2020年福建省泉州市南安市侨光中学自主招生数学试卷（含解析）印刷版

2020年福建省泉州市南安市侨光中学自主招生数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列实数中，无理数是（）A．0.010010001B．（）0C．cos30°D．2．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列成语所描述的事件为随机事件的是（）A．守株待兔B．水中捞月C．瓮中捉鳖D．拔苗助长5．（3分）若x+5＞0，则（）A．x+3＜0B．x﹣3＜0C．D．﹣2x＜166．（3分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣47．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以1直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和8．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．）22229．（3分）小明用S＝[（x1﹣5）+（x2﹣5）+…+（x10﹣5）]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝．10．（3分）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．11．（3分）若（2020﹣a）（2019﹣a）＝2021，则（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝．12．（3分）如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的O交CD于点E，则弧DE的长为．⊙213．（3分）如图所示，△ABC中，已知AD和BE分别是边BC，AC上的中线，且AD⊥BE，垂足为G，若GD＝2，GE＝3，则线段CG为．14．（3分）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为．二、解答题：（本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（8分）先化简，再求值．（1﹣），其中x是方程x2﹣5x+6＝0的根．16．（8分）如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE≌△CFE．17．（8分）已知△ABC中，∠A＝22.5°，∠B＝45°．（1）求作：O，使得圆心O落在AB边上，且O经过A、C两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不⊙⊙3必写作法）（2）若O的半径为2，求证：BC是O的切线；求tan∠A的值．（3）仿照⊙以上求tan∠A的①过程，可得：t⊙an15°＝②．18．（8分）甲乙两家外卖公司，其送餐员的日工资 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 如下：甲公司的底薪80元，每单抽成3元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并记录其100天的送餐单数，得到如下频数表．甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1040301010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010（1）求甲公司送餐员的日平均工资；（2）某人拟到甲乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，那么他应该选择去哪家公司应聘？请说明理由．19．（8分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．420．（8分）箭头四角形模型规律如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．如图3，∠ABE①、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC②＝50°，则∠BFC＝．如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的③交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．2221．（10分）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）﹣4和C2：y＝x（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？5（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．若AP＝AQ，求点P的横坐标；①若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．②（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．62020年福建省泉州市南安市侨光中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列实数中，无理数是（）A．0.010010001B．（）0C．cos30°D．【分析】求出（）0＝1，cos30°＝，再根据无理数的定义逐个判断即可．【解答】解：A．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；B．（）0＝1，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；C．cos30°＝，是无理数，故本选项符合题意；D．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；故选：C．2．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；B、是轴对称图形，本选项符合题意；C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：B．3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）A．B．7C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故A错误；B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B错误；C、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C正确；D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D错误；故选：C．4．（3分）下列成语所描述的事件为随机事件的是（）A．守株待兔B．水中捞月C．瓮中捉鳖D．拔苗助长【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、是随机事件，故A符合题意；B、是不可能事件，故B不符合题意；C、是必然事件，故C不符合题意；D、是不可能事件，故D不符合题意；故选：A．5．（3分）若x+5＞0，则（）A．x+3＜0B．x﹣3＜0C．D．﹣2x＜16【分析】根据不等式的性质进行逐一判断即可．【解答】解：∵x+5＞0，∴x＞﹣5，∴x+3＞﹣2，A错误；x﹣3＞﹣8，B错误；＞﹣1，C错误；﹣2x＜10，即﹣2x＜16，D正确，8故选：D．6．（3分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣4【分析】首先，根据两直线的交点的横坐标即为联立两直线方程求解的x值，则由直线y＝ax+b与直线y＝mx交于点B（2，n），可得交点横坐标为；其次，通过解一元一次方程ax﹣b＝mx，得，则，即可得解．【解答】解：∵，∴ax+b＝mx，解得，∵直线y＝ax+b与直线y＝mx交于点B（2，n），∴，由ax﹣b＝mx，得，∴，∴关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为：x＝﹣2，故选：B．7．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）9A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．