电子科大 现代光学习题集

第一章现代光学的数理基础1.傅里叶变换的定义2.傅里叶变换基本定理3.常见非初等函数及其傅里叶变换4.相关和卷积的定义及运算5.抽样定理6.空间频率的意义常用傅里叶变换对能够查找和应用第二章标量衍射理论1.亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理2.平面屏衍射的菲涅尔、索末菲衍射积分公式3.菲涅尔衍射与夫琅禾费衍射的计算4.薄透镜的傅里叶变换性质(频谱面上物的频谱计算)第三章光学成像系统的频谱分析1.相干、非相干照明实空间和谱空间成像公式2.相干传递函数和光学传递函数的定义及计算3.相干照明和非相干照明的比较第四章光学信息处理1.几种光学成像系统的结构及功能分析2.傅里叶频谱滤波运算第五章光学全息术1.记录与重建2.基元全息的成像理论分析3.傅里叶变换全息的分析第六章部分相干理论1.实函数的解析表示及频谱间的关系2.互相干函数、复相干度、互强度、复相干因子的定义3.干涉光场的强度分布及可见度与上述参数的关系3.范西特—泽尼克定理的应用习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 集第一章现代光学的数理基础课件上的15个例题第二章现代光学的数理基础课件上夫琅禾费衍射5个例题、菲涅尔衍射4个例题1.基尔霍夫衍射公式中，同时对光场和其法向导数施加了边界条件，从而导致了理论本身的不自洽性。索末菲选用了新的格林函数，使新的格林函数或其导数在衍射孔径面Σ上为零，这时就不必同时对光场和其法向导数施加边界条件。2.如果选择格林函数为3.若用一单位振幅的单色平面波垂直照明如下图所示的方形环带，试导出该方形环带的夫琅和费衍射的表达式。4.若衍射孔径的透射率函数分别为采用单位振幅的单色平面波垂直照明上述孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布。第六章部分相干理论课件上准单色圆形光源光场的相干性例题1.在如下图所示的杨氏干涉实验中，采用逢宽为a的准单色缝光源，辐射光强均匀分布为I0，中心波长=600nm。试求：xα1.写出Q1和Q2点的复相干系数；dQ12.若a=0.1mm，z=1m，d=3mm求出a光源观察屏上杨氏干涉条纹的可见度；观察3.若z和d仍取上述值，要求观察屏上Q2屏z的可见度为0.41，逢光源的宽度a应为多少？20解：（1）应用范西泰特-策尼克定理可求出Q1和Q2点的复相干系数。因双逢到光轴等距（ψ=0），光源是一维分布，于是2Irect()expjxd0azax(x)sinczIrect()d0a所以Q1和Q2点的复相干系数为ax(d)sincz（2）在观察屏上观察道的干涉条纹的可见度由Q1和Q2点的复相干系数的模决定，即axsin/2V(d)sinc0.64z/2（3）若要求sinad/zV(d)0.41ad/z2查表可知ad/z32z26104103即：a1.3(mm)3d33第三章光学成像系统的频谱分析第四章光学信息处理第五章光学全息术1.求光瞳函数具有如下形式的光学系统的相干传递函数和相应的截止频率。xyP(,)()()xyrectrect22解：相干传递函数xyzifXzifYH(,)()()fXYfrectrectrect()()rect22xzifX22yzifY截止频率f0zi2.求光瞳函数具有如下形式的光学系统的相干传递函数和相应的截止频率。x2y2P(,)()xycirc解：相干传递函数x2y2f2f2H(,)()ffcirccirc()XYXYzxzifXiyzifY截止频率f0zi3.设光学系统的光瞳函数为正方形：xyP(,)()()xyrectrect22求该系统的OTF和截止频率。