第二十一章一元二次方程学习新知检测反馈21.1一元二次方程（1）九年级数学上新课标[人]等量关系：设雕像下部高xm，于是得方程整理得x2＋2x－4=0x2=2(2－x)ACB2mAC:BC=BC:2,即BC2=2AC要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？情景问题学习新知以上方程哪些是我们学过的一元一次方程？其它方程与一元一次方程有什么不同？（1）3x-5=0观察思考数字中有许多有趣而奇妙的现象，很多秘密等待着我们去探索发现！现在，我们先来做一个数字游戏：大家先计算出10、11、12三个数字的平方和，再计算出13和14的平方和，看看两个平方和相等吗？你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？试试看！如果设中间的一个数为x，请根据这一问题列出方程.数学思考解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得（100－2x）（50－2x）=3600.整理，得4x2－300x+1400=0.化简，得x2－75x+350=0.如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题1要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程
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安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？列方程整理,得化简，得问题2（１）一个未知数；（２）最高次数是2;（3）方程两边都是整式. 像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.x2－75x+350=02x2＋3x－2=0x2-x＝56探究新知请口答下面问题．（1）下面三个方程整理后含有几个未知数？（3）方程两边都是整式吗？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？请抢答下列各式是否为一元二次方程比一比判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件：知识拓展（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？ax2+bx+c=0(a≠0)二次项系数一次项系数常数项将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项． 3x2－3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 解：去括号，得：例题讲解1.一元二次方程概念需要满足三个条件：（1)是整式方程；（2)只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式是易错点是忽略.知识小结3.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为0，左边是关于未知数的二次整式.4.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的，所以写项或系数时，要先化成一般形式，并且都包括前边的符号.B解析：一元二次方程必须满足三个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，同时注意二次项系数不为0.①和④满足这三个条件，②中二次项系数可能为0，③化简后不含有二次项，不符合定义，故选B.1.在下列方程中，一元二次方程的个数是()．①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个检测反馈解析：观察图形，矩形风景画的长为（80-2x）cm，宽为（50-2x)cm,根据矩形的面积公式可列方程（80-2x）（50-2x)=5400，化简可得，x2-65x-350=0,故选D.2.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是（）DB.C.D.3.方程的二次项系数为，一次项系数为_________，常数项______．3-2-4解析：通过移项、合并同类项，化成一元二次方程的一般形式为：，所以二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项为-4，注意不要漏填负号.故填3，-2，-4.4.若是一元二次方程，则m=.-2解析：根据一元二次方程概念未知数x的最高指数是2，且二次项系数不为0，得且，解得m=-2，故填-2.谢谢大家九年级数学上新课标[人]第二十一章一元二次方程学习新知检测反馈21.1一元二次方程（2）学习新知方程x(x+2)=48；一般形式为x2+2x-48=0.根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列方程化成一般形式.一个面积为48m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m,苗圃的宽为xm.根据所列的方程将
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填完整.x012345678…x2+2x-48-48-45-40-33-24-1301532自主学习课本第3页,小组讨论交流,并回答以下问题:(1)什么是一元二次方程的根?使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.(2)方程x2+2x-48=0(x>0),3x2=2x的根是什么?x=6;x=0或x=(1)下面哪些数是方程x2+x-12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.练习巩固-4,3是方程的根.(2)李明在写作业时,一不小心,把方程5x2+■x-3=0的一次项的系数用墨水覆盖住了,但知道方程的一个根是x=-2,请你帮助李明求出覆盖的系数.解:设覆盖的系数为a.把x=-2代入方程可得5×(-2)2+(-2)a-3=0,即20-2a-3=0,解得a=∴覆盖的系数为∴2014-a-b=2014-(a+b)=2014-(-5)=2014+5=2019.(3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一个解是x=1,求2014-a-b的值.