随机振动--第7章-功率谱密度

1第第77章章功率谱密度函数功率谱密度函数7.17.1自相关的物理意义及其傅里叶变换自相关的物理意义及其傅里叶变换7.27.2自功率谱密度函数及其性质自功率谱密度函数及其性质7.37.3窄带随机过程与宽带随机过程窄带随机过程与宽带随机过程7.47.4互功率谱密度函数及其性质互功率谱密度函数及其性质7.57.5共相谱、正交谱和相干函数共相谱、正交谱和相干函数27.1自相关的物理意义及其傅里叶变换3自相关函数的物理意义自相关函数的物理意义可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达现在的波形与时间坐标平移后的波形之间的可以表达现在的波形与时间坐标平移后的波形之间的相似程度相似程度表达随机过程两个不同截口处的两个随机变量之间的表达随机过程两个不同截口处的两个随机变量之间的相关程度相关程度自相关函数与原始信号具有相同的周期（频率）、衰自相关函数与原始信号具有相同的周期（频率）、衰减率（阻尼）动态特性减率（阻尼）动态特性可用来检测随机过程中是否含有周期成分，或者其信可用来检测随机过程中是否含有周期成分，或者其信号特征号特征自功率谱计算的依据自功率谱计算的依据自相关函数既包含了一个随机过程间隔时间的相关程自相关函数既包含了一个随机过程间隔时间的相关程度和依赖性，同时也度和依赖性，同时也包含了能量大小的信息包含了能量大小的信息。不过要。不过要注意，相关性再也不是象相关系数那样能够用注意，相关性再也不是象相关系数那样能够用--11到到11这样的数来表示相关大小了这样的数来表示相关大小了4自相关函数的性质自相关函数的性质11：：⑴⑴自相关函数是偶函数自相关函数是偶函数xxREXtXtEXtXtR5自相关函数的性质2：⑵⑵周期平稳过程的自相关函数也是周期函数，周期平稳过程的自相关函数也是周期函数，其周期与过程的周期相同。其周期与过程的周期相同。xxRTEXtXtTEXtXtR6自相关函数的性质自相关函数的性质33：：⑶⑶ττ=0=0时的自相关函数就是均方值时的自相关函数就是均方值20xxxREXtXtREXtXt7⑷⑷如果随机过程不是周期过程，则：如果随机过程不是周期过程，则：2222222201000xxxxxxxxxxxxxxCRRRR时，随机变量与它自身是完全相关的时，两个随机变量之间将不再相关前提：不是周期函数若，则2limxxR自相关函数的性质自相关函数的性质44：：8⑸⑸自相关函数是一个有界函数自相关函数是一个有界函数22222110xxxxxxxRR一般一般ττ越大，则两时刻的随机变量越大，则两时刻的随机变量X(t1)X(t1)和和X(t1+X(t1+ττ))之之间的相关性愈差。间的相关性愈差。τ↑τ↑，，Rx(Rx(ττ))↓↓。。自相关函数的性质自相关函数的性质55：：9一、自功率谱密度一、自功率谱密度函数函数二、互二、互功率谱密度功率谱密度函数函数自相关函数自相关函数Rx(Rx(ττ))描述描述““平均功率平均功率””随时差随时差ττ的变化的变化→→““平均功率平均功率””的时间结构。的时间结构。功率谱密度功率谱密度SSxx(f)(f)：：描述描述““平均功率平均功率””在频域（谱在频域（谱域）的分布域）的分布→→频率结构。频率结构。二者在不同的域（时域或频域）反映着同一个统计二者在不同的域（时域或频域）反映着同一个统计特性。在不同的场合，各有所长，相辅相成。特性。在不同的场合，各有所长，相辅相成。10自相关函数的傅里叶变换12jxxjxxSRedRSed维纳维纳——辛钦关系式辛钦关系式117.27.2自功率谱密度函数自功率谱密度函数定义：用符号定义：用符号SxSx((ωω))记作记作Rx(Rx(ττ))的傅立叶变换的傅立叶变换22jfxxjfxxSfRedRSfedf维纳维纳——辛钦关系式辛钦关系式12jxxjxxSRedRSed存在上述傅立叶变换的条件：存在上述傅立叶变换的条件：xRd一般地，一般地，τ↑τ↑，，RRxx((ττ))↓↓∴∴RRxx((ττ))的傅立叶变换一般是存在的。的傅立叶变换一般是存在的。自然频率形式自然频率形式12为什么称为为什么称为““功率谱功率谱””？？