解：总面积2S0224重叠面积额22(2zifX)(2zifY)fX;fYziziS(,)fXYf220f;fXYzidiOTFzifXzifY22(1)(1)fXY;fS(,)fXYf22ziziHIXY(,)ffS2200f;fXYziziff(XY)()2f02f0截止频率fc2f04.设光学系统的光瞳函数为圆形：x2y2P(,)()xycirc求该系统的OTF和截止频率。解：总面积2S0重叠面积额2fXXXff222[arccos()1()]fX2f02f02f0ziS(fX,0)20fXziOTF2rrr22[arccos()1()]rS()r2f02f02f0ziHI()rS200rzi截止频率fc2f0fX5.已知光学成像系统的相干传递函数为H(fX,0)rect()，2f0该系统对振幅透射率为f0t(,)cos2fff0A2的一维光栅进行成像，试求在相干和非相干照明两种情况下像的强度频谱，并比较两种情况下成像效果的优劣。解：相干和非相干情况下成像系统的物像关系为2相干：IihUg222非相干：IihIghUg相应的像的强度频谱相干：F{}IiHGgHGg2非相干：F{Ii}hIg[HH][GgGg]11GF{()}tF{cos2f}(ff)(ff)gA2X2X111GG(f)(f2f)(f2f)gg2X4X4XfffHHrect(XXX)rect()()2f02f02f0相干：111FIHGHGGG{}(f)(f2f)(f2f)igggg2X4X4X非相干：21FIhIHHGG{}[][]()fCf(2)fCf(2)figgg2XXX1C4两种照明情况下，像强度频谱的直流分量相同，但频率为2f的频率分量的幅度，相干照明比非相干照明要大些，因此相干照明成像的对比度要大，从这个意义上讲，相干成像比非相干成像质量要好。110.750.75G*GGgg0.5g0.50.250.2500-2-1012-2-101222HH*H1100-2-1012-2-1012110.75F{I}=GH*GH0.75F{I}=(G*G)(G*G)0.5igg0.5igggg0.250.2500-2-1012-2-1012f/ff/fX0X06.一个非相干成像系统的光瞳是一个边长为2a的等边三角形，如图所示，求这个系统在空间频率域中沿fx轴和fy轴的OTF。y解：O（1）沿fx方向：2ax总面积2S03a重叠面积：2fx22a3a(1)fX2aziziS(fX,0)2azf0fixXziOTF：fx22a(1)fXS(fx,0)2aziziHIX(f,0)S2a00fXzi（2）沿fy方向重叠面积：zifyf2y23a3a(1)fy3aziziS(0,fy)3a0fyziOTF：fy3a(1)2fS(0,f)yy3aziziHI(0,fy)S03a0fyzi7.一个非相干系统，其光瞳函数为图中所示的圆形孔径，画出它的光学传递函数沿fx轴和fy轴的截面图（要标明各个截止频率的值）。y已知半径为w的圆形光瞳的OTF为：22dOx2rrr2[arccos()1()]r2f02f2f2fHI()r00020r2f0f0zi解：（1）fx方向的OTF由右图可知，在fx方向光瞳的重叠面积为光瞳是单个圆形情况时的重叠面积的2倍，同时总面积也为光瞳是单个圆形时的2倍，因此OTF和光瞳为单个圆形时的OTF完全相同：2fxfxfx2[arccos()1()]fx2f02f2f2fHI(fx,0)0000fx2f0（2）fy方向的OTF①当0zify2或0fy2f0时，情况和fx方向的情况完全相同，因此ff2yyfy2HI(0,fy)[arccos()1()]2f02f02f02d②当2zify2d2或2f0fy2f0时，重叠zi面积为零，因此OTF为0；③当2d2zify2d22d2d或2f0fy2f0时，zizi重叠面积为：2dzf2dzf2dzf2iyiyiy2S(0,fy)2[arccos()1()]2f02f02f0OTF为：2dzf2dzf2dzfS(0,fy)1iyiyiy2HI(0,fy)2[arccos()1()]22f02f02f02d④当zify2d2或fy2f0时，重叠面积zi为0，因此OTF为0。