文武光华交流知识共享智慧2013年APMO（亚太地区数学奥林匹克）试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
及其解答解答人：文武光华数学工作室田开斌一、如图，AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高，O为△ABC的外心，求证：OA、OF、OB、OD、OC、OE将△ABC分为三对面积相等的三角形。证明：如图，作OM⊥AB于M，作ON⊥AC于N，则：=·ୱ୧୬∠େ·ୱ୧୬∠େ=ୡ୭ୱ∠େୡ୭ୱ∠େ=େ⇒BF·OM=CE·ON⇒S△=S△େ。同理可证：S△େୈ=S△，S△=S△ୈ。命题得证。二、求所有正整数n，使得୬మାଵൣ√୬൧మାଶ是整数。解答：设n=mଶ+r，其中m∈Nା，r∈N，且r≤2m，则[n]=m。于是୬మାଵൣ√୬൧మାଶ=(୫మା୰)మାଵ୫మାଶ=mଶ+(2r−1)+(୰ିଶ)మାଵ୫మାଶ从而有mଶ+2|(r−2)ଶ+1。然而(r−2)ଶ+1≤max൛5，(2m−2)ଶ+1ൟ＜4mଶ+5＜4(mଶ+2)，于是(୰ିଶ)మାଵ୫మାଶ=1、2或3。若(୰ିଶ)మାଵ୫మାଶ=1，则(r−2)ଶ−mଶ=1⇒(r−2+m)(r−2−m)=1，显然m无正整数解。若(୰ିଶ)మାଵ୫మାଶ=2，则(r−2)ଶ−2mଶ=3。然而(r−2)ଶ−2mଶ≡0、1、2、4、6、7(mod 8)，于是此时无整数解。若(୰ିଶ)మାଵ୫మାଶ=3，则(r−2)ଶ−3mଶ=5。两边同取模5，则知(r−2)ଶ≡3mଶ(mod 5)，于是5|r−2，5|m，从而有25|(r−2)ଶ−3mଶ，与(r−2)ଶ−3mଶ=5矛盾。综上所述，不存在满足条件的正整数n。EDFOABCMNEDFOABC文武光华交流知识共享智慧三、对2k个实数aଵ、aଶ、…、a୩；bଵ，bଶ，…，b୩，定义数列{X୬}如下：X୬=∑[a୧n+b୧]୩୧ୀଵ（n=1、2、…）。若数列{X୬}是等差数列，求证：∑a୧୩୧ୀଵ是整数。证明：记A=∑a୧୩୧ୀଵ，B=∑b୧୩୧ୀଵ，则有：∑(a୧n+b୧−1)୩୧ୀଵ＜∑[a୧n+b୧]୩୧ୀଵ≤∑(a୧n+b୧)୩୧ୀଵ⇒An+B−k＜∑[a୧n+b୧]୩୧ୀଵ≤An+B根据条件知数列{X୬}为等差数列。设首项为x，公差为d，则c、d均为整数。且有∑[a୧n+b୧]୩୧ୀଵ=x+d(n−1)。于是知，对于任意正整数n，恒有An+B−k＜x+d(n−1)≤An+B⇒A+ି୩୬＜d+୶ିୢ୬≤A+୬两边对n取极限，则有A=d，为整数。从而∑a୧୩୧ୀଵ是整数。四、已知a、b是给定的正整数，A、B是满足以下要求的有限整数集合：（1）A⋂B=Φ；（2）对于集合A或B中的任一整数i，都有i+a∈A或i−b∈B，求证：a|A|=b|B|。证明：记Aᇱ={i−a|i∈A}，Bᇱ={i+b|i∈B}。根据条件（2），对于任意x∈A⋃B，都有i+a∈A或i−b∈B。若i+a∈A，则x∈Aᇱ；若i−b∈B，则x∈Bᇱ。所以A⋃B⊆Aᇱ⋃Bᇱ。于是根据条件（1）有：|A|+|B|=|A⋃B|≤|Aᇱ|+|Bᇱ|=|A|+|B|这说明，A⋃B=Aᇱ⋃Bᇱ，且Aᇱ⋂Bᇱ=Φ。对于有限集合X，定义S(X)=∑x୶∈ଡ଼，则有：S(A)+S(B)=S(A⋃B)=S(Aᇱ⋃Bᇱ)=S(Aᇱ)+S(Bᇱ)=S(A)−a|A|+S(B)−b|B|从而有a|A|=b|B|，命题得证。五、如图，PB、PD分别切⊙O于B、D，作⊙O的割线PCA，过C作⊙O的切线，交PD于Q，交AD于R，AQ交⊙O于E，求证：B、E、R三点共线。证明：如图，连结BD交PA于M，交AQ于N，则P、M、C、A为一组调和点列。连结CD交AQ于K，则Q、N、K、A为一组调和点列。延长CN交AR于F，则R、F、D、A为一组调和点列，于是知直线CF为点R关于⊙O的极线。注意到AE、BD的交点N在直线CF上，所以B、E、R三点共线。OERQPDCBA文武光华交流知识共享智慧NMKOFERQPDCBA
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