第2章节一元线性回归模型

经济计量学汪家义经济与管理类统计学系列教材ECONOMETRICS汪家义经济计量学第二章一元线性回归模型ECONOMETRICS汪家义第二节一元线性回归模型一、引例假定我们要研究一个局部区域的居民消费问题，该区域共有80户家庭组成，将这80户家庭视为一个统计总体。ECONOMETRICS汪家义我们研究每月家庭消费支出Y与每月可支配收入X的关系。就是说，已知家庭每月可支配收入，要预测家庭每月消费支出的总体平均水平。假定：家庭消费支出记为Y，可支配收入为X为此，将80户家庭分为10组。 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 2.1给出了人为数据。ECONOMETRICS汪家义XY每月家庭可支配收入（元）1000150020002500300035004000450050005500每月家庭消费支出（元）7007407808208609009401050107011201170122012701320137014201380144015001560162016801740180018601780184019001960202020802140220022602180224023002360242024802540260026602620268027402820290029803160290029803060314032203300338034603540332034203520362037203820392037103810391040204130423043304090420043104420453046404750合计5740109801458018180217801974022540253402814030940表2.1居民收入、消费数据ECONOMETRICS汪家义表2.1给出了以X的给定值为条件的Y的条件分布。由此可以计算给定X=Xi时Y的条件期望，记为E(Y︱X=Xi)。例如，X=1000时，Y的条件期望值为：ECONOMETRICS汪家义类似地可得：由此可以看出：随着收入的增加，消费支出平均地说也在增加。ECONOMETRICS汪家义令，将点连成一条线，我们称这条线叫做总体回归线，它是Y对X的回归线。XY100020003000400050001000150020002500300035004000450050005500ECONOMETRICS汪家义此例中的总体回归线是一条直线：一般地：ECONOMETRICS汪家义二、总体回归函数（PRF）由引例可知，条件均值是Xi的函数，即:（2.1）式（2.1）就是总体回归函数，简称总体回归。它表明在给定Xi下Y的分布的总体均值与Xi有函数关系，就是说它给出了Y的均值是怎样随X值的变化而变化的。ECONOMETRICS汪家义函数f(Xi)采取什么函数形式，是一个需要解决的重要问题。在实际经济系统中，我们不会得到总体的全部数据，因而就无法据已知数据确定总体回归函数的函数形式。所以，对总体回归函数的形式只能据经济理论与经验去推断。ECONOMETRICS汪家义在经济计量学中经常把总体回归函数设定为线性函数，这是因为：1.线性函数是最简单的函数，数学处理比较简单方便；2.线性函数中的参数估计与检验相对容易；ECONOMETRICS汪家义3.经济计量学中线性函数具有普遍性。虽然有时候经济变量之间不是表现为线性关系，但是，可以通过简单的数学处理（函数变换）化为线性关系。例如Cobb-Dauglas生产函数：Q-产出量；K-资本投入量；L-劳动投入量。线性化：ECONOMETRICS汪家义（2.2）在引例中，消费支出与收入有线性关系。则总体回归函数为：其中，和为未知而固定的参数，称为回归系数；为截距系数，为斜率系数。式（2.2）为线性总体回归函数。ECONOMETRICS汪家义三、线性的含义1．对变量为线性对线性的第一种解释是指Y的条件期望是Xi的线性函数。在经济计量学中对线性有两种不同的解释：ECONOMETRICS汪家义2．对参数为线性对线性的第二种解释是指Y的条件期望是参数的一个线性函数。它可以是也可以不是变量的X的线性函数。ECONOMETRICS汪家义对变量是“线性的”，对参数是“非线性的”。例如，对变量、对参数都是“线性的”。对参数是“线性的”，对变量是“非线性的”。ECONOMETRICS汪家义在本课中，主要考虑的是对参数为线性的回归模型，线性回归是指对参数β为线性的一种回归（即参数只以它的1次方出现）；对解释变量X则可以不是线性的。（这主要是考虑到参数估计问题）。ECONOMETRICS汪家义四、总体回归模型设定方式是描述Xi与Y的平均水平的关系。但就个别家庭而言，其消费支出不一定在总体回归线上，而是围绕回归线上下波动，即个别值Yi总是围绕条件均值波动。