光瞳的光学传递函数沿fx轴和fy轴的截面图：HI(fx,0)HI(fx,0)2f02f0fx112fy2f02f02dzi2dzi4f04f08.一个正弦型振幅光栅的振幅透过率为：1t(x)[1cos(2fx)]0200放在一个直径为l的圆形会聚透镜（焦距为f）之前，并且用平面单色光波倾斜照明。平面波的传播方向在x0Oz平面内，与z轴夹角为，如图所示。y0yixix0lOzd0di（1）求通过物透射的光的振幅分布的频谱。（2）假定d0=di=2f，问像平面上会出现强度变化的角最大值是多少？（3）假定用的倾斜角就是这个最大值，求像平面上的强度分布。它与=0时相应的强度分布比较，情况如何？解：（1）倾斜单色平面波入射，在物平面产生的入射光场为Aejkx0sin，则物平面的透射场为：sinsinA1j2x0(f0)1j2x0(f0)U(,)(){}xyAejkx0sintxejkx0sinee0000222其频谱为：Asin1sinG(,)F{}ffU{(f,)f[f(f),]f0xy02xy2x0y1sin[f(f),f]}2x0y由此可见，当光波以角倾斜入射，物频谱沿fx轴整体sin平移了的距离。（2）物的空间频谱仅包含3个频谱分量，其中每一频谱分量代表某一特定方向的平面波，如果只让一个频谱分量通过系统，像面是不会有强度变化的。欲使像面有强度变化，至少要两个频谱分量通过系统。选择最低的两个频谱分量使其在系统通频带内，角才能取尽量大的值。图示系统，透镜能通过的最高频率l为。因此，要求2d0sinl2d0lsinlf02d02d0即llf0sin2d02d0所以llmaxarcsin()arcsin()2d04f（3）当=max时，只有两个低频分量通过，像的频谱为：Asin1sinG(,){(fff,)f[(ff),]}f0xy2xy2x0y像面复振幅分布：Al1U(,)F{(,)}xy1Gffexp(2jx)[1ej2f0xi]iii0xy24fi2强度分布：22A5I(x,y)U[cos(2fx)]iiii440i当=0时，因d0=di=2f，所以像面光场分布和物光场分布相同，故像面光强分布为：AA2231I(,)xy[1cos(2fx)[2cos(2fx)cos(4fx)]i20i420i20i对比可发现，当=max时的条纹对比度较差，且没有倍频成分。9.一张全息图用氩离子激光器发出的波长为488nm的激光记录，而用氦氖激光器的波长为632.8nm的光重建。（1）zp=，zr=，z0=10cm，两个孪生像沿轴向的像距是多少？两个像的横向放大率和轴向放大率是多少？（2）zp=，zr=2z0，z0=10cm，两个孪生像沿轴向的像距是多少？两个像的横向放大率和轴向放大率是多少？解：（1）根据全息图物像关系公式11111xiyiziz01z0zi[()]M1zzzp0Rx0y0z0zRzpzM2iz0代入相应的数据可得zi7.7cm,M1,0.77（2）将数据代入全息图物像关系公式可得zi15.4cm,M2,3.0810.一张全息图，记录和重建像的波长同为。假设z0>0，证明当zp=zr时，得到一个横向放大率为1的虚像；而当zp=-zr时，得到一个横向放大率为1的实像。在每种情况下，其孪生像的横向放大率为多少？证明：依题意=1，根据公式11111xyzz1zzi[()]Miii100zpz0zRx0y0z0zRzp当zp=zr时：zz0rzrziz0或ziMM1或2zz0r2z0zr对第一个像，zi=z0>0，像和物在全息片的同一侧，M=1，即像为横向放大率为1的虚像，其孪生像为第二个像，横向放大率就是zMr2z0zr当zp=-zr时：zz0rzrzi或ziz0MM或1z2zr0zr2z0对第二个像，zi=-z0<0，像在全息图的右侧，为实像，横向放大率为1。