8．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；10当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．另一解法：∵a≠b，∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，∴M＝2，又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，∴N≤2，∴N≤M，∴不可能有M＝N﹣1，故排除A、B、D，故选：C．二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．）22229．（3分）小明用S＝[（x1﹣5）+（x2﹣5）+…+（x10﹣5）]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝50．2222【分析】根据S＝[（x1﹣5）+（x2﹣5）+…+（x10﹣5）]可得平均数为5，进而可得答案．【解答】解：由方差公式可得平均数为5，因此x1+x2+x3+…+x10＝5×10＝50，故答案为：50．10．（3分）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压60cm．【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．【解答】解：如图；AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN；11∵AM∥BN，∴△ACM∽△BCN；∴，∵AC与BC之比为6：1，∴，即AM＝6BN，∴当BN≥10cm时，AM≥60cm，故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm．故答案为：60．11．（3分）若（2020﹣a）（2019﹣a）＝2021，则（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝4043．【分析】设x＝2020﹣a，y＝2019﹣a，故xy＝2021，原式＝x2+y2，即可利用完全平方公式进行求解．【解答】解：设x＝2020﹣a，y＝2019﹣a，则xy＝2021，x﹣y＝（2020﹣a）﹣（2019﹣a）＝1∴（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×2021＝4043故答案为：4043．12．（3分）如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的O交CD于点E，则弧DE的长为．⊙π【分析】连接OE，求出∠DOE＝40°，根据弧长公式计算，得到答案．【解答】解：连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6，∠D＝∠B＝70°，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠DOE＝40°，∴弧DE的长＝＝，π12故答案为：．π13．（3分）如图所示，△ABC中，已知AD和BE分别是边BC，AC上的中线，且AD⊥BE，垂足为G，若GD＝2，GE＝3，则线段CG为2．【分析】由三角形重心的性质得到AG＝2GD＝4，BG＝2GE＝6，根据勾股定理求出AB，延长CG交AB于H，根据直角三角形的斜边中线性质求出GH，根据三角形的重心的性质计算即可．【解答】解：延长CG交AB于H，如图，∵BD和CE分别是边AC，AB上的中线，∴点O是△ABC的重心，∴AG＝2GD＝4，BG＝2GE＝6，CG＝2GH，∵AD⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴AB＝＝＝2，又∵H是AB的中点，∴GH＝AB＝，∴CG＝2GH＝2．故答案为：．1314．（3分）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为14．【分析】设OA＝3a，则OB＝4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式为，直线CD的解析式是y＝x，OA的中垂线的解析式，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2＝，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．【解答】解：由题意，设OA＝3a，则OB＝4a，∴A（3a，0），B（0，4a），设直线AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是，∵直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y＝x，根据题意得：，解得：，则D的坐标是（，），OA的中垂线的解析式是，则C的坐标是（，），则，14∵以CD为边的正方形的面积为，且，则，解得：，∴，故答案为：14．二、解答题：（本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（8分）先化简，再求值．（1﹣），其中x是方程x2﹣5x+6＝0的根．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝，方程x2﹣5x+6＝0，变形得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得：x＝2（舍去）或x＝3，当x＝3时，原式＝．16．（8分）如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE≌△CFE．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解答】证明：∵AB＝BD+CF，又∵AB＝BD+AD，∴CF＝AD∵AB∥CF，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F在△ADE与△CFE中15，∴△ADE≌△CFE（ASA）．17．（8分）已知△ABC中，∠A＝22.5°，∠B＝45°．（1）求作：O，使得圆心O落在AB边上，且O经过A、C两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）⊙⊙（2）若O的半径为2，求证：BC是O的切线；求tan∠A的值．（3）仿照⊙以上求tan∠A的①过程，可得：t⊙an15°＝2﹣②．【分析】（1）按要求作出图形即可；（2）连接OC，利用已知得出∠OCB＝90°，进而即可求出；过C①作CH⊥AB于H点，先推出△OHC是等腰直角三角形，从而可OH＝，AH＝，即可②求出tan∠A；（3）改变已知条件，令∠A＝15°，∠B＝60°，OC＝2，然后按照（2）中的方法求解即可．【解答】解：（1）作图：如图1即为所求作的图，②；（2）证明：如图2，连接OC，①∵OA＝OC，∠A＝22.5°，∴∠BOC＝45°，16又∵∠B＝45°，∴∠BOC+∠B＝90°，∴∠OCB＝90°，∴OC⊥BC，且点C在O上，∴BC是O的切线；⊙过点C⊙作CH⊥AB于H点，②由得：∠BOC＝45°，∵C①H⊥AB，∴∠OCH＝90°，∴△OHC是等腰直角三角形，∵OA＝OC＝2，OH＝CH＝OCsin∠B＝，∴AH＝，∴在Rt△ACH中，tan∠A＝＝；（3）改变已知条件，令∠A＝15°，∠B＝60°，OC＝2，∴∠OCA＝15°，∠ACB＝180°﹣15°﹣60°＝105°，∴∠OCB＝90°，过点C作CH⊥OB于点H，在△OCH中，∠COH＝15°+15°＝30°，∠OHC＝90°，∵OC＝2，∴CH＝1，OH＝，17∴tan15°═＝＝2﹣，故答案为：．18．（8分）甲乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成3元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并记录其100天的送餐单数，得到如下频数表．甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1040301010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010（1）求甲公司送餐员的日平均工资；（2）某人拟到甲乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，那么他应该选择去哪家公司应聘？