解:把x=1代入方程可得a+b+5=0,∴a+b=-5,1.判断一个数是不是一元二次方程的根的方法:将这个数代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,那么该数是方程的根;如果方程左右两边不相等,那么该数不是方程的根.2.已知a是一元二次方程的根,把x=a代入方程,方程左右两边相等,可以求待定系数的值.[知识拓展] 3.已知一元二次方程的根,求某个待定系数的值时,将方程的根代入方程求解.1.一元二次方程的根的概念使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.2.判定一个数是不是某个一元二次方程的根时,把这个数代入方程,满足方程的数就是方程的根,不满足方程的数就不是方程的根.知识小结检测反馈1.以-2为根的一元二次方程可能是( )A.x2+2x-2=0 B.x2-x-2=0C.x2+x+2=0D.x2+x-2=0解析:把x=-2分别代入各方程,使得方程x2+x-2=0左右两边相等.故选D.D2.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值是( )A.-3 B.3 C.0 D.0或3解析:把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得m=-3.故选A.A3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根,则代数式m2-m的值等于( )A.-1B.0C.1D.2解析:把x=m代入方程可得m2-m-2=0,所以m2-m=2.故选D.D解析:根据已知条件,当x=a,x=b时a2-3a+1=0,b2-3b+1=0成立,所以x=a,x=b都是方程x2-3x+1=0的解.故选D.4.已知实数a,b(a≠b)满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是( )A.x=a,x=b都不是该方程的解B.x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解C.x=b是该方程的解,x=a不是该方程的解D.x=a,x=b都是该方程的解D5.已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0),则下列代数式的值恒为常数的是( )A.abB.C.a+bD.a-b解析:把x=-a代入方程可得(-a)2-ab+a=0,即a2-ab+a=0,所以a(a-b+1)=0,因为a≠0,所以a-b+1=0,所以a-b=-1是常数.故选D.D谢谢大家21.2解一元二次方程学习新知检测反馈21.2.1配方法（1）九年级数学上新课标[人]（1）什么是一个数的平方根？平方根有哪些性质？（2）计算：9的平方根是，的平方根＿＿（3）如果,那么的值是＿＿问题思考±3±6问题研讨学习新知问题1：一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?(1)设其中一个盒子的棱长为xdm,则这个盒子的表面积为 dm2; (2)据题意可得等量关系为 ; (3)根据等量关系可列方程 ; (4)化简可得 . 解:设其中一个盒子的棱长为xdm,则这个盒子的表面积为6x2dm2.根据题意,得10×6x2=1500,整理,得x2=25.根据平方根的意义,得x=±5.即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去)答:其中一个盒子的棱长为5dm.问题思考x=±5都是方程x2=25的根,在这里为什么舍去一个根?棱长不能为负数,所以正方体盒子的棱长为5dm.直接开平方法1.例解方程解下列方程.(1)x2=4; (2)x2-2=0.解:(1)根据平方根的意义得x=±2,∴x1=2,x2=-2.(2)移项得x2=2,∴x=±.即2.归纳概念通过直接将某一个数开平方解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.3.即时巩固解下列方程.(抢答)(1)x2=9; (2)9x2-144=0.解:(1)根据平方根的意义,得x=±3,∴x1=3,x2=-3.(2)移项,得9x2=144,系数化为1,得x2=16根据平方根的意义,得x=±4,∴x1=4,x2=-4.4.总结归纳一般地,对于方程x2=p:(1)当p>0时,方程有两个不相等的实数根(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时,方程没有实数根.解下列方程.(1)(x+3)2=5; (2)4(x+3)2=5.解:(1)直接开平方,得x+3=±解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程(2)两边同时除以4,得=归纳总结(1)通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么?“降次”是解一元二次方程的基本策略,直接开平方法是根据平方根的意义,把一个一元二次方程“降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的.(2)能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点?方程的解是什么?如果一个一元二次方程具有(x+n)2=p(p≥0)的形式,那么就可以用直接开平方法求解,方程的解为.(3)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么?首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式,右边是非负数的形式,然后用平方根的概念求解.[知识拓展]1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义.2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果.3.方程(x+n)2=p中,当p<0时,方程没有实数根.知识小结直接开平方法解一元二次方程的基本策略是降次,依据是平方根的概念.直接开平方法适合解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程.一元二次方程(x+n)2=p根的情况:当p≥0时,方程有实数根,当p<0时,方程没有实数根.检测反馈1.方程3x2+27=0的解是( )A.x=±3 B.x=-3C.无实数根D.