导数小题中构造函数的技巧(打印版)

1导数小 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。（一）利用)(xf进行抽象函数构造1、利用)(xf与x构造；常用构造形式有xxfxxf)(),(；这类形式是对vuvu,型函数导数计算的推广及应用，我们对vuvu,的导函数观察可得知，vu型导函数中体现的是“”法，vu型导函数中体现的是“”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造vu型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造vu，我们根据得出的“优先”原则，看一看例1，例2.【例1】)(xf是定义在R上的偶函数，当0x时，0)()('xxfxf，且0)4(f，则不等式0)(xxf的解集为____________❀❀❀思路点拨：出现“”形式，优先构造)()(xxfxF，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.【解析】构造)()(xxfxF，则)()()(''xxfxfxF，当0x时，0)()('xxfxf，可以推出0x，0)('xF，)(xF在)0,(上单调递减.∵)(xf为偶函数，x为奇函数，所以)(xF为奇函数，∴)(xF在),0(上也单调递减.根据0)4(f可得0)4(F，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知0)(xxf的解集为)4,0()4,(.【例2】设)(xf是定义在R上的偶函数，且0)1(f，当0x时，有0)()('xfxxf恒成立，则不等式0)(xf的解集为________________2❀❀❀思路点拨：出现“”形式，优先构造然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.xxfxF)()(【解析】构造xxfxF)()(，则2'')()()(xxfxxfxF，当0x时，0)()('xfxxf，可以推出0x，0)('xF，)(xF在)0,(上单调递增.∵)(xf为偶函数，x为奇函数，所以)(xF为奇函数，∴)(xF在),0(上也单调递减.根据0)1(f可得0)1(F，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知0)(xf的解集为),1()1,(.xxfxxf)(),(是比较简单常见的)(xf与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.)()(xfxxFn，)]()([)()()('11'xfxnfxxfxxfnxxFnnn；nxxfxF)()(，1'21'')()()()()(nnnnxxnfxxfxxfnxxxfxF；结论：出现)()('xxfxnf形式，构造函数)()(xfxxFn；出现)()('xnfxxf形式，构造函数nxxfxF)()(.我们根据得出的结论去解决例3题【例3】已知偶函数)0)((xxf的导函数为)('xf，且满足0)1(f，当0x时，)()(2'xxfxf，则使得0)(xf成立的x的取值范围是___________❀❀❀思路点拨：满足“)()('xnfxxf”形式，优先构造然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.nxxfxF)()(3【解析】构造2)()(xxfxF，则3'')(2)()(xxfxxfxF，当0x时，0)(2)('xfxxf，可以推出0x，0)('xF，)(xF在),0(上单调递减.∵)(xf为偶函数，2x为偶函数，所以)(xF为偶函数，∴)(xF在)0,(上单调递增.根据0)1(f可得0)1(F，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知0)(xf的解集为)1,0()0,1(.【变式提升】设函数)(xf满足xxfxxfxln1)(3)(2'3，且eef21)(，则0x时，)(xf（）A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值❀❀❀思路点拨：满足“)()('xnfxxf”形式，为3n时情况，优先构造nxxfxF)()(，然后利用积分、函数的性质求解即可.【例4】设)(xf是定义在R上的奇函数，在)0,(上有0)2()2(2'xfxxf，且0)2(f，则不等式0)2(xxf的解集为___________.❀❀❀思路点拨：满足“)()('xnfxxf”形式，优先构造)2()(xxfxF，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意0)2(f和)(xF的转化.【解析】构造)2()(xxfxF，则)2()(2)(''xfxxfxF，当0x时，0)2()(2)(''xfxxfxF，可以推出0x，0)('xF，)(xF在)0,(上单调递减.∵)(xf为奇函数，x为奇函数，所以)(xF为偶函数，∴)(xF在),0(上单调递增.根据0)2(f可得0)1(F，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知0)2(xxf的解集为)1,0()0,1(.4（2）利用)(xf与xe构造；)(xf与xe构造，一方面是对vuvu,函数形式的考察，另外一方面是对xxee)(的考察.所以对于)()('xfxf类型，我们可以等同xxfxxf)(),(的类型处理，“”法优先考虑构造xexfxF)()(，“”法优先考虑构造xexfxF)()(.【例5】已知)(xf是定义在),(上的函数，导函数)('xf满足)()('xfxf对于Rx恒成立，则（）A、)0()2014(),0()2(20142feffefB、)0()2014(),0()2(20142feffefC、)0()2014(),0()2(20142feffefD、)0()2014(),0()2(20142feffef❀❀❀思路点拨：满足“0)()('xfxf”形式，优先构造xexfxF)()(，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.【解析】构造xexfxF)()(形式，则xxxxexfxfexfexfexF)()()()()('2''，导函数)('xf满足)()('xfxf，则0)('xF，)(xF在R上单调递减，根据单调性可知选D.同样xxexfxfe)(),(是比较简单常见的)(xf与xe之间的函数关系式，如果碰见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？)