河北科技大学电气工程学院 张刚1．开环截止频率和闭环截止频率的定义1.1开环截止频率的定义开环截止频率也称为剪切频率，是开环幅频特性中，幅频特性曲线穿越0dB线的频率，记为ωc。在开环截止频率ωc处，有幅频特性：A(ωc)=1。如图1所示：图1系统开环截止频率的定义1.2闭环截止频率的定义闭环截止频率也称为带宽频率，是指当闭环幅频特性下降到频率为零时的分贝值以下3dB时，对应的频率，记作ωb。即：20lg∣∣∣(φ(j0))∣∣∣−3=20lg∣∣∣(φ(j0))∣∣∣20lg0.707=20log0.707∣∣∣(φ(j0))∣∣∣在闭环截止频率ωb处，有幅频特性：A(ωb)=0.707∣∣∣Φ(j0)∣∣∣，也就是幅值下降到频率为零时的70.7%所对应的频率，。如图2所示：图2系统闭环截止频率的定义对于高于带宽频率的信号，系统输出将呈现较大的衰减，因此，选取适当的带宽，可以抑制高频噪声的影响。但带宽过窄又会影响系统正弦输入信号的能力，降低瞬态响应速度，因此，设计系统时，对于频率宽度的确定必须兼顾到系统的响应速度和抗高频干扰的要求。2．开环截止频率与闭环截止频率的关系2.1开环截止频率与闭环截止频率具有同向性开环截止频率与闭环截止频率是两个完成不同的物理量，分别用于描述开环系统和闭环系统的幅频特性，但它们之间又存在一定的相关性，即：开闭截止频率与其单位负反馈的闭环截止频率是同向增大的。且具有如下关系：ωb>ωc由于闭环截止频率可用来表征闭环系统瞬态响应速度，闭环截止频率ωb越高，其瞬态响应速度越快。既然ωc与ωb具有同向性，则可通过系统的Bode图就可知道系统的瞬态响应速度，即剪切频率ωc越高，瞬态响应速度越快。2.2开环截止频率与闭环截止频率同向性的
证明
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设某系统G(jω)的开环传递函数为：G(jω)=α(ω)jβ(ω)K在开环截止频率ωc处，有：A(ωc)=α2(ωc)β2(ωc)K=1即：α2(ωc)β2(ωc)=K2该开环系统的单位负反馈闭环传递函数为：Φ(jω)=1G(jω)G(jω)=α(ω)Kjβ(ω)K当系统为非零型系统时：Φ(j0)=1G(j0)G(j0)=KK=1则：A(ωb)=α2(ωb)β2(ωb)2α(ωb)KK2K=21即：α2(ωb)β2(ωb)2α(ωb)KK2=2K2化简，得：α2(ωb)β2(ωb)2α(ωb)K=K2要使上式成立，必有：α2(ωb)β2(ωb)
ωc3．开环截止频率与闭环截止频率计算举例以典型I型系统为例，计算系统的开环截止频率频率和闭环截止频率，设I型系统为：W(s)=s(Ts1)K=s2T1sTK=s22ξωnsωn2这里：ωn=TK：称为自然振荡角频率ξ=21KT1：称为阻尼比3.1系统的开环截止频率系统的开环截止频率为：ωc44ξ2ωn2ωc2ωn2=1化简，得：ωc44ξ2ωn2ωc2=ωn4解之，得：ωc2=2−4ξ2ωn216ξ4ωn44ωn4=ωn2(4ξ41−2ξ2)则：ωc=ωn(4ξ41−2ξ2)213.2系统的闭环截止频率Φ(s)=s22ξωnsωn2ωn2(ωn2−ωb2)24ξ2ωn2ωb2ωn2=21化简，得：(ωn2−ωb2)24ξ2ωn2ωb2=2ωn4解之，得：ωb2=2(2−4ξ2)ωn2[(2−4ξ2)ω2]24ωn4ωb2=ωn22(2−4ξ2)8−16ξ216ξ4即：ωb=ωn[(1−2ξ2)2−4ξ24ξ4]21
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