以上都不对解析:移项,得3x2=-27,系数化为1,得x2=-9,因为-9<0,所以方程没有实数根.故选C.C2.方程(x-2)2=9的解是( )A.x1=5,x2=-1B.x1=-5,x2=1C.x1=11,x2=-7D.x1=-11,x2=7解析:直接开平方得x-2=±3,即x-2=3或x-2=-3,所以方程的两个根是x1=5,x2=-1.故选A.A3.用直接开平方法解方程(x+h)2=k,方程必须满足的条件是( )A.k≥0B.h≥0C.hk>0D.k<04.方程(x-m)2=n(n为正数)的解是 解析:因为负数没有平方根,所以k≥0.故选A.A5.解下列方程.(1)4x2=81; (2)(x-2)2=5;(3)36x2-1=0; (4)3(x-1)2-6=0.解:(1)系数化为1得.直接开平方得x=,(2)直接开平方得(3)移项得36x2=1,系数化为1得x2=直接开平方得所以(4)移项得3(x-1)2=6,方程两边同时除以3得(x-1)2=2,直接开平方得x-1=±,谢谢大家学习新知检测反馈第二十一章解一元二次方程21.2.1配方法(2)九年级数学上新课标[人]小明用一段长为20米的竹篱笆围成一个矩形,怎样设计才可以使得该矩形的面积为9平方米?问题思考思考:根据题意,矩形的周长是 米,设矩形的长为x米,则矩形的宽为 米,题目中的等量关系为 ,故可列出方程为 . 提示：设该矩形的长为x米,依题意得x(10-x)=9,即x2-10x+9=0.学习新知 根据完全平方公式填空.(1)x2+8x+ =(x+ )2 (2)x2-x+ =(x- )2 (3)x2+mx+ =( )2 164当二次项系数为1,且二次三项式可配成完全平方式时常数项和一次项系数之间有什么关系?思考当二次项系数为1且二次三项式可配成完全平方式时,常数项是一次项系数一半的平方.归纳总结:你会解这样的方程吗?(1)x2+6x+9=0;(2)x2+6x+4=0.思考下列问题并回答.1.方程(2)与方程(1)的区别是什么?方程(1)左边可以化简成完全平方式,方程(2)左边不是完全平方式.2.把常数项移项,如何把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同?移项,得x2+6x=-4,根据等式的性质,方程两边同时加9可以把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同.3.试着解方程(2).解:移项,得x2+6x=-4,方程两边同时加9,得x2+6x+9=-4+9,,配方,得(x+3)2=5,∴x+3=±问题思考你能归纳出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗? 配方法解一元二次方程的步骤:(1)移项(把常数项移到方程右边);(2)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);(3)开平方;(4)解出方程的根.解下列方程.(1)2x2+1=3x;(2)3x2-6x+4=0.①两个方程能不能按上边的方法先移项,然后直接配方?②观察这两个方程和前面的方程有什么区别.③如何把二次项系数化为1?(4)根据上边的分析,尝试解方程.解(1):移项,得2x2-3x=-1,二次项系数化为1,得,配方,得解(2):移项,得3x2-6x=-4,二次项系数化为1,得,配方,得∵实数的平方不会是负数,∴原方程无实数根.用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)移项(把常数项移到方程右边);(2)二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数);(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);(4)开平方;(5)解出方程的根.课堂小结1.配方法:把一个一元二次方程变形为(x+h)2=k(k≥0)的形式(其中h,k都是常数),再通过直接开平方法求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.(提示:若k<0,方程无实数根)2.解一元二次方程的基本思路是降次,把一元二次方程化为(x+h)2=k(k≥0)的形式后两边开平方使原方程变为两个一元一次方程.3.用配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)移项(把常数项移到方程的右边);(2)把二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数);(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方)(4)开平方(根据平方根的意义,方程两边开平方);(5)求解(解一元一次方程).检测反馈1.将二次三项式x2-4x+1配方后得( )A.(x-2)2+3 B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-32.已知x2-8x+15=0,要将方程左边化成含有x的完全平方形式,下列做法正确的是( )A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-11解析:代数式加一次项系数一半的平方4,再减去4,可得x2-4x+1=x2-4x+4+1-4=(x-2)2-3.故选B.B解析:移项,得x2-8x=-15,两边同时加一次项系数一半的平方,得x2-8x+(-4)2=1.故选B.B3.方程x2+4x-5=0的解是 . 4.x2+6x+ =(x+ )2,a2± +=(a± )2. 解析:移项,得x2+4x=5,两边同时加4,x2+4x+4=9,配方得(x+2)2=9,∴x+2=3或x+2=-3,∴x1=1,x2=-5.故填x1=1,x2=-5.x1=1,x2=-5解析:二次项系数为1时,完全平方式展开式中常数项是一次项系数一半的平方.93a解:(1)移项,得x2+2x=3,两边同时加1,得x2+2x+1=4,配方得(x+1)2=4,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.5.用配方法解方程.(1)x2+2x-3=0;(2)9y218y-4=0.(2)移项,得9y2-18y=4,两边同时除以9,得两边同时加1,得配方,得谢谢大家学习新知检测反馈第二十一章解一元二次方程21.2.2公式法九年级数学上新课标[人]用配方法解下列方程.(1)6x2-7x+1=0;(2)4x2-3x+16=0.