2020届高三理科数学专练15：平行垂直关系的证明(解析版)

2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明1．平行关系的证明例1：如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：（1）EG∥平面BB1D1D（2）平面BDF∥平面B1D1H．2．垂直关系的证明例2：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，M为棱AC的中点．AB=BC，AC=2，AA1=2．（1）求证：B1C∥平面A1BM；（2）求证：AC1平面A1BM；BN（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；BB1如果不存在，请说明理由．对点增分集训1．已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中正确的是（）A．若lm，ln，且m，n，则lB．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则∥C．若m，mn，则n∥D．若m∥n，n，则m2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2．给出下列四种说法：①若平面∥，直线a，b，则a∥b；②若直线a∥b，直线a∥，直线b∥，则∥；③若平面∥，直线a，则a∥；④若直线a∥，a∥，则∥．其中正确说法的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（）（1）m，n，m∥，n∥∥（2）n∥m，nm（3）∥，m，nm∥n（4）m，mnn∥A．0个B．1个C．2个D．34．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列命题正确的是（）A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDP5．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，垂直于同一平面，则与平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若，不平行，则在内不存在与平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明6．已知m，n是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m，m，则∥；②若，，则∥；③若m，n，m∥n，则∥；④若m，n是异面直线，m，m∥，n，n∥，则∥．其中真命题是（）A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④7．如图，正方体的棱长为1，线段A1C1上有两个动点E，F，且EF2；则下列结论错误的是（）．A．BDCEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥EFBC的体积为定值D．△BEF的面积与△CEF的面积相等8．如图所示，AB是圆O的直径，VA垂直于圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（）A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45C．OC平面VACD．平面VAC平面VBC8题9题9．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线且AEB1C1D．A1C1∥平面AB1E2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明10．如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，ADAB1，ADAB，BCD45，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A，并且平面ABD平面BCD．给出下面四个命题：2①ADBC；②三棱锥ABCD的体积为；③CD平面ABD；2④平面ABC平面ADC．其中正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论①ABEF；②AB与CM所成的角为60；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上四个命题中，正确命题的序号是_________．2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明12．如图，四棱锥PABCD中，ABAD2BC2，BC∥AD，ABAD，△PBD为正三角形．且PA23．（1）证明：平面PAB平面PBC；（2）若点P到底面ABCD的距离为2，E是线段PD上一点，且PB∥平面ACE，求四面体ACDE的体积．13．如图，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，EF∥AB，AB4，AE2，EF1．（1）求证：BCAF；1（2）若点M在线段AC上，且满足CMCA，求证：EM∥平面FBC；4（3）求证：AF平面EBC．2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明1．平行关系的证明例1：如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：（1）EG∥平面BB1D1D（2）平面BDF∥平面B1D1H．1【解析】证明（1）如图，取B1D1的中点O，连接GO，OB，因为OG∥B1C1∥BE，所以BE∥OG，2所以四边形BEGO为平行四边形，故OB∥EG，因为OB平面BB1D1D，EG平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D．（2）由题意可知BD∥B1D1．连接HB，D1F，因为BH∥D1F，所以四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF又B1D1IHD1=D1，BDIBF=B，所以平面BDF∥平面B1D1H．2．垂直关系的证明例2：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，M为棱AC的中点．AB=BC，AC=2，AA1=2．（1）求证：B1C∥平面A1BM；（2）求证：AC1平面A1BM；BN（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；BB1如果不存在，请说明理由．