本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各自的定义及计算方法是解题关键．7.【答案】D 【解析】解：x2−2x−1=0，x2−2x=1，x2−2x+1=2，(x−1)2=2．故选：D．根据配方法解一元二次方程的步骤得到(x−1)2=2，从而可对各选项进行判断．本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．8.【答案】D 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴S菱形ABCD=12AC⋅BD，由题意可知，S菱形ABCD=BC⋅AE=AF⋅CD=BC⋅DG，故选：D．根据菱形的面积公式可得出答案．本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积公式是解题的关键．9.【答案】B 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=105°，AD=BC，∵AD=AE=BE，∴BC=AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，∵∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，∴∠ACB=2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB=3∠CAB=180°−∠ABC=180°−105°=75°，∴∠BAC=25°，故选：B．根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=105°，AD=BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB=2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．10.【答案】A 【解析】解：由图2知，当点E和点B重合时，EF+EC=BF+CB=13CB+CB=8，∴BC=6，即正方形的边长为6，如图，点A是点C关于直线BD的对称点，连接AF交BD于点E，根据点的对称性，EA=EC，则y=EF+EC=EF+EA=AF为最小，∵BC=6，BF=2，∴AF=22+62=210，过点E作EH⊥BC，垂足为H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBH=45°，∴BH=EH，∵EH//AB，∴△EHF∽△ABF，∴EHHF=ABBF=62=3，∴EH=3HF，∴BF=4HF，∵BF=2，∴HE=32，∴图象上最低点的坐标是(32,210)，故选：A．先根据图2得出正方形边长，再根据点A是点C关于直线BD的对称点，连接AF交BD于点E，则此时y取得最小值，根据勾股定理求出y，再根据△EHF∽△ABF，得出EH=3HF，BF=4HF，由BF=2，得HE=32，即可得最低点的坐标．本题考查动点问题的函数图象，涉及正方形的性质，相似三角形的性质以及勾股定理等知识，关键是从图2中读取信息，求出正方形的边长．11.【答案】x≥1 【解析】解：根据题意得：x−1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x−1≥0，解不等式可求x的范围．此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．12.【答案】< 【解析】解：由折线统计图知，由王俊懿成绩相对于平均成绩的波动幅度小于刘芷妍成绩相对于平均成绩的波动幅度，∴S王俊懿20，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)解：由根与系数的关系得出x1+x2=2k+1，x1x2=k−2，∵x1−x2=−2k+3，∴(x1−x2)2=4k2−12k+9，∴(x1+x2)2−4x1x2=4k2−12k+9，∴(2k+1)2−4(k−2)=4k2−12k+9，解得k=0． 【解析】(1)根据根的判别式得出Δ=[−(2k+1)]2−4×1×(k−2)=4k2+9>0，据此可得答案；(2)先根据根与系数的关系得出x1+x2=2k+1，x1x2=k−2，由x1−x2=−2k+3知(x1−x2)2=4k2−12k+9，即(x1+x2)2−4x1x2=4k2−12k+9，从而列出关于k的方程，解之可得答案．本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q．19.【答案】解：(1)①y=400x−2600.(510时，y=(x−5)[400−40(x−10)]−600，把y=1560代入，并解答．20.【答案】解：(1)把A(5,m)代入y=−x+3得m=−5+3=−2，则A(5,−2)，∵点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C，∴C(3,2)，∵过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D，∴CD的解析式可设为y=2x+b，把C(3,2)代入得6+b=2，解得b=−4，∴直线CD的解析式为y=2x−4；(2)当x=0时，y=−x+3=3，则B(0,3)，当y=0时，2x−4=0，解得x=2，则直线CD与x轴的交点坐标为(2,0)；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y=2x+3，当y=0时，2x+3=0，解的x=−32，则直线y=2x+3与x轴的交点坐标为(−32,0)，∴直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为−32≤x≤2． 