请说明理由．【分析】（1）计算出甲公司送餐员日平均送餐单数，即可求出甲公司送餐员的日平均工资；（2）计算出乙公司送餐员的日平均工资，与甲公司比较即可得出结论．【解答】解：（1）甲公司送餐员日平均送餐单数为：38×0.1+39×0.4+40×0.3+41×0.1+42×0.1＝39.7所以甲公司送餐员日平均工资为：80+3×39.7＝199.1（元）；（2）应该选择去乙公司应聘，理由为：乙公司送餐员日平均工资为：＝202.2（元），∵199.1＜202.2所以这个人应该选择去乙公司应聘．19．（8分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．18（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第x天之间的函数关系式，（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，（3）再依据函数的增减性求得最大利润．【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知，解得∴n＝2x+10同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝（2）∵y＝mn﹣80∴y＝整理得，y＝（3）当1≤x≤10时，∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝＝＝﹣5∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大∴x＝10时，y取最大值，则y10＝127019当10＜x＜15时∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝﹣＝＝≈13.2＜13.5∴x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2当15≤x≤30时∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝＝＞30∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元20．（8分）箭头四角形模型规律如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2．如图3，∠ABE①、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交α于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC②＝50°，则∠BFC＝85°．如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的③交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝（m+n）度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．20【分析】（1）由∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝可得答案；由∠BEC＝①∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠AαBF+∠ACF+∠A且∠EBF＝∠αABF，∠ECF＝∠ACF知∠B②EC＝∠F﹣∠A+∠F，从而得∠F＝，代入计算可得；由∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝③∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC知∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，据此得出∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，代入可得答案；（2）由∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA知∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，结合∠BCD＝2∠BAD得∠BCD＝∠BOD，连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【解答】解：（1）如图2，①在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝，在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2；αα21如图3，②∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF，∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，∴∠F＝，∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°；如图3，③由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，∴∠BO1000C＝m°+n°；故答案为：2；85°；（m+n）；①α②③22（2）如图5，连接OC，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．2221．（10分）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）﹣4和C2：y＝x（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．若AP＝AQ，求点P的横坐标；①若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．②（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、23n，求m与n的数量关系．【分析】（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）易求点A（3，0），b＝4，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），则可求直线①AD'的解析式为y＝x﹣4，联立方程，可得P点横坐标为；设P（m，4﹣m），Q②（m，m2﹣2m﹣3），则有（m2﹣m﹣7）2＝（m﹣3）2+（4﹣m）2，解得m＝﹣或m＝3（舍），所以P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，联立，则可知△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，求得k＝2m，得出直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，则可求E（，mn），再由面积[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，可得（m﹣n）3＝8，即可求解；【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；（2）如图1，设抛物线C1与y轴交于C点，直线AB与y轴交于D点，2∵C1：y＝（x﹣①1）﹣4，∴A（3，0），C（0，﹣3），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴D（0，4），∵AP＝AQ，PQ∥y轴，∴P、Q两点关于x轴对称，设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4），24∴直线AD'的解析式为y＝x﹣4，由，得x1＝3，x2＝，∴xQ＝，∴xP＝xQ＝，∴P点横坐标为；设P（m，4﹣m），Q（m，m2﹣2m﹣3），②∵PA＝PQ，∴（m2﹣m﹣7）2＝（m﹣3）2+（4﹣m）2，∴|m2﹣m﹣7|＝|m﹣3|，∵﹣1＜m＜3，∴﹣m2+m+7＝（3﹣m），∴m＝﹣或m＝3（舍），∴P点横坐标为﹣；（3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，25∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2．26