问题思考解:(1)移项,得6x2-7x=-1,二次项系数化为1,得配方,得开平方,得(2)移项,得4x2-3x=-16,二次项系数化为1,得配方,得∴原方程无实数根.共同探究1用配方法解下列一元二次方程.(1)ax2-7x+3=0(a≠0);(2)ax2+bx+3=0(a≠0).解:移项,得ax2+bx=-c,方程中的二次项系数化为1,得配方,得一元二次方程(x+p)2=q一定有实根吗?问题思考问题1问题2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后的方程一定有实根吗?不一定,当q<0时,方程无实根.∵4a2>0,直接开平方,得当b2-4ac<0时,∴原方程没有实数根.思考(1)如何判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况?(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?结论一:一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac.当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.结论二解一元二次方程时,先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.注意(1)一元二次方程的根由系数a,b,c共同决定;(2)用公式法解一元二次方程时,先将方程化成一般形式,确定a,b,c的值.例题判断下列方程根的情况,试着求解方程.(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x.解:(1)a=1,b=-4,c=-7,b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0,a=2,b=-2,c=1方程有两个相等的实数根,(2)2x2-2x+1=0，(3)将原方程化为5x2-4x-1=0,a=5,b=-4,c=-1,（4）原方程即为x2-8x+17=0.a=1,b=-8,c=17,∴方程无实数根. 公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0;(2)找出系数a,b,c,注意各项系数的符号;(3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解;(4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果.[知识拓展] 课堂小结1.方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.2.式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,常用“Δ”表示.当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.3.用公式法解方程应注意的问题:先将方程化为一般形式,确定a,b,c的值时注意符号,当Δ=b2-4ac≥0时,将a,b,c的值代入求根公式.4.公式法解一元二次方程的步骤.1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列叙述正确的是( )A.方程总有两个实数根B.只有当b2-4ac≥0时,方程才有两个实数根C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实数根D.当b2-4ac=0时,方程无实数根检测反馈解析:一元二次方程根的情况由根的判别式b2-4ac决定,当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程无实数根.故选B.B2.方程2x2+5x+3=0的根的判别式的值是( )A.1 B.-1 C.13 D.19解析:方程中a=2,b=5,c=3,代入根的判别式计算得b2-4ac=52-4×2×3=1.故选A.A3.若m为不等于零的实数,则方程x2+mx-m2=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个实数根D.没有实数根解析:方程中a=1,b=m,c=-m2,代入根的判别式计算得b2-4ac=m2-4×1×(-m2)=5m2,因为m≠0,所以5m2>0,所以方程有两个不相等的实数根.故选B.B4.若关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+1-m2=0无实数根,则m的取值范围是 . 解析:由方程无实数根得b2-4ac<0,即(2m+1)2-4×(-1)×(1-m2)<0,∴4m+5<0,∴谢谢大家第二十一章一元二次方程学习新知检测反馈21.2.3因式分解法九年级数学上新课标[人]问题思考根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么物体经过xs离地面的高度(单位:m)为10x-4.9x2,根据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?学习新知思考:还有什么方法解问题中的一元二次方程10x-4.9x2=0?(1)上面方程中有没有常数项?(2)等式左边的各项有没有相同因式?能不能分解因式?(3)如果AB=0,那么 ;如果(x+1)(x-1)=0,那么x+1=0或 ,即x=-1或 . (4)尝试将方程左边分解因式,看能不能达到降次的目的.A=0或B=0x-1=0x=1因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右边化为0;(2)将方程的左边进行因式分解;(3)令每一个因式为0,转化为两个一元一次方程;(4)解一元一次方程,得原方程的解.例题讲解解下列方程.(1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x2-2x-=x2-2x+.解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0,即x-2=0或x+1=0,∴x1=2,x2=-1.(2)解：移项、合并同类项,得4x2-1=0,因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0,即2x+1=0或2x-1=0,∴x1=-,x2=.[知识拓展] 1.当方程的左边能分解因式,方程的右边为0时,常常用因式分解法解一元二次方程,因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.