总体回归函数ECONOMETRICS汪家义我们把个别的Yi围绕它的条件均值的离差表示如下：或（2.3）其中离差ui是一个不可观测的可正可负的随机变量，在专业术语中，把ui称为随机干扰项或随机误差项。ECONOMETRICS汪家义所以，总体回归模型（个别形式）可设定为：当总体回归模型为线性模型时：在模型中，是系统性或确定性成份，ui为随机或非系统性成份，代表所有可能影响Y，但又未能包括到回归模型中来的被忽略变量的代理变量。（2.4）ECONOMETRICS汪家义五、随机误差项u的意义1．理论的欠缺。（未知影响因素）虽然有决定Y的行为的理论，但常常是不能完全确定的，理论常常有一定的含糊性。我们可以肯定每月收入X影响每月消费支出Y。但不能确定是否有其它变量影响Y，只好用ui作为模型所忽略的全部变量的替代变量。ECONOMETRICS汪家义2．数据的欠缺。即使能确定某些变量对Y有显著影响，但由于不能得到这些变量的数据信息而不能引入该变量。例如，从经济理论分析，家庭财富量是影响家庭消费的重要因素，应该引入该变量作为解释变量。但是，通常我们得不到有关家庭财富的信息。因此，我们只得把这个很重要的解释变量舍弃掉。ECONOMETRICS汪家义3．核心变量与非核心变量。（细小影响因素）例如，在引例的居民消费模型中，除了收入X1外，家庭的人口数X2、户主宗教信仰X3、户主受教育水平X4也影响家庭消费支出。但很可能X2、X3、X4合起来的影响也是很微弱的，是一种非系统的或随机的影响。从效果与成本角度来看，引入它们是不合算的。所以，人们把它们的联合效用当作一个随机变量来看待。ECONOMETRICS汪家义4．人类行为的内在随机性。即使我们成功地把所有有关的变量都引进到模型中来，在个别的Y中仍不免有一些“内在”的随机性，无论我们花了多少力气都解释不了的。例如，某些涉及人的思想行为的变量，很难完全控制，具有内在的随机性，这种内在随机性可能影响人的经济行为。这种影响只能归入随机误差项ui。ECONOMETRICS汪家义5．节省原则，我们想保持一个尽可能简单的回归模型。（模型设定误差）如果我们能用两个或三个变量就基本上解释了Y的行为，就没有必要引进更多的变量。让ui代表所有其它变量是一种很好的选择。从数学处理的角度来说，在不影响模型预测能力的前提下，变量越少，模型越简单越容易处理。此时，在相同容量的样本下，参数的估计会更准确。ECONOMETRICS汪家义总之：引入随机扰动项u的主要原因：是未知影响因素的代表（理论的模糊性）是无法取得数据的已知影响因素的代表（数据欠缺）是众多细小影响因素的综合代表（非系统性影响）模型可能存在设定误差（变量、函数形式的设定）模型中变量可能存在观测误差（变量数据不符合实际)变量可能有内在随机性（人类经济行为的内在随机性)ECONOMETRICS汪家义六、样本回归函数（SRF）在实际回归分析中，我们无法获得像引例中的总体数据，而只能做到对应于解释变量X的某些固定值（水平）对被解释变量Y的某些样本进行观测。然后通过样本信息估计总体回归函数。例如在引例中，我们在10种收入水平的每一个水平中随机抽取两个家庭的消费水平可得到两个随机样本如下：ECONOMETRICS汪家义XY1000150020002500300035004000450050005500900132016202140248027403300352040204310表2.2总体的一个随机样本XY1000150020002500300035004000450050005500700132016201840242028203380342038104640表2.3总体的另一个随机样本ECONOMETRICS汪家义XY100020003000400050001000150020002500300035004000450050005500×●●×●×●×●×●×●×●××●×●S2S1×第一个样本（表4.2）●第二个样本（表4.3）图2.3两个不同样本的回归线ECONOMETRICS汪家义S1是根据第1个样本画的；S2是根据第2个样本画的。图2.3中的回归线称为样本回归线，因抽样波动，它们都是总体回归线的一个近似。一般地讲，由几个不同的样本会得到几个不同的样本回归线，通常这些样本回归线会彼此不同。ECONOMETRICS汪家义（2.5）据任一样本，我们可得样本回归直线，其函数形式为：其中，是相应于Xi的Y的样本条件均值，可以看成是总体条件期望的估计量。是的的估计量，是的估计量。ECONOMETRICS汪家义（2.6）样本回归模型的随机形式为：其中，ei为残差项，概念上，ei类似于ui，并可把它当作ui的估计量。将ei引入样本回归函数中，其理由与总体回归函数中引入ui是一样的。一般地，残差项ei是由随机误差项和参数的估计误差构成的。ECONOMETRICS汪家义来估计总体回归模型：（2.7）（2.8）回归分析中的主要目的就是根据样本回归模型:ECONOMETRICS汪家义ECONOMETRICS汪家义