（1）（3）【解析】（1）证明：连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM．2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1的中点，∴OM∥B1C，又∵OM平面A1BM，B1C平面A1BM，∴B1C∥平面A1BM．（2）证明：∵侧棱AA1底面ABC，BM平面ABC，∴AA1BM，又∵M为棱AC的中点，AB=BC，∴BMAC．∵AA1AC=A，AA1，AC平面ACC1A1，∴BM平面ACC1A1，∴BMAC1∵AC=2，∴AM=1．又∵AA1=2，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tanAC1CtanA1MA2，∴AC1C＝A1MA，即AC1CC1ACA1MAC1AC90，∴A1MAC1∵BMA1MM，BM，A1M平面A1BM，∴AC1平面A1BM．BN1（3）解：当点N为BB1的中点，即时，平面AC1N平面AA1C1CBB12证明如下：设AC1的中点为D，连接DM，DN，∵D，M分别为AC1，AC的中点，∴DM∥CC1，1且DMCC1．又∵N为BB1的中点，∴DM∥BN，且DMBN，2∴四边形BNDM为平行四边形，∴BM∥DN，∵BM平面ACC1A1，∴DN平面AA1C1C．又∵DN平面AC1N，∴平面AC1N平面AA1C1C．对点增分集训1．已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若lm，ln，且m，n，则lB．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则∥C．若m，mn，则n∥D．若m∥n，n，则m【答案】D【解析】对于选项A，若lm，ln，且m，n，则l不一定垂直平面，∵m有可能和n平行，∴该选项错误；2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明对于选项B，若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则、可能相交或平行，∴该选项错误；对于选项C，若m，mn，则n有可能在平面内，∴该选项错误；对于选项D，由于两平行线中有一条垂直平面，则另一条也垂直平面，∴该选项正确，故答案为D．2．给出下列四种说法：①若平面∥，直线a，b，则a∥b；②若直线a∥b，直线a∥，直线b∥，则∥；③若平面∥，直线a，则a∥；④若直线a∥，a∥，则∥．其中正确说法的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】D【解析】若平面∥，直线a，b，则a，b可异面；若直线a∥b，直线a∥，直线b∥，则，可相交，此时a，b平行两平面的交线；若直线a∥，a∥，则，可相交，此时a，b平行两平面的交线；若平面∥，直线a，则a与无交点，即a∥；故选D．3．已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（）（1）m，n，m∥，n∥∥（2）n∥m，nm（3）∥，m，nm∥n（4）m，mnn∥A．0个B．1个C．2个D．3【答案】B【解析】由m，n，m∥，n∥，若a，b相交，则可得∥，若a∥b，则与可能平行也可能相交，故（1）错误；若m∥n，n根据线面垂直的第二判定定理可得m，故（2）正确；若∥，m，n，则m∥n或m，n异面，故（3）错误；若m，mn，则n∥或n，故（4）错误；故选B．2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明4．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列命题正确的是（）A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDP【答案】C【解析】A：MN和AP是异面直线，故选项不正确；B：MN和BD1是异面直线，故选项不正确；C：记ACIBDO．∵正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别C1D1，BC是的中点，1∴ON∥D1M∥CD，OND1MCD，∴MNOD1为平行四边形，∴MN∥OD1，2∵MN平面BD1D，OD1平面BD1D，∴MN∥平面BD1D．D：由C知MN∥平面BB1D1D，而面BB1D1D和面BDP相交，故选项不正确；故选C．5．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，垂直于同一平面，则与平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若，不平行，则在内不存在与平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A不正确；平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B不正确；平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C不正确；D为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D正确．故选D．2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明6．已知m，n是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m，m，则∥；②若，，则∥；③若m，n，m∥n，则∥；④若m，n是异面直线，m，m∥，n，n∥，则∥．其中真命题是（）A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④【答案】D【解析】逐一考查所给的命题：①由线面垂直的性质定理可得若m，m，则∥，命题正确；②如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，取平面，，分别为平ABB1A1，ADD1A1，ABCD，满足，，但是不满足∥，命题错误；③如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，取平面，分别为平面ABB1A1，ADD1A1，直线m，n分别为BB1，DD1，满足m，n，m∥n，但是不满足∥，命题错误；④若m，n是异面直线，m，m∥，n，n∥，由面面平行的性质定理易知∥，命题正确；综上可得，真命题是①和④，本题选择D选项．7．如图，正方体的棱长为1，线段A1C1上有两个动点E，F，且EF2；则下列结论错误的是（）．A．BDCEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥EFBC的体积为定值D．△BEF的面积与△CEF的面积相等2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明【答案】D【解析】在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD平面A1ACC1，而CE平面A1ACC1，故BDCE，故A正确．又A1C1∥平面ABCD，因此EF∥平面ABCD，故B正确．当EF变化时，三角形CEF的面积不变，点B到平面CEF的距离就是B到平面A1CCC1的距离，它是一个定值，故三棱锥EFBC的体积为定值（此时可看成三棱锥BCEF的体积），故C正6确．在正方体中，点B到EF的距离为，而C到EF的距离为1，D是错误的，故选D．28．如图所示，AB是圆O的直径，VA垂直于圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（）A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45C．OC平面VACD．平面VAC平面VBC【答案】D【解析】对于A项，MN与AB异面，故A项错；对于B项，可证BC平面VAC，故BCMN，∴所成的角为90，因此B项错；对于C项，OC与AC不垂直，∴OC不可能垂直平面VAC，故C项错；对于D项，由于BCAC，VA平面ABC，BC平面ABC，∴VABC，∵ACIVA=A，∴BC平面VAC，BC平面VBC，∴平面VAC平面VBC，故选D．8题9题9．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线且AEB1C1D．A1C1∥平面AB1E2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明【答案】C【解析】对于A项，CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A错；对于B项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC平面ABB1A1不可能，∴B错；对于C项，∵AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴C正确；对于D项，∵A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，∴D项不正确；故选C．10．如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，ADAB1，ADAB，BCD45，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A，并且平面ABD平面BCD．给出下面四个命题：2①ADBC；②三棱锥ABCD的体积为；③CD平面ABD；2④平面ABC平面ADC．其中正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】B【解析】①∵BAD90，ADAB，∴ADBABD45，∵AD∥BC，BCD45，∴BDDC，∵平面ABD平面BCD，且平面ABDI平面BCDBD，∴CD平面ABD，∵AD平面ABD，∴CDAD，故ADBC不成立，故①错误；1122②棱锥ABCD的体积为22，故②错误；3226③由①知CD平面ABD，故③正确；④由①知CD平面ABD，又∵AB平面ABD，∴CDAB，又ABAD，且AD、CD平面ADC，ADCDD，∴AB平面ADC，又AB平面ABC，2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明∴平面ABC平面ADC，故④正确．故选B．11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论①ABEF；②AB与CM所成的角为60；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上四个命题中，正确命题的序号是_________．【答案】①③【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：则ABEF，EF与MN异面，AB∥CM，MNCD，只有①③正确．故答案为①③．12．如图，四棱锥PABCD中，ABAD2BC2，BC∥AD，ABAD，△PBD为正三角形．且PA23．（1）证明：平面PAB平面PBC；（2）若点P到底面ABCD的距离为2，E是线段PD上一点，且PB∥平面ACE，求四面体ACDE的体积．（2）【解析】（1）证明：∵ABAD，且ABAD2，∴BD22，又△PBD为正三角形，∴PBPDBD22，又∵AB2，PA23，∴ABPB，又∵ABAD，BC∥AD，∴ABBC，PBBCB，∴AB平面PBC，又∵AB平面PAB，∴平面PAB平面PBC．2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明（2）如图，连接BD，AC交于点O，∵BC∥AD，且AD2BC，∴OD2OB，连接OE，∵PB∥平面ACE，∴PB∥OE，则DE2PE，24由（1）点P到平面ABCD的距离为2，∴点E到平面ABCD的距离为h2，33111488∴VACDEVEACDS△ACDh22，即四面体ACDE的体积为．33239913．如图，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，EF∥AB，AB4，AE2，EF1．（1）求证：BCAF；1（2）若点M在线段AC上，且满足CMCA，求证：EM∥平面FBC；4（3）求证：AF平面EBC．【解析】（1）∵EF∥AB，∴EF与AB确定平面EABF，∵EA平面ABCD，∴EABC．由已知得ABBC且EAIAB=A，∴BC平面EABF．又AF平面EABF，∴BCAF．（2）过M作MNBC，垂足为N，连接FN，则MN∥AB．11又CMAC，∴MNAB．又EF∥AB且EFAB，44∴EF∥MN且EFMN，∴四边形EFNM为平行四边形，∴EM∥FN．又FN平面FBC，EM平面FBC，∴EM∥平面FBC．（3）由（1）可知，AFBC．在四边形ABFE中，AB4，AE2，EF1，BAEAEF90，1∴tanEBAtanFAE，则EBAFAE．2设AFIBEP，∵PAEPAB90，故PBAPAB90，则APB90，即EBAF．又∵EBIBCB，∴AF平面EBC．2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2020届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明2019届高三数学精准培优专练十五：平行垂直关系的证明