()(xfexFnx，)]()([)()()('''xnfxfexfexfenxFnxnxnx；nxexfxF)()(，nxnxnxnxexnfxfexfneexfxF)]()([)()()('2''；结论：1、出现)()('xnfxf形式，构造函数)()(xfexFnx；2、出现)()('xnfxf形式，构造函数nxexfxF)()(.我们根据得出的结论去解决例6题.5【例6】若定义在R上的函数)(xf满足1)0(,0)(2)('fxfxf，则不等式xexf2)(的解集为___________❀❀❀思路点拨：满足“0)(2)('xfxf”形式，优先构造xexfxF2)()(，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.【解析】构造xexfxF2)()(形式，则xxxxexfxfexfexfexF2'42'2')(2)()(2)()(，导函数)('xf满足0)(2)('xfxf，则0)('xF，)(xF在R上单调递增.又∵1)0(f，则1)0(F，)0()(1)()(22FxFexfexfxx，根据单调性得0x.【变式提升】若定义在R上的函数)(xf满足1)0(,04)(2)('fxfxf，则不等式2)(2xexf的解集为___________❀❀❀思路点拨：利用通式构造函数时考虑4如何转化.构造函数xxeexfxF222)()(【例7】已知函数fx在R上可导，其导函数为fx，若fx满足：(1)[]0xfxfx，22(2)xfxfxe，则下列判断一定正确的是（）（A）)0()1(ff（B）)0()2(2fef（C）)0()3(3fef（D）)0()4(4fef❀❀❀思路点拨：满足“)()('xfxf”形式，优先构造xexfxF)()(，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.【解析】构造xexfxF)()(形式，则xxxxexfxfexfexfexF)()()()()('2''，导函数)('xf满足0)]()()[1('xfxfx，则1x时0)('xF，)(xF在),1[上单调递增.当1x时0)('xF，)(xF在]1,(上单调递减.又由)()()2()()2(22xFxFxFexfxfx关于1x对称，根据单调性和图像，可知选C.6（3）利用)(xf与xxcos,sin构造.xxcos,sin因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.xxfxxfxFxxfxFcos)(sin)()(,sin)()(''；xxxfxxfxFxxfxF2''sincos)(sin)()(,sin)()(；xxfxxfxFxxfxFsin)(cos)()(,cos)()(''；xxxfxxfxFxxfxF2''cossin)(cos)()(,cos)()(.根据得出的关系式，我们来看一下例8【例8】已知函数yfx对于任意的(,)22x满足cossin0fxxfxx（其中fx是函数fx的导函数），则下列不等式不成立的是（）A、2()()34ffB、2()()34ffC、(0)2()4ffD、(0)2()3ff❀❀❀思路点拨：满足“cossin0fxxfxx”形式，优先构造然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.xxfxFcos)()(【解析】构造xxfxFcos)()(形式，则xxxfxxfxF2''cossin)(cos)()(，导函数)('xf满足cossin0fxxfxx，则0)('xF，)(xF在)2,2(上单调递增.把选项转化后可知选B.【变式提升】定义在)2,0(上的函数，函数)('xf是它的导函数，且恒有7xxfxftan)()('成立，则（）A、)3(2)4(3ffB、1sin)6(2)1(ffC、)4()6(2ffD、)3()6(3ff❀❀❀思路点拨：满足“xxfxxfcos)(sin)('”形式，优先构造xxfxFsin)()(，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.（二）构造具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.【例9】]2,2[,，且0sinsin，则下列结论正确的是（）A、B、22C、D、0❀❀❀思路点拨：构造函数xxxfsin)(，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.【解析】构造xxxfsin)(形式，则xxxxfcossin)('，]2,0[x时导函数0)('xf，)(xf单调递增；)0,2[x时导函数0)('xf，)(xf单调递减.有∵)(xf为偶函数，根据单调性和图像可知选B.【变式提升】定义在R上的函数)(xf满足1)1(f，且对21)(,'xfRx则不等式21log)(log22xxf的解集为_________.❀❀❀思路点拨：构造函数221)()(xxfxF，令xt2log，然后原不等式等价于21)(ttf，利用单调性求解集，然后解对数不等式即可.【例10】等比数列}{na中，21a，48a，函数))...()(()(821axaxaxxxf，则)0('f（）A、62B、92C、122D、1528❀❀❀思路点拨：构造函数)()(xxgxf，然后利用整体代换思想和数列的性质求解即可.【解析】令))...()(()(821axaxaxxg形式，则)()(xxgxf，)()()(''xxgxgxf，∴124821'2)42(...)0()0(aaagf，故选C.【例11】已知实数cba,,满足1112dcbeaa，其中e是自然对数的底数，那么22)()(dbca的最小值为()A、8B、10C、12D、18❀❀❀思路点拨：把22)()(dbca看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可.【解析】由aaeabbea212进而xexxf2)(；又由cddc2111xxg2)(；由121)('xexf，得0x，所以切点坐标为)2,0(，所以22)()(dbca的最小值为811220|2【变式提升】已知实数ba,满足0ln522baa，Rc，则22)()(cbca的最小值为______________❀❀❀思路点拨：构造函数xxxfln52)(2，xxg)(，然后利用两点之间的距离公式和数形结合思想求解即可.【课后作业】设函数)(xf在R上的导函数)('xf，在),0(上xxf2sin)('，且Rx，有xxfxf2sin2)()(，则以下大小关系一定正确的是（）A、)34()65(ffB、)()4(ffC、)34()65(ffD、)()4(ff