第三节二重积分的计算(二)有些二重积分，其积分区域D的边界曲线用极坐标方程来
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示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等.此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.分布图示利用极坐标系计算二重积分★例1★例2★例5★例6★例9★例10★例11★例12★例13★例14二重积分化为二次积分★例3★例4★例7★例8平面薄片的重心平面薄片的转动惯量平面薄片对质点的引力内容小结★课堂练习★习题9-3★返回内容要点一、在极坐标系下二重积分的计算极坐标系下的面积微元dQ=rdrd9，直角坐标与极坐标之间的转换关系为从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式JJf(x,y)dxdy=JJf(rcos9,rsin9)rdrd9(3.1)DD二、二重积分的应用平面薄片的重心平面薄片的转动惯量例题选讲在极坐标系下二重积分的计算例1(E01)计算JJe-(x2+y2)db,其中D是由圆x2+y2=R2所围成的区域.D解如图，在极坐标系下，积分区域D的积分限为0<0<2冗，0
a所围成区域D的面积.解根据对称性有D=4D],在极坐标系下(x2+y2)2=2a2(x2-y2)r=ax2co20,a,I6丿由lr=处2cos20,得交点a=Ir=a故所求面积=a2=ffdxdy=4JJdxdy=4JJrdrd0=4J6d0farcdr°o2'Q=4a2J6cos20d00a0DD1D1例9求球体x2+y2+z2<4a2被圆柱面x2+y2=2ax(a>0)所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积.解如图，由对称性，有V=4『f\；4a2-x2-y2dxdy,D其中D为半圆周y=-j2ax-x2,及x轴所围成的闭区域.在极坐标中，积分区域D：0<0<兀2,00).解由积分区域的对称性知F=F=0,xyF=-akJIP(X，y)dOz(x2+y2+a2)3/2D—akp\\do(x2+y2+a2)3/2D=—akpJ亦Rrd—00(r2+a2)3/2=2兀kap故所求引力为F=20,0,2兀kap—课堂练习1.计算UIx2+y2—21do,其中D:x2+y2<3.D2.设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离,求此半圆的重心坐标及关于x轴（直径边）的转动惯量.
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