设设是作用在是作用在RR＝＝11上的电压信号，则上的电压信号，则是瞬是瞬时功率信号，而平均功率时功率信号，而平均功率22201limxxTTxTRSfdfftdtSfdfT而一方面，此式表示平均功率一方面，此式表示平均功率的时间结构，即各个瞬时的功的时间结构，即各个瞬时的功率率对于平均功率的贡献。对于平均功率的贡献。另一方面，又表示了平均功率的频率结构，即各种频率的功另一方面，又表示了平均功率的频率结构，即各种频率的功率成分率成分SSxx((ff)d)dff对于平均功率的贡献，因此称为功率谱。对于平均功率的贡献，因此称为功率谱。2xtxt2xt22221lim0TTxxTxtdtRT2xt13为什么称为功率谱为什么称为功率谱““密度密度””xSfdf量纲：量纲：22sin/HzxxxtAtmRmSfm单位：单位：单位：功率频率dffSx)(14自谱密度自谱密度SSxx((ff))的性质：的性质：（1）Sx(f)≥0（2）2222jfjfxxxujfujfuxxxSfRedRedRueduRueduSf＝xSff是的偶函数15cos2sin2cos2xxxSfRfjfdRfdxxRSf是实函数也是实函数02cos2xxRSffdf＝相应地，相应地，功率谱密度16（（33）随机过程的自谱在整个频域上的积分等于）随机过程的自谱在整个频域上的积分等于随机过程的均方值。随机过程的均方值。20xxxRSfdf（（44））双边谱双边谱xSff，， 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 上，把自谱定义在正半轴上，称为工程上，把自谱定义在正半轴上，称为单边谱单边谱。。2,00,0xxSffGff17（（55））导数过程的自谱导数过程的自谱2xxSS18从从ParsevalParseval定理角度来定义功率谱密度定理角度来定义功率谱密度————信号在时域的总能量等与它在频域的总能量信号在时域的总能量等与它在频域的总能量22212xtdtXfdfXd19xt设设是平稳随机过程的一个样本函数，一般情是平稳随机过程的一个样本函数，一般情况下它不一定能满足绝对可积的条件，为此引入况下它不一定能满足绝对可积的条件，为此引入辅助函数：辅助函数：TT,-22T0,t2Txttxt2222212TTTTTxtdtxtdtXd根据根据ParsevalParseval定理定理22221112TTTTxtdtXdTT2022222111limlim211=lim2TTTTTTTTxtdtXdTTXdT,TTxtxt22211lim21=2xTTxEXtEXdTSd21limxTTsEXT21对于各态历经过程：对于各态历经过程：21limxTTsXT22例如。。。例如。。。例例11：初相位是随机的正弦随机过程：初相位是随机的正弦随机过程x=xx=x00sin(2sin(2ππff00t+t+φφ))，，其中其中φφ是随机变量，取值在是随机变量，取值在00～～22ππ范围的等概率密度范围的等概率密度的随机变量，求自谱。的随机变量，求自谱。由前面自相关函数的求解方法得：由前面自相关函数的求解方法得：0202cos2)(fxRxx)]()([42cos2)(00202020ffffxdefxfSifxx23例如。。。例例22：如图的自功率：如图的自功率谱函数，求其自相关谱函数，求其自相关函数。函数。)(cos)(sin22cos2)(2112002202201221212112ffffSdffSdfedfeSdfedfeSRfffffifffifffifffixx24例如。。。例例33：如图的自功率：如图的自功率谱函数，求其自相关谱函数，求其自相关函数函数20202sin)(22fSdfeSRfffixx若f2趋于无穷大，则为一个白噪声随机过程：)()(020SdfeSRfixx252222224d1d12EX21EX2xxxxxxRRSSSdSd26窄带过程是功率谱窄带过程是功率谱SSxx((ωω))具有尖峰特性具有尖峰特性,,并且只并且只在该尖峰附近的一个窄频带内在该尖峰附近的一个窄频带内SSxx((ωω))才取有意才取有意义的量级。