空间曲线的切线和曲面的切平面

空间曲线的切线和曲面的切平面空间曲线的切线和曲面的切平面 6.2.4 空间曲线的切线和曲面的切平面课题: 空间曲线的切线和曲面的切平面目的要求:会求曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。重点: 曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的求法难点: 公式的推导教学方法: 讲练结合教学时数: 2课时教学进程: 一、空间曲线的切线和法平面 '定义1 设在空间曲线上有一个定点，在其邻近处取上另一点M，并作割线M,, ''(令沿趋近，那么割线的极限位置就是曲线L在点的切线(图1) MMMMTMM, 设一条空间曲线方程为 ...

空间曲线的切线和曲面的切平面 6.2.4 空间曲线的切线和曲面的切平面课题: 空间曲线的切线和曲面的切平面目的要求:会求曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。重点: 曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的求法难点: 公式的推导教学方法: 讲练结合教学时数: 2课时教学进程: 一、空间曲线的切线和法平面 '定义1 设在空间曲线上有一个定点，在其邻近处取上另一点M，并作割线M,, ''(令沿趋近，那么割线的极限位置就是曲线L在点的切线(图1) MMMMTMM, 设一条空间曲线方程为 x,x(t),y,y(t),z,z(t) Mxyz(,,)t,t，,tt,t考虑所对应的一点及所对应的一点 00000 ,,Mxxyyzz(,,).，,，,，,则割线的方程为 MM000 x,xy,yz,z000,, ,x,y,z以除上式各分母,得 ,t 图1 x,xy,yz,z000,, ,x,y,z ,t,t,t ,当时, ,t,0, MM, ,x,y,z,,, ,x(t),,y(t),,z(t),000,t,t,t切线的方程为 x,xy,yz,z000,,( ,,,x(t)y(t)z(t)000 Mxyz(,,)作垂直于曲线在该点处切线的平面,这个平面称为曲线在点处的法平面,000这个法平面的方程为 ,,,x(t)(x,x)，y(t)(y,y)，z(t)(z,z),0 ( 000000 ,x,acos,,y,asin,,z,k,例1 求螺旋线在,处的切线与法平面方程( ,4 ,,,x,,asin,,y,acos,,z,k解这里 22k,,(,,)aa(x,y,z)Mxyz(,,),对应的点为,则曲线在点的切线方,0000002244 程为 22k,,,,xayaz224,, k22,aa22 法平面方程 2222k,,,，,，,,axaayakz()()()0 22224 二、曲面的切平面和法线 x,y,z定义2 设有曲面S， ()为S上任取的一点, 为S上过点的任意一条PPC000 曲线,那么在点处曲线的切线称为曲面S在点处的切线(一般地，过曲面上的一PPTPC 点可以作无穷多条切线(可以证明，所有这些切线都在一个平面上(这个平面称为曲面S 在点的切平面(过点垂直于切平面的直线，称为曲面S在点的法线( PPP 设曲面的方程为，其中函数具有连续的一阶偏导数, 的方程为 z,f(x,y)f(x,y)C x,x(t),y,y(t),z,z(t) P(x,y,z)t,t可以证明,曲面在所对应的一点所对应切平面方程为 0000 ,f,fz,z,|(x,x)，|(y,y) 0P0P0,x,y从而知道法线的方向数 ff,,,,,1 xy,,pp 所以法线的方程为 x,xy,yz,z000 ,,,f,1,f ,x,ypp P(x,y,z)如果曲面方程的形式为F(x,y,z),0，且F(x,y,z)在处满足一定的连000续性条件,则曲面在点处的法线方程为 P xxyyzz,,,000 ,,FFFxzyppp 切平面方程为 0 F(y,y)，F(x,x)，F(z,z),y0xz00ppp 22z,3x，2y例2 求抛物面在点P(1,1,2), 处的切平面与法线的方程( ,,zz解因为，所以根据公式，切平面的方程为 66,44,,,,,xypp,,xypp zxy,,,,，26(1)4(1) 6480xyz,,,,即 ; 法线的方程为 xyz,，,112 ,,641,, 222xyz，，,1x,y,z)例3 求椭球面=0在点 (处的切平面方程( P000222abc 222xyz，，,1F(x,y,z)解令= =0，那么 222abc x2yz22FF,F,,000,, ,,,,222,bxz,a,cyppp 所以，所求切平面的方程为 2x2y2z000 (x,x)，(y,y)，(z,z),0000222abc 化简得 xxyyzz000，，,1 222abc 小结本讲内容:强调曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的概念及求法。作业: P196 7;8;9。

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