一般先考虑用因式分解法,如果是特殊形式(x+a)2=b(b≥0),用直接开平方法,最一般方法是公式法,配方法在题目没有特殊要求时一般不用.2.解一元二次方程时,四种解法的使用顺序是:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.课堂小结因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右边化为0;(2)将方程的左边进行因式分解;(3)令每一个因式为0,转化为两个一元一次方程;(4)解一元一次方程,得原方程的解.检测反馈1.方程x(x+2)=0的根是( )A.x=2 B.x=0C.x1=0,x2=-2D.x1=0,x2=22.方程(x-5)(x-6)=(x-5)的解是( )A.x=5B.x=5或x=6C.x=7D.x=5或x=7解析:由题意可得x=0或x+2=0,解得x1=0,x2=-2.故选C.C解析:移项,得(x-5)(x-6)-(x-5)=0,方程左边提公因式得(x-5)(x-6-1)=0,即x-5=0或x-7=0,解得x1=5,x2=7.故选D.D3.用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0,可把其化为两个一元一次方程 , 求解. 4.方程x2-16=0的解是 ____. 解析:方程左边提公因式得(x+3)(5-2x)=0,所以x+3=0或5-2x=0.x+3=05-2x=0解析:方程左边用平方差公式分解因式得(x+4)(x-4)=0,所以x+4=0或x-4=0,解得x1=4,x2=-4.故填x1=4,x2=-4.x1=4,x2=-45.用因式分解法解下列方程.(1)x2+x=0;(3)3x2-6x=-3;(4)4x2-121=0;(5)3x(2x+1)=4x+2;(6)(x+4)2=(5-2x)2.解:(1)将方程左边分解因式,得x(x+1)=0,∴x=0或x+1=0.∴x1=0,x2=-1.(2)将方程左边分解因式,得(3)移项,得3x2-6x+3=0,将方程左边分解因式(4)将方程左边分解因式,得(2x+11)(2x-11)=0,∴2x+11=0或2x-11=0.∴x1=,x2=.得3(x-1)2=0，∴x1=x2=1.(5)移项,得3x(2x+1)-(4x+2)=0,将方程左边分解因式,得(2x+1)(3x-2)=0,∴2x+1=0或3x-2=0.∴-x+9=0或3x-1=0.解(6):移项,得(x+4)2-(5-2x)2=0,将方程左边分解因式,得(x+4+5-2x)(x+4-5+2x)=0,谢谢大家第二十一章一元二次方程学习新知检测反馈21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系九年级数学上新课标[人]问题思考我们知道生活中许多事物存在着一定的规律,有人发现并验证后就得到伟大的定理,比如,抛出的重物总会落下—万有引力定律(牛顿);电路中的电流、电压、电阻存在一定关系:U=IR—欧姆定律(欧姆).而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律.比如,直角三角形的三边a,b,c满足关系:a2+b2=c2—勾股定理(毕达哥拉斯定理).那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢?学习新知探究活动一观察表格,思考问题.(1)通过观察,你发现什么规律?(2)语言叙述你发现的规律.(3)设x2+px+q=0的两根为x1,x2,用式子表示你发现的规律.方程x1x2x1+x2x1·x2x2-5x+6=0235-6x2+3x-10=02-5-3-10方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则x1+x2=-p,x1x2=q.(1)上面发现的结论在这里成立吗?(2)你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗?(3)用语言叙述你发现的规律.(4)进一步猜想:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1,x2与a,b,c之间的关系.(5)你能证明上面的猜想吗?请证明,并用文字语言叙述说明.完成下列表格并思考：方程x1x2x1+x2x1·x22x2-3x-2=02-13x2-4x+1=01探究活动二根据求根公式,得归纳总结1.一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比；2.一元二次方程的根与系数之间的关系(韦达定理)；3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2,则x1+x2,x1x2例题讲解(教材例4)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积:(1)x2-6x-15=0;(2)3x2+7x-9=0;(3)5x-1=4x2.
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
知识拓展1.根与系数之间的关系在方程ax2+bx+c=0(a≠0)有根的前提下(b2-4ac≥0)才能够成立,运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负..2.利用根与系数之间的关系可以不解方程而求出与根有关的代数式的值.比如课堂小结在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中a,b,c的作用:1.二次项系数a是否为零,决定着方程是否为二次方程;2.当a≠0时,Δ=b2-4ac可判定根的情况;检测反馈1.若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2的值是( )A.-10 B.10 C.-16 D.16解析:考查根与系数之间的关系若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2=-10.故选A.A2.一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是( )A.-1B.-2C.1D.2解析:设方程的两个根为x1,x2,根据根与系数之间的关系可得x1x2==-2.故选B.B3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1,x2,则x1+x2-x1·x2的值为( )A.-7B.-3C.7D.34.方程x2=2x-1的两根之和等于 . 解析:将方程化简可得x2-2x+1=0,设方程的两个根为x1,x2,根据根与系数之间的关系可得解析:根据根与系数之间的关系可得x1+x2==5,x1x2==2,所以x1+x2-x1·x2=5-2=3.故选D.D25.已知方程x2-6x-2m+5=0的一个根为2,求另一个根及m的值..,解:设方程的两个根为x1,x2,根据根与系数之间的关系可得∵方程的一个根为2,∴方程的另一个根为4,且-2m+5=8,6.已知关于x的一元二次方程5x2-4x-1=0的两个解为x1和x2.解:（1）由方程根与系数之间的关系得谢谢大家第二十一章一元二次方程学习新知检测反馈21.3 实际问题与一元二次方程(2)九年级数学上新课标[人]问题思考
