数学物理方程2

null第二章 分离变量法第二章 分离变量法2.0 预备知识－常微分方程 2.0 预备知识－常微分方程 null二阶常系数线性方程的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式2.0 预备知识－常微分方程null特征根(1) 有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为齐次方程特征方程2.0 预备知识－常微分方程null(2) 有两个相等的实根齐次方程的通解为特解为(3) 有一对共轭复根齐次方程的通解为特征根为特解为2.0 预备知识－常微分方程null2.0 预备知识－常微分方程null二阶常系数非齐次线性方程通解结构二阶常系数非齐次线性方程2.0 预备知识－常微分方程2.1 有界弦的自由振动 2.1 有界弦的自由振动 null分离变量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。 理论依据：线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville 理论。 基本思想：将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解2. 1 有界弦的自由振动null2.1 有界弦的自由振动 研究两端固定均匀的自由振动.定解问题为：特点: 方程齐次, 边界齐次.null驻波的特点： 端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。2.1 有界弦的自由振动null2. 1 有界弦的自由振动null利用边界条件2.1 有界弦的自由振动null则 分三种情形讨论特征值问题的求解函数X(x)称为特征函数2.1 有界弦的自由振动null2. 1 有界弦的自由振动由边值条件 由边值条件得null2.1 有界弦的自由振动 由边值条件null2.1 有界弦的自由振动再求解T： 其解为 所以 叠加 null2. 1 有界弦的自由振动代入初始条件得： 定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x＝0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。 null关于二阶常微分方程 特征值问题（施特姆-刘维尔问题），存在如下结论：1.所有特征值均不为负 2.不同特征值所对应的特征函数正交，在区间上构成完备系。 3.任意一个具有连续一阶导数及分段连续二阶导数的函数且满足特征值问题的边界条件，则可以按照特征函数系展开null利用特征函数的正交性在等式两边同乘并在区间上取积分，利用特征函数的正交性,可求系数nullnullnull（特征值问题）齐次边 界条件（特征函数） 分离变量法图解 2.1 有界弦的自由振动null则无穷级数解为如下混合问题的解2.1 有界弦的自由振动null二、解的物理意义 特点最大振幅频率初位相u(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。 n＝1的驻波称为基波, n>1的驻波叫做n次谐波. 2.1 有界弦的自由振动null2.1 有界弦的自由振动null因此，所求的解为：2.1 有界弦的自由振动nullnullnull例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.第二类边界条件2.1 有界弦的自由振动null2.1 有界弦的自由振动分离变量： 由边值条件null由边值条件由边值条件从而2.1 有界弦的自由振动null2.1 有界弦的自由振动T 的方程其解为 null所以 故代入初始条件: 2.1 有界弦的自由振动nullnull与1 1类边界条件的定界问题区别在于特征值不同nullnullnull2 2类边界条件特征值特征函数null利用特征函数的正交性求系数一维振动方程对应的特征值问题，特征值，特征函数系一维振动方程对应的特征值问题，特征值，特征函数系null 分离变量法求得的级数解的物理意义： 分离变量法求得的级数解的物理意义：两端固定的有界弦自由振动nullnull振幅， 依赖于空间位置x振动波：弦上各点以同一角频率作简谐振动，位相相同，振幅依赖于点x的位置null振幅为0振幅达到最大null：弦的振动，就像是由互不连接的几段组成，每段的端点，恰好就固定在各个节点上，永远保持不动。含有节点的振动波称为驻波。null分离变量法求得的级数解null由固有频率可得到形成驻波的条件（对弦长的要求）为谐频，相应的波为谐波nullnullnull2章作业 2、6、8、9、132章作业 2、6、8、9、132. 2 有限长杆的热传导问题2. 2 有限长杆的热传导问题null例1．细杆的热传导问题 解：定解问题为 2.2 有限长杆的热传导问题null得本征问题 2.2 有限长杆的热传导问题null即 函数方程2.2 有限长杆的热传导问题null由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根故本征值为： 2.2 有限长杆的热传导问题null2.2 有限长杆的热传导问题对应的本征函数 解为故 由初始条件得可以证明且模值null（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解 （三）将特征值代入另一常微分方程， 得到 （四）将 叠加，利用初始条件确定系数（一）将偏微分方程化为常微分方程－－（方程齐次）分离变量法解题步骤－－（边界条件齐次）2.2 有限长杆的热传导问题null　　分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。 　　其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。注2.2 有限长杆的热传导问题null 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：端点边界条件与特征值，特征函数的关系2.2 有限长杆的热传导问题null2.2 有限长杆的热传导问题2.3 二维拉普拉斯方程 的边值问题2.3 二维拉普拉斯方程 的边值问题null2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题 1. 