它的孪生像为第一个像，横向放大率为zMrzr2z011.用下式证明在不存在波长失配的情况下，当物光波和参考光波成900角时，体光栅的角度选择性达到极大值。K[cos(B)]2n0证明：不存在波长失配时，失配参数Kcos(B)光栅矢量的模K为：44KK2ksinr0sinr0sin222为记录形成体光栅时参考光和物光波矢间的夹角。布拉格条件：4sin2sinsinKsin2即2是入射波矢与光栅平面的夹角，由图可知B失配参数：2Kcos()sinB因此，当记录时物光和参考光的夹角=900时，体光栅的角度选择性达到极大值。12.一个振幅透过率为1t(,)xy[1cos(2fx)]A20的光栅，放在标准的4f相干光处理系统的输入平面上。定出一个能够完全消除输出强度中空间频率为f0的空间频率分量的纯相位型的空间滤波器的传递函数（作为fx的函数）。假设用单色平面波照明，并忽略透镜有限孔径的影响。解：假设纯相位型的空间滤波器的传递函数为j()fxH()fxe滤波后4f系统像面上的光场分布为：11111j()fxUFFtHFi{}A[(,)ffxy(fffx0,)y(fffex0,)]y22211j(0)1j()()f01jf0F(,)(,)(,)ffexyfffex0yfffex0y244111ej(0)ej(f0)ej2f0xej(f0)ej2f0x244光强为：2311IUcos[(f)(0)2fx]cos[(f)(0)2fx]ii84004001cos[(f)(f)4fx]8000其中只有第二和第三项的空间频率为f0，要消除这两项，需满足：(f0)(0)2f0x[(f0)(0)2f0x]即(f0)(f0)2(0)我们可以使()()f-f002(0)0也就是 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的纯位相型滤波器，只要在fx=0、f0、-f0三个点处满足上述关系，就可实现在像面上消除空间频率为f0的部分。13.用VanderLugt方法合成一个频率平面滤波器，如下图(a)所示，一个振幅透过率为s(x,y)的“信号”透明片紧贴着放在一个会聚透镜的前面，用照相底片记录后焦面上的强度，并使显影后底片的振幅透过率正比于曝光量。把这样制得的透明片放在下图(b)所示的系统中，假定在下述每种情况下考查输出平面的适当部位，问输入平面和第一个透镜之间的距离d应为多少，才能综合处：（1）脉冲响应为s(x,y)的滤波器？（2）脉冲响应为s*(x,y)的“匹配”滤波器？Ss(,)xyf()a输入平面L1透明片L2输出平面dfff()b解：在记录时，胶片上的合光场为U(,)(,)(,)x2y2Urx2y2Uox2y2k221j()x2y2rej2y2e2fF{s(x,y)}0fkj()x2y2j2y122sinre2e2fS(,)xy0f22在线性记录条件下，经显影、定影后的胶片的振幅透过率为：2tA(,)(,)x2y2Ux2y2k22k2212rj()()x2y2rjx2y2{}r2S0e2fej2y2S0e2fej2y2S*02f2ff在图(b)所示4f系统中，以点光源δ(x1,y1)作为输入，在透镜L1后焦面形成的光场分布为：kd221j(1)(x2y2)U(,)xye2ffl22f则透过滤波器的光场分布为：kd22k22j(1)(x2y2)12rj(x2y2)UxyUt(,){e2ffr2S0e2feSj2y2f22lAf02f2fk22rj()x2y20e2fej2y2S*}f（1）要合成出脉冲响应为s(x,y)的滤波器，只需使上式中的第三项分离出来且前面的二次位相因子为0即可，即kdk(1)(x2y2)(x2y2)02ff222f22因此d2f这种情况下4f系统的输出：Ui(,)(,)x3y3Csx3fy3（2）同（1），只需第四项分离出来且前面的二次位相因子为0即可，即kdk(1)(x2y2)(x2y2)02ff222f22因此d0这种情况下4f系统的输出Ui(,)(,)x3y3Csx3fy314.