复习
预应力混凝土预制梁农业生态学考研国际私法笔记专题二标点符号数据的收集与整理
回顾:1.三角形的面积公式是什么?2.正方形、长方形、平行四边形的面积公式又是什么?3.列方程解应用题的一般步骤是什么?学习新知探究活动一(教材探究3)如图所示,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?(1)本题中有哪些数量关系?(2)如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”?(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?(4)解方程并得出结论,你的方法与其他同学的有什么不同?解:依据题意知中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比,即为9∶7,由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比为9∶7,设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,依题意,得中央矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm.于是可列出方程x1≈2.80(不合题意,舍去),x2≈0.20.所以9x≈9×0.20=1.8,7x≈7×0.20=1.4.答:上、下边衬的宽均为1.8cm,左、右边衬的宽均为1.4cm.例题讲解在一块长为16m,宽为12m的矩形荒地上,要建一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.(1)如果按如图(1)所示的
方案
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设计,并使花园四周小路宽度都相等,那么小路的宽是多少?解:(1)设花园四周小路的宽为xm,则花园的长为(16-2x)m,花园的宽为(12-2x)m,依题意得解得x1=2,x2=12(不合题意,舍去).所以花园四周小路的宽为2m.(2)如果按如图(2)所示的方案设计,并使小路宽度都相等,那么小路的宽是多少?解:(2)设小路的宽为ym,则花园的长为(16-y)m,花园的宽为(12-y)m,依题意得解得y1=4,y2=24(不合题意,舍去).所以小路的宽为4m.课堂小结1.一元二次方程解决实际问题的关键:分析题意找等量关系.2.列方程解应用题的一般步骤:审题、找等量关系、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案..检测反馈1.如图所示,要给一幅长30cm,宽20cm的照片配一个镜框,要求镜框的四条边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的设镜框的宽度为xcm,则依据题意列出的方程是 . 解析:设镜框边的宽度为xcm,那么新矩形的长为(30+2x)cm,宽为(20+2x)cm,所以2.一块矩形菜地的面积是120m2,如果它的长减少2m,那么菜地就变成正方形,则原菜地长是 m. 解析:设原菜地的长为xm,则宽为(x-2)m,根据题意得x(x-2)=120,解得x=12或x=-10(舍去).所以原菜地的长是12m.故填12.123.如图所示,某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草.要使每一块种花草的区域面积都为78m2,那么通道的宽应设计成多少米?设通道的宽为xm,由题意列得方程: .解析:设通道的宽为xm,由题意得(30-2x)·(20-x)=6×78,即x2-35x+66=0.故填(30-2x)(20-x)=6×78或x2-35x+66=0.(30-2x)(20-x)=6×78或x2-35x+66=04.某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000m2,施工队在绿化了22000m2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米?(2)该项绿化工程中有一块长为20m,宽为8m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),则人行通道的宽度是多少米?解:(1)设该项绿化工程原计划每天完成xm2,根据题意得解得x=2000,经检验,x=2000是原方程的解.答:该绿化项目原计划每天完成2000m2.解：(2)设人行通道的宽度为xm,根据题意得(20-3x)(8-2x)=56.答:人行通道的宽度为2m.谢谢大家第二十一章一元二次方程学习新知检测反馈21.3 实际问题与一元二次方程(1)九年级数学上新课标[人]问题思考有一人患了流感,经过一轮传染后共有11人患了流感,那么传染中平均一个人传染了几个人?学习新知探究1有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?思考:(1)本题中有哪些数量关系?(2)如何理解“两轮传染”?(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?(4)根据等量关系列方程并求解.解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,根据题意得1+x+x(1+x)=121,解方程得x1=10,x2=-12(不合题意,舍去).答:每轮传染中平均一个人传染了10个人 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元,生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步,现在生产1t甲种药品的成本是3000元,生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大?