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题定解问题为： 解null再利用 x = 0 和 x = a 处的齐次边界条件得 故 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题null2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题考虑边界条件（y方向上），有 解得比较系数null所以解为 于是 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题null求稳恒状态下的温度分布规律。2. 圆域上的拉普拉斯方程的边值问题2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题null采用平面极坐标。令2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题null 分离变量 代入方程得齐次偏微分方程化为两个常微分方程:（一）将偏微分方程化为常微分方程2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题null（二）利用条件,确定特征值问题并求解 得到两个常微分方程的定解问题 (1)(2)2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题先求哪一个？先求(1)啊!可以确定特征值啊!为什么？null特征值特征函数2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题null得到方程通解 满足有界性条件的通解 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题null2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题null满足周期性和有界性条件的通解为: 利用边界条件，得由此可以确定系数 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题null注: 经过化简, 方程的解可以表示为 称为圆域内的泊松公式. 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题2.4 非齐次方程的解法 2.4 非齐次方程的解法 null2.4 非齐次方程的解法非齐次振动方程定解问题特征函数法null其中……………… (1)……………… (2)2.4 非齐次方程的解法null令 ……………… (3)……………… (4)……………… (1)2.4 非齐次方程的解法null将(3),(4) 代入 (1) 得两端比较将(3)代入初始条件2.4 非齐次方程的解法null常数变易法所以2.4 非齐次方程的解法null解　考虑极坐标变换:2.4 非齐次方程的解法null定解问题可以转化为: 相应的齐次问题的特征函数系为:2.4 非齐次方程的解法null于是可以设原问题的解为: 代入方程，整理得 2.4 非齐次方程的解法null2.4 非齐次方程的解法null由边界条件，得 所以 2.4 非齐次方程的解法null由边界条件，可知 2.4 非齐次方程的解法null方程的通解为 由端点的条件， 得 原问题的解为2.4 非齐次方程的解法2.5 非齐次边界条件的处理 2.5 非齐次边界条件的处理 null2.5 非齐次边界条件的处理 null例1．振动问题 解：故2.5 非齐次边界条件的处理 null2.5 非齐次边界条件的处理 null应取2.5 非齐次边界条件的处理 null例 定解问题其中A, B为常数. 解:令2.5 非齐次边界条件的处理 null代入方程，得 它的解为2.5 非齐次边界条件的处理 null于是 满足的方程为： 2.5 非齐次边界条件的处理 null利用分离变量法，求解得 其中从而，原定解问题的解为 2.5 非齐次边界条件的处理 null一. 选择适当的坐标系. 原则:边界条件的表达式最简单. 二. 若边界条件是非齐次的, 引进辅助函数把边界条件化为齐次的。 三. 对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个, 其 一是方程齐次, 并具有原定解条件的定解问题 (分离变量法)； 其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法).一般的定解问题的解法2.5 非齐次边界条件的处理 null例 求下列定解问题的解解 1）边界条件齐次化，令 2.5 非齐次边界条件的处理 null2）将问题分解为两个定解问题。设2.5 非齐次边界条件的处理 null2.5 非齐次边界条件的处理 null3）求解问题 (I), (II) 。首先，利用分离变量法求解问题 (I) 。特征值及相应的特征函数2.5 非齐次边界条件的处理 null则利用初始条件确定系数计算可得2.5 非齐次边界条件的处理 null其次，利用特征函数法求解问题 (II) 代入问题（II）的方程及初始条件，得2.5 非齐次边界条件的处理 null问题转化为求解下列常微分方程的初值问题解得所以2.5 非齐次边界条件的处理 null4）综合上述结果, 得到原问题的解2.5 非齐次边界条件的处理 null 对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言, 应根据求解区域的形状适当的选取坐标系, 使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单, 便于求解. 例如, 对于圆域、圆环可以采用极坐标。应当指出,只有当求解区域非常规范时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题，或利用特征函数法求解泊松方程的定解问题.注： 圆域内的周期性条件及有界性条件在题目中是不给出的，这些条件需根据对题目的分析自己写出.2.5 非齐次边界条件的处理