振幅透过率为h(x,y)和g(x,y)的两张输入透明片放在一个会聚透镜之前，其中心位于坐标(x=0,y=Y/2)和(x=0,y=-Y/2)上，如图所示，把透镜后焦面上的强度分布记录下来，由此制得一张=2的正透明片。把显影、定影后的正透明片放在同一透镜前，再次进行变换。试证明透镜的后焦面上的光场振幅含有h和g的互相关，并说明在什么条件下，互相关项可以从其他输出分量中分离出来。解：输入函数可写成YYU(,)(,)(,)xyhxygxy111112112透镜L2后焦面的光场分布：YY1xyjy21xyjy2U(,)(,)(,)xyH22efG22ef222ffffff记录介质上的光强分布为:221xyxyI(,)[(,)(,)xyUU*H22G2222222f2ffff2Yxyxyjy2H(2,2)G*(2,2)efffff2Yxyxyjy2H*(2,2)G(2,2)ef]ffff依题意，经显影定影后的胶片的振幅透过率正比于它接收的光强：tA(,)x2y2I将该透明片放置于透镜之前，经傅里叶变化后，透镜后焦面的光场分布为：**Uxy333(,){}{(,)(,)(,)(,)FtAhxy33hxy3333gxygxy33*h(x3,y3)g(x3,y3)(x3,y3Y)*h(x3,y3)g(x3,y3)(x3,y3Y)}设Wh表示h在y3方向的宽度，Wg表示g在y3方向的宽度，上式各项在x3Oy3平面的位置如图所示：上式后两项以卷积的形式表示h和g的互相关，要使该两项能够分离出来，由图示几何关系可知，必须使：WWYWWmax{,}hghg2215.在照相时，若相片的模糊只是由于物体在曝光过程中的匀速直线运动造成的，运动的结果使像点在底片上的位移为0.5mm。试写出造成模糊的点扩展函数h(x,y)；如果要对该照片进行消模糊处理，试写出逆滤波器的透过率函数。解：由于物体做匀速运动，一个点便模糊成了一条线。依题意，用点光源照明时，在物体运动的方向上（设为x），像变成了一个长度为0.5mm的线，因此点扩散函数可写成（归一化条件下）：1x1xh(,)()()()()xyrectyrecty220.50.5而相应的传递函数为：H(fx,fy)F{(,hxy)}sinc(0.5fx)要对该相片进行消模糊，则可取逆滤波器的滤波函数为：11Hiv(,)fxfyH(fx,fy)sinc(0.5fx)16.设某滤波器的滤波函数为H(fx)=afx，将其放在4f系统的频谱面上。试证明：这时在像平面上将得到物平面上物函数的微分。证明：设物函数为g(x)，其在4f系统滤波平面上的频谱分布为：G(fx)F{g(x)}通过滤波器后的场分布为：U()()()()fxHfxGfxafxGfx系统像面上的场分布为：g(x)F{U(f)}afG(f)ej2fxxdfixxxxad[()]Gfej2fxxdfxx2jdxadg(x)j2dx即在像平面上显现的是物函数分布的微分。17.如图所示为一光学成像系统，S为点光源，输入函数为g(x1,y1)，放置在系统的P1平面，振幅透过率为H（x2,y2）的滤波器放置在P2平面上。试写出透镜L1前的光场分布Ul1(x1,y1)，P1平面后的光场分布Up1(x1,y1)，透镜L2前的光场分布Ul2(x2,y2)，P2平面后的光场分布Up2(x2,y2),及输出面P3平面上的光场分布Up3(x3,y3)。