【解析】(1)先把A(5,m)代入y=−x+3得A(5,−2)，再利用点的平移规律得到C(3,2)，接着利用两直线平移的问题设CD的解析式为y=2x+b，然后把C点坐标代入求出b即可得到直线CD的解析式；(2)先确定B(0,3)，再求出直线CD与x轴的交点坐标为(2,0)；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y=2x+3，然后求出直线y=2x+3与x轴的交点坐标，从而可得到直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．本题考查了一次函数与几何变换：求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，会利用待定系数法求一次函数解析式．21.【答案】(1)证明：∵BE、CD分别是AC、AB边上的中线，∴DE/​/BC，DE=12BC，∵点M、N分别为线段OB和OC中点，∴MN/​/BC，MN=12BC，∴DE//MN，DE=MN，∴四边形DENM是平行四边形，∴OD=ON，OE=OM，在等边△ABC中，∠ABC=60°，∵BE、CD分别是AC、AB边上的中线，∴∠BDO=90°，∠DBO=30°，∴OD=12BO=OM，∴OD=OM=OE=ON，∴四边形DENM是矩形；(2)解：∵等边△ABC的边长为12，∴AB=BC=AC=12，∴DE=6，AE=6，根据勾股定理，得BE=63，∴DM=12BO=13BE=23，∴矩形DENM的面积=6×23=123． 【解析】(1)根据已知条件可知DE是△ABC的中位线，MN是△OBC的中位线，可得DE//MN，DE=MN，四边形DENM是平行四边形，根据等边三角形得性质可得OD=OM，进一步可得OD=OM=OE=ON，即可得证；(2)根据等边三角形的性质可得DE=6，AE=6，进一步可得DM=23，即可求出矩形的面积．本题考查了矩形的判定和性质，涉及等边三角形的性质，矩形的面积等，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．22.【答案】10 CD+BD=8 y随x的增大而增大 【解析】解：(1)①在Rt△ABC中，直角边CA=6，BC=8，∴AB=CA2+CB2=62+82=10，当CD=8时，点D与点B重合，∴AD与AB重合，∴a=AD=AB=10，故答案为：10．②∵点D是边CB上的动点，∴CD+BD=BC，∴CD+BD=8，故答案为：CD+BD=8．(2)AD=y，CD=x，根据(1)中的y与x的对应值画出y关于x的函数图象如图中的曲线所示，∵图中的曲线从左到右上升，∴y随x的增大而增大，故答案为：y随x的增大而增大．(3)∵BD=y1，CD=x，且CD+BD=8，∴x+y1=8，∴y1=−x+8，画出y1关于x的函数图象如图中的线段所示，图象中的曲线与线段的交点表示y1=y，即BD=AD，由图象可知，x≈1.8，∴当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值为1.8．(1)①先由直角边CA=6，BC=8，根据勾股定理求得斜边AB=10，当CD=8时，则AD与AB重合，所以a=AB=10；②点D是边CB上的动点，则CD+BD=BC=8，即可得到问题的答案；(2)根据(1)中的y与x的对应值画出y关于x的函数图象，可知该函数图象从左到右上升，即可得到该函数的一条性质：y随x的增大而增大；(3)由BD=y1，CD=x，且CD+BD=8，求得y1关于x的函数关系式为y1=−x+8，画出它的图象，该图象与(2)中的函数图象的交点表示y1=y，即BD=AD，由图象可知此时x≈1.8．此题重点考查一次函数的图象与性质、勾股定理的应用、等腰三角形的定义、数形结合数学思想的运用等知识与方法，正确地画出函数的图象是解题的关键．23.【答案】解：(1)当2x−2=3时，x=52，∴AP=52，∴CQ=2AP=5，∵点Q为BC中点，∴BC=2CQ=10，∵CE=3，∴QE=CQ−CE=5−3=2；(2)作AM⊥BC于点M，∵PE⊥BC，∴AM//PE，∵AD/​/BC，∴四边形AMEP是平行四边形，∴ME=AP=x，∴CM=ME+CE=x+2x−2=5，∴x=73，∴AP=73，∴CQ=2AP=143，∴BQ=BC−CQ=10−143=163；(3)存在，当AB为边时，则AP=BE=x，∵CE=y=2x−2，∴x+2x−2=10，解得x=4，当AB为对角线时，则AP=BE=x，∴CE=CB+BE=10+x=2x−2，解得x=12，综上所述：当x=4或12时，以A、B、E、P为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】(1)当2x−2=3时，x=52，即AP=52，从而得出CQ、BC的长，进而得出答案；(2)作AM⊥BC于点M，由四边形AMEP是平行四边形，得ME=AP=x，则CM=ME+CE=x+2x−2=5，解方程即可解决问题；(3)分AB为平行四边形的边或对角线两种情形，分别表示出CE的长，可得答案．本是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是运用方程思想解决问题．