义的量级。典型的例子是随机信号通过窄带滤波器后所得到的结典型的例子是随机信号通过窄带滤波器后所得到的结果。窄带过程最极端的情形是相位随机变化的正弦果。窄带过程最极端的情形是相位随机变化的正弦波，他的谱线是对称分布的两个波，他的谱线是对称分布的两个δδ函数。函数。7.37.3窄带随机过程与宽带随机过程窄带随机过程与宽带随机过程27宽带过程是指功率谱宽带过程是指功率谱SSxx((ωω))在相当宽的频带上取有意义的在相当宽的频带上取有意义的量级。量级。宽带过程最极端的情形是理想白噪声，它的谱密度是均匀的并且具有宽带过程最极端的情形是理想白噪声，它的谱密度是均匀的并且具有无限的带宽。无限的带宽。理想白噪声：理想白噪声：数学抽象，谱密度均匀并且具有无限的带宽，这意味着该数学抽象，谱密度均匀并且具有无限的带宽，这意味着该随机过程将具有无限大的能量，这实际是不可能得到的。随机过程将具有无限大的能量，这实际是不可能得到的。实际的随机过程往往是宽带的，并具有大致均匀的分布，但带宽却是有实际的随机过程往往是宽带的，并具有大致均匀的分布，但带宽却是有限的，这类过程常称限的，这类过程常称为限带白噪声为限带白噪声。。2829典型信号的自谱正弦：为一正弦：为一δδ函数函数窄带：功率谱具有尖峰窄带：功率谱具有尖峰宽带：功率谱较宽宽带：功率谱较宽白噪声：某一平稳随机过白噪声：某一平稳随机过程包含有程包含有00～∝的所有频率～∝的所有频率成分，且每个频率所具有成分，且每个频率所具有的平均功率大小相等，即的平均功率大小相等，即功率谱为平行于横轴的直功率谱为平行于横轴的直线，这样的平稳随机过程线，这样的平稳随机过程称为称为白噪声白噪声30自谱带宽与时间信号衰减的关系？自谱带宽与时间信号衰减的关系？自相关函数衰减自相关函数衰减越快，则自功率越快，则自功率谱带宽越宽谱带宽越宽相反，自功率谱相反，自功率谱带宽越宽，自相带宽越宽，自相关函数衰减越快关函数衰减越快31类似于自功率谱类似于自功率谱的定义，定义互的定义，定义互相关的傅氏变换相关的傅氏变换为互功率谱密度为互功率谱密度函数，相应地，函数，相应地，互功率谱密度函互功率谱密度函数的傅氏逆变换数的傅氏逆变换为互相关函数为互相关函数dfefSRdeRfSfiyxyxfiyxyx22)()()()(dfefSRdeRfSfixyxyfixyxy22)()()()(7.47.4互功率谱密度函数互功率谱密度函数32定义：定义：2jfxyxySfRedjyxyxSRed对于各态历经过程：对于各态历经过程：对于平稳过程：对于平稳过程：*1limxyTTTsEXYT*1limxyTTTsXYT33)(),(21lim),(),(21lim)(2*fSTfXTTfXTfXTfSYXxTTxy为同一时间历程，则、特别地，当34互功率谱密度互功率谱密度函数性质：函数性质：（（11））互谱一般是复函数互谱一般是复函数（2）互为共轭复数）互为共轭复数*xyxyyxSSS==（（33））互谱是有界函数互谱是有界函数xyxySSS2（（44）两个不相关且均值为零的随机过程）两个不相关且均值为零的随机过程0xyS=35例如例：有一白噪声各态历经随机过程X，其自谱密度为S0，另有一白噪声各态历经随机过程Y，其自谱密度也为S0，此二过程的关系为X(t)=Y(t+T)，试求Rxy(τ)、Ryx(τ)、Sxy(f)、Syx(f)fTiyxfTififixyxyxyyxxxxyeSfSeSdeTSdeRfSTSRRTSTRTtXtXEtYtXEtYtXER202020200)()()()()()(36功率谱的两种表示形式功率谱的两种表示形式等频带等差关系等差数列倍频带等比关系等比数列1/3倍频带1/12倍频带……37功率谱的应用功率谱的应用汽车的平顺性：是汽车的重要性能之一，影响疲劳、货物汽车的平顺性：是汽车的重要性能之一，影响疲劳、货物损坏、零部件使用寿命画一个轿车和驾驶员的图损坏、零部件使用寿命画一个轿车和驾驶员的图人体振动反应对频率敏感；人体振动反应对频率敏感；垂直振动敏感区域垂直振动敏感区域4~12.5HZ,4~12.5HZ,水平是水平是1~2HZ1~2HZ以下；以下；时间越长人体能够不疲劳地承受的加速度均方根值就越小时间越长人体能够不疲劳地承受的加速度均方根值就越小dffSiiffxix)(上下38功率谱的应用39功率谱的应用汽车噪声问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 