分形理论

null分 形 分 形 分形的概念分形的概念（一）英国的海岸线有多长 （二）什么是分形 （三）分形的特征（一）英国的海岸线有多长? （一）英国的海岸线有多长? 在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题依赖于测量时所使用的尺度。     如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。null（二）什么是分形? （二）什么是分形? 从严格意义上讲，分形是这样一种对象，将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原先的一样。 这与圆形成了鲜明的对比，把圆的一部分放大后便变得比较平直。 分形可分为两类：一是几何分形，它不断地重复同一种花样图案；另一种是随机分形。 计算机和计算机绘图能够把这些"畸形怪物"可靠地带回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够立即产生分形，并显示出它们奇妙的形状、艺术图案或细微的景观。 　　null 图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。 null 这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。 nullKohn雪花具有严格的自相似特性 nullSierpinski三角形具有严格的自相似特性null（三）分形的特征（三）分形的特征 分形具有五个基本特征或性质： ⑴形态的不规则性； ⑵结构的精细性 ⑶局部与整体的自相似性 如果用放大镜观察物体，不管放大多少倍，得到的结果相同，即不可能通过观测结果判断放大倍数。　　（三）分形的特征（三）分形的特征 ⑷维数的非整数性 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。 分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。 ⑸生成的迭代性分形与非分形 分形与非分形 对于非分形物体而言，在放大一定比例后，将无进一步的细节与结构 分形与非分形分形与非分形分形物体恰好相反，在任何比例尺的放大下均拥有无穷的细节与结构。分 维 分 维 分形理论的两个重要概念 分形理论的两个重要概念 自相似性(self-similarity) 分维(fractal dimension) 自相似性(self-similarity)自相似性(self-similarity)null分维的概念 1. 整数维（拓扑维或传统的维数 ） a. 点 —— 零维 b. 线 —— 一维 c. 面 —— 二维 d. 体 —— 三维 null让我们看下面的两个图形： a. 谢尔平斯基缕垫或海绵 3 = 2d d=log3/log2 ?nullb. 科赫曲线 4 = 3d d=log4/log3 ?null此外，维数和测量有着密切的关系： 一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中不包含平面。 那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值呢？ 看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1(大于0、小于2)。 对于我们上面提到的科赫曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面)。 null 那么只有找一个与科赫曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维！分维(fractal dimension)分维(fractal dimension)null平面中的曲线和空间的曲线是几维呢？答案：一维null让我们对维数有更多的理解： nullnull自相似几何体线度的2倍所得复制个数 ｋ= 2d 其实， 自相似几何体线度的λ 倍所得复制个数 ｋ= λd 其中: d 是几何体的维数 ｋ是复制个数null 2. 分数维 现在我们从测量的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数。即： 如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的ｋ个图形所组成，有：ｋ= λD D即维数 D = logｋ/logλ 其中： λ 为线度的放大倍数 ｋ为“体积”的放大倍数 null D = logｋ/logλ 由于这样定义的维数D是一个分式所得出的比值，因此人们称之为分数维。 易见，这样定义的维数包括规整的对象（线、面、体）的整数维。 D线=log2/log2=1 D面=log4/log2=2 D体=log8/log2=3 null谢尔平斯基垫片或海绵的维数： d=log3/log2 =1.58… 科赫曲线的维数： d=log4/log3 =1.26… 象相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维数概念的进一步发展！ null 准确的说，我们把上面定义的分数维称为相似性维数。相似性维数通常被定义为具有严格自相似性的维数。 还有其他一些方法定义的维数，如容量维数、豪斯道夫维数、信息维数、关联维数等。 null柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)曾给分维这样定义： 对于d 维空间中的一个小集合E，我们可以用一些直径r的d 维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为N(r) , 则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为： 或 一般地，我们就把这样定义的容量维叫做豪斯道夫维数，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此时的D 值称为该分形的分形维数，简称分维。也有人把该维数称为分数维。null3. 分数维的性质 a. 分数维一定大于拓扑维而小于它的所占的空间维； nullb. 分数维数值D的大小是分形对象复杂程度的一个度量，数值越大分形对象越复杂； 我们来看三种人造海岸线，它们的形式一个比一个复杂null 三种海岸线起点与终点间直线距离均为1。于是计算出的维数分别是： null c. 对于各种分形来说，即使在不同的尺度上，用分维表示的不规整程度却是一个常量。 如下面的科赫曲线，设两端点的距离为 1 ， 当尺子取: r=1/3 , N=4 D=log4/log3=1.26 r=1/9 , N=16 D=log16/log9=1.26分形维度(fractal dimension)分形维度(fractal dimension)N=rD N：线段数、格子数、立方体数 r ：缩小的比例 D：维度值（拓扑维度数） 经演算后可得 D = log(N)/log(r) Fractal dimensionFractal dimensionFractal dimension D (in the Euclidean line)Fractal dimensionFractal dimensionFractal dimension D (for the Square) Fractal dimensionFractal dimensionMore Simple Equation of Dn : number of segments S : ratio of length D : DimensionCantor SetCantor SetLength of infinite iteration : 0 Dimension : 0.6309ExamplesExamplesKoch’s Snowflake (Curve)D=1.26186 D=2.26186ExamplesExamplesSierpiński’s Carpet and Pyramid Menger SpongeD=2.7268ExamplesExamplesMinkowski Sausage Peano Monster Self-Squared Dragon分维(fractal dimension)分维(fractal dimension)以左图为例，此图形的分维就等于 D= log4/log3null分维的应用 伴随着分形理论的发展，分维也在越来越多的领域得到更广泛的应用。 它涉及到：农业、林业、医学、材料、经济、图形学……