(含详答)2018年上海春考数学试卷

1/72018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．不等式||1x的解集为__________．2．计算：31lim2nnn__________．3．设集合{|02}Axx，{|11}Bxx，则AB__________．4．若复数1zi（i是虚数单位），则2zz__________．5．已知{}na是等差数列，若2810aa，则357aaa__________．6．已知平面上动点P到两个定点(1,0)和(1,0)的距离之和等于4，则动点P的轨迹为__________．7．如图，在长方形1111BABCACDD中，3AB，4BC，15AA，O是11AC的中点，则三棱锥11AAOB的体积为__________．第12题图8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩．若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 种数为__________．9．设aR，若922xx与92axx的二项展开式中的常数项相等，则a__________．10．设mR，若z是关于x的方程2210xmxm的一个虚根，则||z的取值范围是__________．11．设0a，函数()2(1)sin()fxxxax，(0,1)x，若函数21yx与()yfx2/7的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是__________．12．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中．已知点P以1．5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．下列函数中，为偶函数的是（）（A）2yx（B）13yx（C）12yx（D）3yx14．如图，在直三棱柱111ABABCC的棱所在的直线中，与直线1BC异面的直线条数为（）（A）1（B）2（C）3（D）415．记nS为数列{}na的前n项和．“{}na是递增数列”是“nS为递增数列”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件16．已知A、B为平面上的两个定点，且||2AB．该平面上的动线段PQ的端点P、Q，满足||5AP，6ABAP，2AQAP，则动线段PQ所形成图形的面积为（）（A）36（B）60（C）81（D）108三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知cosyx．3/7（1）若3(1)f，且[0,]，求()3f的值；（2）求函数(2)2()yfxfx的最小值．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知aR，双曲线222:1xya．（1）若点(2,1)在上，求的焦点坐标；（2）若1a，直线1ykx与相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数k的值．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OCAB于C，3AB米，4.5OC米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1图2图320．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0a，函数1()12xfxa．4/7（1）若1a，求()fx的反函数1()fx；（2）求函数()()yfxfx的最大值（用a 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示）；（3）设()()(1)gxfxfx．若对任意(,0]x，)(()0gxg恒成立，求a的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）若{}nc是递增数列，数列{}na满足：对任意*nN，存在*mN，使得10mnmnacac，则称{}na是{}nc的“分隔数列”．（1）设2ncn，1nan，证明：数列{}na是{}nc的“分隔数列”；（2）设4ncn，nS是{}nc的前n项和，31nndc，判断数列{}nS是否是数列{}nd的分隔数列，并说明理由；（3）设1nncaq，nT是{}nc的前n项和，若数列{}nT是{}nc的分隔数列，求实数a、q的取值范围．5/7参考答案一、填空题1．(,1)(1,)2．33．(0,1)4．25．156．22143xy7．58．1809．410．3(,)311．1119(,]66提示：1212(1)sin()12(1)sin()sin()2xxxaxxxaxax711711711,,2,2,4,4,666666ax0axa117266a12．4.4提示：以A为原点建立坐标系，设时刻为t，则40(0,1.5),(20,20),03PtQtt则01.5:200201.5PQxytltt，化简得(8)8120txyt点(10,10)O到直线PQ的距离23|(8)108012|1(8)8ttt，化简得23161280tt即8788733t，则88788704.433tt二、选择题13．A14．C15．D16．B提示：建系(0,0),(2,0)AB，则(,)Pxy的轨迹为线段3,44xy，AP扫过的三角形面积为12，则利用相似三角形可知AQ扫过的面积为48，因此和为60三、解答题17．（1）1226；（2）326/718．（1）(3,0)；（2）512．19．（1）14；（2）9.59．20．（1）121()log(01)xfxxx；（2）2112maxyaa（0x时取最值）；（3）(0,2]提示：1211()21212232xxxxagxaaaa2,(2(0,1])23xatatat因为-a<0，所以当x=0,t=1时，分母取到最小值从而分式值取到最小值，此时2222102attata21．（1）证明：存在2mn,此时*1,22122nmnncnancnN证毕（2）不是．反例：4n时，m无解；（3）02aq．提示：因为1{}naq为递增数列，因此01aq或者001aq①当001aq时，*,0nncN，因此321123TTTccc因此不存在23mcTc，不合题意。②当01aq时，1111mnnnmnqcTcqqq11111(1)1(1)1[(1)][(1)]nmnnmnnnqqqqqqqqqqqq两边同时取对数得：1111log[(1)]log[(1)]qqnnnqmnqqq7/7记1()log[(1)],0qxfxqxq则1(1)()nfnmnfn下面分析函数(1),()fnfn的取值范围：显然1q时，1()log[(1)],0qxfxqxq为减函数，因此()()(0)ffxf，即log(1)()1qqfx(Ⅰ)当2q时，log(1)0qq，因此总有0()(1)1fnfn此时1(1)11()+0nfnnnfnn因此总存在mn符合条件，使得1(1)()nfnnmnfn成立(Ⅱ)当12q时，log(1)0qq，根据零点存在定理，并结合()fx的单减性可知：存在唯一正整数k使得()0(1)fkfk此时1(1)1()kfkkkfkk即11(1)()kkfkmkfkk显然不存在满足条件的正整数m综上：0,2aq