407.57.5共相谱、正交谱和相干函数共相谱、正交谱和相干函数)()(sin)(cos)()()(XYXYxyxyjxyxyjQCdRjdRdeRS由于互谱一般为复数，的奇函数，称为正交谱它是的偶函数，称为共相谱它是式中，)(sin)()()(cos)()(XYxyXYXYxyXYQdRQCdRC41)()()()(YXXYYXXYQQCC复数，因此由于两个互谱互为共轭42相干函数凝聚函数）为谱相干函数（又称为定义：复数，因此由于两个互谱互为共轭)()()()()()()(222yxyxyxxyxySSSSSS431)(0)()()(22xyyxxySSS可以证明：44()2()()1lim()()21lim()()21lim()()21lim()2jxxxxTjTTTjtjtTTTjtTTTSRedxtxtdtedTxtedxtedtTxtedtXTXT功率谱密度(补充)：证明45211lim()221()(0)2rTrxxxxPXdTPSdR自谱密度函数性质：偶函数非负性()()()0xxxxxxSSS功率谱密度：证明（续）46功率谱密度：单边谱与双边谱工程中无负频率，常用单边谱，且频率单位用Hz,此时有：001(0)()21()22()rxxxxxxxxPRSdWfdfWfdf其中：()2()xxxxWS☞在对应的频率处，单边谱值是双边的两倍。47221()lim()21()lim()xxTxxTSXTWfXfT0()()2()cosjxxxxxxSRedRd又20()2()4()cos2jfxxxxxxWfRedRfd功率谱密度：单边谱与双边谱（续）48功率谱密度:白噪声00(),()xxxxWfWSS或——自谱密度函数为常数。白噪声的相关函数：0001()()21124()2jxxxxjjRSedSedWedW49白噪声例题计算有限带宽白噪声的相关函数。相关函数为：2120020211()()211coscos22sin2sin22jxxxxffRSedSdWdWff01212,()0,,WfffWfffff5002100021lim()limsin2sin22()xxWRffWff0210(0)()xxRWffWf白噪声例题（续）---带通滤波法的基础51窄带白噪声的相关函数相关函数为：02101101()sin2sin22sin2()sin22cos(2)xxWRffWfffWff0122112,,()()0,,WffffffWfffff2()()[()()]1!2!fxfxfxxfxxx白噪声例题（续）52功率谱密度:导数关系002222220()()()()()()()()(1)()()()()xxxxxxxxnnnnxxxxnnjtjtxxxxxtRSdxtdRSdtddxtdRSdtdxteReS53功率谱密度:测量方法带通滤波法（多用于宽带噪声）kkkxWfkf第k个频带内信号的均方值kx第k个频带宽度kW第k个频带内信号的平均自谱密度54功率谱密度:测量方法：噪声频带倍频程频带：[,]luff中心频率olufff12ulff1/3倍频程132ulff宽频噪声总频带范围：20Hz~20kHz，中心频率为：55功率谱密度:测量方法：滤波法框图2X2Xf56功率谱密度:测量方法：离散傅里叶变换法120,0,1,2,...,1mNjnNmnnXxemNnx---信号在时域的第n个时刻采样值N---信号在时域采样总点数mX---信号在频域第m个频率点处的傅里叶谱（复数值，包含幅值和相位）T---信号采样总时间长度（s）t---相邻两个信号采样点间时间间隔,()nTNtxxntDFT正变换：57功率谱密度:测量方法：离散傅里叶变换法（续）1fT---信号在频域的分辨率，即相邻两根谱线间的频率间隔（Hz）sf---信号在时域的采样速率（每秒采集fs个点），单位：Hz，采样定理要求：fs≥2fmax，fmax是信号中所含的最高频率。