探究2(1)怎样理解下降额和下降率的关系?(2)设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品下降了 元,此时成本为 元,两年后甲种药品下降了 元,此时成本为 元.(3)针对甲种药品,如何根据等量关系列方程并求解、选择根?解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元.依题意,得5000(1-x)2=3000.解得x1≈0.225,x2≈1.775(不合题意,舍去).(4)同样的方法请同学们尝试计算乙种药品成本的年平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大.设乙种药品成本的平均下降率为y.则6000(1-y)2=3600,整理,得(1-y)2=0.6,解得y1≈0.225,y2≈1.775(不舍题意,舍去).答:两种药品成本的年平均下降率一样大.例题讲解 某电脑公司2014年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率.〔解析〕 设这个增长率为x,由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额,又由三个月的总营业额列出等量关系.解:设平均增长率为x,则200+200(1+x)+200(1+x)2=950.整理,得x2+3x-1.75=0.解得x1=0.5,x2=-3.5(不合题意,舍去).答:所求的增长率为50%.课堂小结若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“-”)..检测反馈1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )A.8人 B.9人 C.10人 D.11人解析:设每轮传染中平均一个人传染了x人,则第一轮过后有(1+x)个人感染,第二轮过后有(1+x)+x(1+x)个人感染,由题意可知1+x+x(1+x)=100,整理得x2+2x-99=0,解得x=9或x=-11,x=-11不符合题意,舍去.那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人.故选B.B2.为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是( )A.289(1-x)2=256 B.256(1-x)2=289C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=289解析:已知平均每次降价的百分率为x,则第一次降价后售价为289(1-x),第二次降价后售价为289(1-x)2,由题意得289(1-x)2=256.故选A.A3.某商场3月份的销售额为16万元,5月份为25万元,该商场每个月销售额的平均增长率是 . 解析:设每个月销售额的平均增长率是x,则可以得到方程16(1+x)2=25,解得x1=0.25,x2=-2.25(舍去).故填25%.25%4.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元; (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.解:(1)2.6(1+x)2(2)由题意,得4+2.6(1+x)2=7.146,解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去).答:可变成本平均每年增长的百分率为10%.谢谢大家第二十二章二次函数学习新知检测反馈22.1.1二次函数九年级数学上新课标[人]学习新知图片中喷头喷出的水珠在空中走过一条曲线,这些曲线是否能用函数关系式来表示?它们的形状是怎样画出来的?n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系?问题1n个球队中,每个队要与其他 个球队各比赛一场,全部比赛共有 场. 解:n个球队中,每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?问题2解:这种产品现在的年产量是20t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)·(1+x)t,即y=20(1+x)2二次函数的概念观察下面三个函数关系式:(1)y=6x2; 【思考】 (1)这三个函数是我们学过的函数吗?(2)这些函数的自变量x的最高次数是多少?(3)你能说出它们的共同特征吗?(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?二次函数的x的范围为：注意：1.自变量的最高次数是2.2.二次项的系数a≠0，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.3.二次函数解析式必须是整式.一切实数.其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次向系数bx是一次项，b是一次项系数c是常数项.一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）的函数，叫做二次函数.¹〔解析〕根据二次函数的概念可得①②③符合二次函数的概念;④中自变量的最高次数是3,⑤中函数右边不是整式形式,⑥中函数化简后不含二次项,均不符合二次函数的概念.故填①②③.例1（补充）观察下列式子:①y=6x2;②y=-3x2+5;③y=200x2+400x+200;④y=x3-2x;⑤⑥y=(x+1)2-x2.其中二次函有 .(填序号)①②③〔解析〕二次函数的自变量x的最高次数是2,∴m2-6m-5=2,解得m=7或m=-1.由二次项系数不为0,得m+1≠0,∴m=7.故填7.例2是二次函数,则m的值为 . 7在如图所示的一张长、宽分别为50cm和30cm的矩形铁皮的四个角上,各剪去一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子,小正方形的边长为xcm,长方体铁皮箱的底面积为ycm2.例3（补充）(1)求y与x之间的关系式;(2)写出自变量x的取值范围;(3)当x=5时,长方体铁皮箱的底面积是多少?(3)把x=5代入上述函数解析式,得y=800,所以长方体铁皮箱的底面积是800cm2.