1978年普通高等学校招生全国统一考试
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（理科考生五，六两
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分）1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r，则底面周长2πr=则3．求函数的定义域解：∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=5.化简：二.（本题满分14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=;②k=1时,为半径r=2的圆;③k<1时,长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2YYYk=2Ak=1(0,2)k=1/4OAXOBXOX如图：2)k=0时，方程为y2=4图形是两条平行于x轴的直线如图3）k<0时，方程为YYy=2k=-4AOOXBXy=-2这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上如图：三．（本题满分14分）（如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点，求证：1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BNMCNABD1)证：连CA，CB，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC∠ACD=∠ABC∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN2）∵CD⊥AB，∠ACD=900∴CD2=AD·DB由1）知AM=AD，BN=BD∴CD2=AM·BN四．（本题满分12分）五．（本题满分20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小又已知顶点C的对边c上的高等于求三角形各边,b,c的长（提示：必要时可验证）六．（本题满分20分）七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数）1）m是什么数值时，y的极值是0？2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：3.设L：x-y=为任一条平行于L1的直线与抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1方程联立求解，消去y，得x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1-因而当1-≥0即≤1时，直线L与抛物线相交，而＞1时，直线L与抛物线不相交而这与m无关因此直线L被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积解：解：原式=302．已知两数x1,x2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项;2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为的方程略解：x1+x2=39，x1x2=-40故：1/x1+1/x2=-39/401/x1·1/x2=-1/40所求方程为：40x2+39x-1=0.3.已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：A1BECD证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD作AE⊥BD于点E，则AMNαBEFD4．（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α求证：证：作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中，类似地，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可证：5．设有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0）求证：1）如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x2+x+b)2表示同一个多项式，那么p2-4q-4(m+1)=06．已知：sinx+bcosx=0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中,b不同时为0求证：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0则①可写成cosysinx-sinycosx=0,∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k为整数)，∴x=y+kπ又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy=cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=代入②，得7．已知L为过点P而倾斜角为300的直线，圆C为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点在的抛物线设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式3）设P＇、B＇依次为从P、B到x轴的垂足求由圆弧AB和直线段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面积YOXBQLPAC解：1）直线L、圆C和抛物线Q的方程为2)由YP＇B＇OXBACQLP
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