L1P1L2P2P3S2f2f2f解：点光源发出的发散球面波到达L1前，其分布为：kU(x,y)exp[j(x2y2)]L1114f11kexp[j(x2y2)]焦距为f的透镜的位相变换作用为2f11，因此P1平面后的光场分布为：kUxyUxy(,)(,)exp[j(xygxy22)](,)PL1111112f1111kexp[j(x2y2)]g(x,y)4f1111根据菲涅尔衍射公式，光从P1平面传播到透镜L2前的振幅分布为：ejk2fkUxy(,)Uxy(,)exp{j[(xx)2(yy)2]}dxydLP222111212111j2f4fkxyCjxygxyexp[(22)](,)exp[j2(2x2yxy)]dd221111114f2f2f经过透镜L2的位相变换，光穿过滤波器H后，在P2平面后的振幅分布为：kUxyUxy(,)(,)exp[j(xyHxy22)](,)PL2222222f2222kxyCexp[jxyHxygxy(22)](,)(,)exp[j2(2x2yxy)]dd22221111114f2f2fkCexp[j(x2y2)]H(x,y)G(x,y)4f222222xyGxy(,)F{gxy(,)}gxy(,)exp[j2(2x2yxy)]dd22111111112f2f再次根据菲涅尔衍射公式，光从P2平面传播到P3平面的振幅分布为：ejk2fkUxy(,)Uxy(,)exp{jxx[()2(yy)2]}dxydPP322222323222j2f4fkkxyexp[j(x2y2)]exp[j(x2y2)]exp[j2(3x3y)]4f334f222f22f2C2kexp[j(x2y2)]H(x,y)G(x,y)dxdy4f22222222kxyC2exp[jxyHG(22)]exp[j2(3x3yxy)]dd3322224f2f2fkC2exp[j(x2y2)]F{HG}4f33kC2exp[j(x2y2)]h(x,y)g(x,y)4f33333318.如图所示，焦距为f的透镜对其左边距离为p的点源S成像，像距为q。当一振幅透过率为g(x0,y0)的透明片竖直放于于透镜前f处时，求此时像平面上的光场jf2f2分布？（已知F{exp[j(a2x2b2y2)]}exp[j(xy）)]aba2b2yyiy0xix0xSfpq解：点光源S发出的球面波在透明片前的光场分布为：kU(x,y)exp[j(x2y2)]S002(pf)00透过透明片的光场为：kUxyUxygxy(,)(,)(,)exp[j(xygxy22)](,)000S00002(pf)0000根据菲涅尔衍射公式，透过透明片的光场传播到透镜前，其振幅分布变为：ejkfkUxy(,)Uxy(,)exp{j[(xx)2(yy)2]}dxydf0000000jf2fkj()x2y2k112Ce2fgxy(,)exp{j()(xy22)}exp[jxxyyxy()]dd000000002pfffkexp[j(x2y2)]焦距为f的透镜的位相变换作用为2f，因此透镜后的光场分布为：kj()x2y22fUb(,)(,)xyUfxyek112Cgxy(,)exp{j()(xy22)}exp[jxxyyxy()]dd000000002pfff再次根据菲涅尔衍射公式，透镜后的光场传播距离q到达像面上的振幅分布为：ejkqkUxy(,)Uxy(,)exp{j[(xx)2(yy)2]}dxydiiibiijq2qk22j()xiyik11C'e2qg(x,y)exp{j()(x2y2)}dxdy0000002pffkj()x2y2xxyye2qexp{j2[(0i)x(0i)y]}dxdyfqffqfkj()x2y2xxyye2qexp{j2[(0i)x(0i)y]}dxdyfqffqfxxyyjqexp{jq[(0i)2(0i)2]}fqfqkqkj()x2y2j()x2y2200iixyjqe2fe2qexp[j2(ixiy)]f0f0k11qU(x,y)Cg(x,y)exp{j()(x2y2)}iii0002002pfffxyexp[j2(ixiy)]dxdyf0f000由透镜成像公式：111pqf可得11q11q1()pfff2pffpff1qpfqfpqpfpfpf()pf1q1p1f0pfq因此xyUxyCgxy(,)(,)exp[j2(ixiyxy)]ddiii0000000ffC0F{g(x0,y0)}