解:(1)由题意得长方体的底面的长为(50-2x)cm,宽为(30-2x)cm,题目中的等量关系为长方体的底面积=长×宽,所以可得函数解析式为y=(50-2x)(30-2x)=4x2-160x+1500.(2)根据实际意义,小正方形的边长为正数,且两个小正方形的边长和不能大于矩形的宽,所以2x<30,即x<15,且x>0,所以自变量x的取值范围是0<x<15.检测反馈1.下列各式中,是二次函数的是( ) A.y=2x+1B.y=-2x+1解析:A,B中自变量x的次数是1,是一次函数;D中,等式右边不是整式形式.故选C.C2.二次函数的二次项系数与常数项的和为( )A.1B.-2C.7D.-6解析:二次函数中,二次项系数为2,常数项为-4,2+(-4)=-2.故选B.B3.是二次函数,则m的值为 . 解析:根据二次函数的概念可得m2-m=2,且m+1≠0,解得m=2.故填2.24.若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的关系为,则当t=4s时,该物体所经过的路程为 . 解析:把t=4代入函数解式,s=5×16+2×4=88.故填88m.88m5.一个矩形的长是4cm,宽是3cm,若将这个矩形的长增加xcm,宽增加2xcm,则它的面积增加到ycm2,试写出y与x的关系式,并求出自变量x的取值范围.解:根据矩形的面积公式得y=(4+x)(3+2x)=2x2+11x+12.自变量x的取值范围是x>0.谢谢大家第二十二章二次函数学习新知检测反馈22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质九年级数学上新课标[人]学习新知图中的拱桥是什么曲线?这条曲线有什么特点?知识回顾1.正比例函数、一次函数的图象分别是什么?一条直线2.画函数图象的基本步骤是什么?列表、描点、连线.3.一次函数的性质是如何研究的?先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质.共同探究1 二次函数y=x2的图象及性质1.画二次函数y=x2的图象x…-3-2-10123…y…9410149…(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表.【思考】①自变量x的取值范围是什么?②要画二次函数y=ax2的图象,你认为x取整数好还是取其他数较好?③若选7个点画图,你准备怎样选?(2)描点:画坐标系时,应注意什么?如何描点?(3)连线:这7个点是不是在同一条直线上?用光滑曲线时要自左向右顺次连结2.观察思考(1)如图所示,你能描述出该函数图象的形状吗?(2)该函数图象与x轴有公共点吗?如果有公共点,那么公共点的坐标是什么?(3)该函数图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(4)当x<0时,随着x的增大,y如何变化?当x>0时呢?(5)当x取什么值时,y值最小?最小值是什么?你是如何知道的?【共同总结】像这样的曲线通常叫做抛物线;抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点,二次函数y=x2的图象与y轴的交点,即抛物线的顶点,顶点坐标为(0,0);该函数图象是轴对称图形,对称轴是y轴;函数y=x2的图象中,当x<0时,y随着x的增大而减小,当x>0时,y随着x的增大而增大;当x=0时,y有最小值,最小值是0.共同探究2 二次函数y=ax2的图象及性质1.在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=x2，，y=2x2的图象,并考虑这些图象的相同点和不同点.(根据画函数图象的三步骤,即列表、描点、连线画出函数图象,观察图象可得其异同点.)x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=x2…202…y=2x2…188202818…解:列表如下:相同点:①三个函数的图象都是抛物线;②三条抛物线的顶点相同,其坐标都为(0,0);③三条抛物线的对称轴相同,都为y轴;④三条抛物线的开口方向相同,它们的开口方向都向上.不同点:三条抛物线的开口大小不同.二次函数y=ax2的性质图象:二次函数y=ax2的图象是一条抛物线.性质:(1)开口方向:a>0时,抛物线的开口向上,a<0时,抛物线的开口向下;(2)顶点坐标是(0,0）(4)最值:a>0,当x=0时,y有最小值,为0,a<0,当x=0时,y有最大值,为0;(3)对称轴是y轴;(6)当|a|越大时,抛物线的开口越小,当|a|越小时,抛物线的开口越大.(5)增减性:当a>0时,在对称轴的左侧(x<0),y随x的增大而减小,在对称轴的右侧(x>0),y随x的增大而增大,当a<0时,在对称轴的左侧(x<0),y随x的增大而增大,在对称轴的右侧(x>0),y随x的增大而减小;y＝ax2a>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=ax2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点坐标是原点（0，0）顶点是最低点（有最小值）顶点是最高点（有最大值）在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减x0yxy0方向大小4.抛物线y=ax2中隐含着一个重要的条件,即a≠0,如抛物线y=(m-1)x2中,满足m≠1.[知识拓展]1.画函数图象时,一般来说选点越多,图象越精确,但也要具体问题具体分析.2.抛物线是向两个方向无限延伸的.3.由于二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,故也称抛物线y=ax2.检测反馈A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x的增大而增大（）解析:抛物线开口向上,对称轴是y轴,有最低点,x>0时,y随x的增大而增大;抛物线y=-2x2开口向下,对称轴是y轴,有最高点,x<0时,y随x的增大而增大.所以这三条抛物线的相同点是对称轴是y轴.故选B.B2.二次函数的图象的顶点坐标是 ,对称轴是 ,开口向 ,当x= 时,y有最 值,为 . 解析:根据二次函数y=ax2的性质可得二次函数的图象的顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口向上,当x=0时,y有最小值,为0.(0,0)y轴上0小03.函数y=-6x
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