max11112sfNfNfTtt1mfmfmT自谱密度：21lim()xxTWXfT58例题，求下列信号的傅里叶谱：()sin(210)sin(220)sin(225)xtttt012345678910-505time(s)amplitude(UnitofA)0510152025303540455000.51frequency(Hz)amplitude(UnitofA)05101520253035404550-2000200frequency(Hz)phase(deg)dt=0.01;T=10-dt;df=1/T;t=0:dt:T;x1=sin(2*pi*10*t);x2=sin(2*pi*20*t);x3=sin(2*pi*25*t);x=x1+x2+x3;y=fft(x)/(T/dt+1);subplot(3,1,1)plot(t,x)xlabel('time(s)')ylabel('amplitude(UnitofA)')subplot(3,1,2)plot((1:500)*df,abs(y(1:500)))xlabel('frequency(Hz)')ylabel('amplitude(UnitofA)')subplot(3,1,3)plot((1:500)*df,angle(y(1:500))/2/pi*360)xlabel('frequency(Hz)')ylabel('phase(deg)')功率谱密度:测量方法：离散傅里叶变换法（续）59功率谱密度:测量方法：离散傅里叶逆变换离散傅里叶逆变换：1201,0,1,...,1mNjnNnmmxXenNNParseval定理：时域平均功率等于频域功率112200()/NNnmnmxtTXdt=0.001;T=10-dt;df=1/T;t=0:dt:T;x1=sin(2*pi*10*t);x2=sin(2*pi*20*t);x3=sin(2*pi*25*t);x=x1+x2+x3;tx2=x.^2*dt;y=fft(x)/(T/dt+1);sx2=sum(tx2)/Ty2=(abs(y)).^2;sy2=sum(y2)sx2-sy260功率谱密度:测量方法：离散傅里叶逆变换（续)注意：MATLAB做信号FFT时，正变换要除以采样点数。否则谱线高度会随采样点数线性上升。例如对同一时间长度的正弦波，若采样点数增加一倍，则谱线高度也增加一倍。因此，正变换除以采样点数后所得的傅里叶谱代表的是平均功率，它不随采样的总时间长度变化。（采样的总时间长度加长后信号在时域内的总功率增加。例如两个周期的正弦波的总功率是一个周期正弦波总功率的2倍。，注意信号总功率与平均功率的差别。FFT给出的是平均功率结果。61功率谱密度:测量方法：自相关函数离散序列自相关函数：01(),0,1,...,NrxxiirmRrxxrmNr其中，(),[()]iirxxitxxirt一般要求：10Nm62功率谱密度:测量方法：Welsh法21lim()xxTWXfT在自谱密度估计中：要求T无限长，这在实际中不可行。常采用Welsh的分段重叠法进行谱估计。1(),1,2,...xjjL(),1,2,...xjjN2(),,1,...xjjDDDL(),,...KxjjNLN63功率谱密度:测量方法：Welsh法（续）211()()(),0,1,...,12nLjLkkjLAnxjWjenL先对各分段加窗计算其谱：再进行平均处理：211()()KxxnkkLWfAnUK其中，211()12()112LjUWjLLjWjL64功率谱密度:随机振动的数字模拟给定PSD后，一个平稳随机振动可如下形成：12()cos(2)NkkkftftN0()Wfdfmin1(),1,2,...,2kffkfkNmax110tf其中k为[0,2π]均匀分布随机相位65功率谱密度:随机振动的数字模拟:认识PSD一个典型的加速度PSD谱图：（1）双对数坐标（2）分贝定义：0dB10lgWW（3）Oct倍频程（4）总均方根值（有效值）：200010()11.1(g)rmsGWfdf