高中数学第5章三角函数5.6.1匀速圆周运动的数学模型5.6.2函数y=Asin(ωx

.匀速圆周运动的数学模型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象学习目标核心素养理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sinx的图象进行变换得到y＝sin(ωx1.通过函数图象的变换，培养直A＋φ)，x∈R的图象．(难点)观想象素养.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析2.借助函数的图象求解析式，提式．(重点)升数学运算素养.求函数解析式时φ值的确定．(易错点)1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响1．把函数y＝sinx的图象向左平移π()个单位长度后所得图象的解析式为3ππA．y＝sinx－3B．y＝sinx＋3C．y＝sinx－πD．y＝sinx＋π33D[根据图象变换的方法，y＝sinx的图象向左平移π个单位长度后得到y＝sinx＋π33的图象．].专心..1ππ2．为了得到函数y＝4sin2x－6，x∈R的图象，只需将函数y＝4sinx－6，x∈R的图象上的所有点()A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变A[函数y＝4sinx－π的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y61π＝4sin2x－的图象．]63．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________.[由已知得A＋1＝5，故A＝4.]三角函数图象之间的变换【例1】(1)将函数y＝2cos2x＋ππ3个的图象向左平移个单位长度，再向下平移33单位长度，则所得图象的解析式为________．π(2)将y＝sinx的图象怎样变换可得到函数y＝2sin2x＋4＋1的图象？[思路点拨](1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．法一：y＝sinx→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．ππ(1)y＝－2cos2x－3[y＝2cos2x＋3的图象向左平移3个单位长度，得y＝2cos2x＋π＋π＝2cos(2x＋π)＝－2cos2x，33再向下平移3个单位长度得y＝－2cos2x－3的图象．](2)[解]法一：(先伸缩法)①把y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，1得到y＝2sinx的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，得y＝2sin2xππ的图象；③将所得图象沿x轴向左平移8个单位，得y＝2sin2x＋8的图象；.专心..④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，π得y＝2sin2x＋4＋1的图象．ππ法二：(先平移法)①将y＝sinx的图象沿x轴向左平移4个单位，得y＝sinx＋的4图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1π倍，得y＝sin2x＋的图象；③把所24得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sinπ的图象；④将所得图象沿y2x＋4轴向上平移1个单位，得y＝2sin2x＋π＋1的图象．4由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：相位变换周期变换y＝sinx――――→y＝sin(x＋φ)――――→y＝sin(ωx＋φ)振幅变换――――→y＝Asin(ωx＋φ)．周期变换相位变换φ振幅变换(2)y＝sinx――――→＝sin――――→＝sinωx＋＝＋――――→yyωxyωsin(ωxφ)＝sin(＋)．Aωxφ提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，|φ|平移ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．1．(1)要得到y＝cos2xπ的图象，只要将y＝sin2x的图象()－4ππA．向左平移8个单位B．向右平移8个单位ππC．向左平移4个单位D．向右平移4个单位(2)把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移π个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再6把纵坐标缩短到原来的2y＝2sin1πf(x)的解析式是()倍，所得图象的解析式是x＋，则323A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝3sinx.专心..C．f(x)＝3cosx＋3D．f(x)＝sin3x(1)A(2)A[(1)因为＝cos2x－πy42－πππ＝sinx4＋2＝sin2x＋4π＝sin2x＋8，所以将y＝sin2x的图象向左平移π8个单位，π得到y＝cos2x－4的图象．纵坐标伸长1π1π(2)y＝2sin2x＋3――――――→y＝3sin2x＋33到原来的倍横坐标缩短π――――――→y＝3sinx＋1到原来的2倍π向左平移6个3ππ――――――→y＝3sinx＋6＋3单位π＝3sinx＋23cosx．]已知函数图象求解析式π【例2】(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为().专心..xπxπA．y＝2cos2－4＋4B．y＝2cos2＋4＋4xπ＋2D．y＝4cosxπ＋2C．y＝4cos－4＋422(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜π，且图象如图所示，求其解析2式．[思路点拨]由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.(1)A[由函数f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，函数f(x)的周期为π－π×4＝4π，又ω＞0，2－2所以ω1π＝，又因为点2，6在函数f(x)的图象上21ππ所以6＝2cos2×2＋φ＋4，所以cos4＋φ＝1，πππ所以4＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－4，k∈Z，又|φ|＜2π1x－π所以φ＝－4，所以f(x)＝2cos24＋4.](2)[解]法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝5ππ6－－＝π，所以ω6ππ＝2，又由点－6，0，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－6×2＋φ＝0π得φ＝3，π所以f(x)＝3sin2x＋3.5ππ法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝6－－ω＝2，6＝π，所以π又图象过点－6，0，所以fπ－π－＝3sin26＋φ＝0，6.专心..ππππ所以sin－3＋φ＝0，－3＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜2，所以k＝0，φ＝3，所以f(x)＝3sinπ2＋x3.5ππ法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝6－－6＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin2π个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin2x＋πx向左平移＝66π3sin2x＋3.确定函数y＝Asinωx＋φ的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：1代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.2五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点－φ，0作为突破ω口.“五点”的＋的值具体如下：,“第一点”即图象上升时与x轴的交点为＋ωxφωxφ0；,“第二点”即图象的“峰点”为ωx＋φ＝π；,“第三点”即图象下降时与x轴的23π交点为ωx＋φ＝π；,“第四点”即图象的“谷点”为ωx＋φ＝2；,“第五点”为ωx＋φ＝2π.2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中＞0，＞0，0＜πx轴ωφ＜A2的图象与π2π的交点中，相邻两个交点的距离为2，且图象上一个最低点为M3，－2，求f(x)的解析式．2π，得A＝2.，－2[解]由最低点M3πTπ2π2π在x轴上两相邻交点之间的距离为2，故2＝2，即T＝π，ω＝T＝π＝2.2π，－2在图象上得由点M32π4π4ππ2sin2×3＋φ＝－2，即sin3＋φ＝－1，故3＋φ＝2kπ－2(k∈Z)，11π0，π∴φ＝2kπ－6(k∈Z)．又φ∈2，.专心..π2x＋π∴φ＝6.故f(x)＝2sin6.三角函数图象与性质的综合应用[探究问题]1．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则x＝2k＋1π－2φ(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x2ω＝2k＋1π－2φ(k∈Z)；2ω函数y＝cos(＋)对称轴方程的求法：令cos(＋)＝±1，得＋＝Aωxφωxφωxφπ(∈Z)，则＝kπ－φ(k∈Z)，所以函数y＝cos(＋)的图象的对称轴方程为x＝kkxωAωxφkπ－φω(k∈Z)．2．如何求函数y＝sin(＋)与y＝cos(＋)的对称中心？AωxφAωxφ提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，π－φkπ－φ则x＝k(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点，0(k∈Z)成中心ωω对称；π函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，则x＝2k＋1π－2φ(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点2ω2k＋1π－2φ，0(k∈Z)成中心对称．πππ【例3】(1)已知函数f(x)＝sinωx＋3(ω＞0)，若f6＝f3，且f(x)在区间ππω＝()6，3上有最小值，无最大值，则.专心..2142638A.3B.3C.3D.3已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点3π，0对称，且在区间0，πM42上是单调函数，求φ和ω的值．[思路点拨](1)先由题目条件 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.ππππ6＋3π(1)B[因为f6＝f3，所以直线x＝2＝4是函数f(x)图象的一条对称轴，又因为f(x)在区间ππ6，上有最小值，无最大值，3π所以当x＝4时，f(x)取得最小值．ππ＝2kπ－πk∈Z，解得＝8k10，(k∈Z)所以ω＋，ω－43232ππππ又因为T＝ω≥3－6＝6，所以ω≤12，又因为ω＞0，14所以k＝1，即ω＝8－3＝3.][解]由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值，即sinφ＝1或－1.依题设0≤φ＜π，∴解得πφ＝.2由f(x)的图象关于点M对称，可知3ππ3ππ＝kπ，解得4k2，k∈Z.sin4ω＋2＝0，即4ω＋2ω＝3－3π又f(x)在0，2上是单调函数，2π所以T≥π，即ω≥π.∴ω≤2，又ω＞0，2∴k＝1时，ω＝3；k＝2时，ω＝2.π2故φ＝2，ω＝2或3..专心..1．将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M3ππ4，0对称，且在区间0，2上是单调函数”改为“在区间－3ππω的最大值．，上为增函数”，试求22[解]因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sinφ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.ππ因为f(x)＝sinωx在－2ω，2ω上是增函数．3ππππ所以－2，2?－2ω，2ω，ω＞0，3ππ1－2≥－2ω于是，解得0＜ω≤3，ππ≤2ω，1所以ω的最大值为3.2ππ2．本例(2)中增加条件“ω＞1”，求函数y＝f(x)＋sin2x，x∈－，8的最大值．8[解]由条件知f(x)＝sinπ＝cos2x，2x＋2由x∈－ππ得2x∈－ππ，4，4，88sin2x∈22－2，2y＝f2(x)＋sin2x＝cos2＋sin2x22＋sin2x＝－(sin2x1252＝1－sin－)＋xx245所以当sin2x＝2时ymax＝4.1．正弦余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于π函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±2(k∈Z)时为偶函数；π对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±2(k∈Z)时为奇函数．2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧.专心..结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．1．准确理解“图象变换法”(1)由y＝sinx到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换，由y＝sinx到y＝sinωx图象的变换称为周期变换；由y＝sinx到y＝Asinx图象的变换称为振幅变换．(2)由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝sin(＋)的图象，其变换途径有Aωxφ两条，注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变|φ|换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．类似地y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可以由y＝cosx的图象变换得到．2．由y＝sin(＋)的图象性质或部分图象确定解析式的关键在于确定参数，ω，AωxφAφ.其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解.1．思考辨析(1)y＝sin3x的图象向左平移πy＝sin3x＋π.()个单位所得图象的解析式是44(2)y＝sinx的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin2.()x(3)y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是1y＝sin2x．()[提示](1)错误．y＝sin3xπ个单位得y＝sinπ＝的图象向左平移3x＋443sin3x＋4π.(2)错误．y＝sin2x应改为y1.＝sin2x1(3)错误．y＝2sinx应改为y＝2sinx.[ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ](1)×(2)×(3)×2．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解.专心..析式为y＝cosωx，则ω的值为________．1纵坐标不变，横坐标变为112[函数y＝cosx原来的2倍y＝cos2x.所以ω＝2.]3．由y＝3sinx的图象变换到y＝3sin1＋π2x3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．向左平移π3π2π[＝3sinx―――――→y＝3sinx＋π33y3个单位横坐标变为原来的π――――――――――→y＝3sin2x＋3，2倍，纵坐标不变2π横坐标变为原来的向左平移3个单位1y＝3sinx――――――――→y＝3sin2x――――――――→2倍，纵坐标不变12π1πy＝3sin2x＋3＝3sin2x＋3.]xπ4．已知函数f(x)＝3sin2＋6＋3(x∈R)，用图象变换法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．[解].专心...专心.