【精品】一类函数的零点和不动点问题

【精品】一类函数的零点和不动点问题 一类函数的零点和不动点问题 信息与计算科学 2003级 李胜飞 指导教师:丁体明 教授 摘 要:研究了一类连续函数的零点问题～利用闭区间上连续函数的的介质定理～证明了 这类连续函数的几个新的零点的存在性和唯一性定理～并进一步用多种方法证明了一类连 续函数的几个不动点的存在性和唯一性定理。 关键词:函数的零点～不动点～Cauchy 基本序列。 Zero and Fixed Point of a Class Function Problems li Sheng-fei Information and Computing Science, Grade 2003 Directed by Ding Timing (Professor) Abstract:Has studied a kind of continuous function zero question, On use closed interval continuous function intermediate value theorem, Has proven this kind of continuous function new zero existence and the uniqueness theorem, And further used some methods to prove kind of continuous function fixed point existence and the uniqueness theorem. Key word: Zero of function～Fixed point～Cauchy fundamental sequence. 1.研究背景与预备知识 自然界中的许多现象，如气温的变化，河水的流动，植物的生长等等，都是连续变化 的，这些现象在数学上的反映，就是函数连续的概念。函数的连续性就是函数概念和极限 概念相结合的产物。它是高等数学中基本概念之一。连续函数是一类最重要的函数，这类 函数在一般函数的研究中起到奠基的作用，在实际应用中也最为常见。函数零点的研究是 函数研究的一个重要方面，许多代数方程的求根问题，就是归结为函数的零点问题。本文 一方面研究了一类连续函数的零点问题，利用闭区间上连续函数的零点定理，证明了这类 连续函数的两个新的零点的存在性和唯一性定理。另一方面，作为零点问题的特例，同时 还用泛函分析的知识，从不同角度研究了函数的不动点问题，证明了这类连续函数的几个 新的不动点的存在性和唯一性定理。 众所周知，现代数学的基础，数学界公认为包括拓扑学、泛函分析和抽象代数三大部分,它们是高等代数学中几何、分析和代数三大分支的新发展.本文研究的连续函数的零点和不动点的存在性和唯一性就是包含于其中的一个简单定理。 不动点理论产生于拓扑变换理论中,且在分析学中有重要应用的一门抽象数学理论. 当时人们开始把微分方程的解看作是巴拿赫空它是20世纪一个格外引人注目的数学分支, 间到自身映射的不动点,得出了基本的理论结果.在这一时期, 不动点定理作为数学科学中的主流课题,许多重要的数学成果都是借助于它而获得.在1957年,Altman M A发表了 [1]著名的Altman 定理，参考文献,建立了关于全连续算子的不动点定理,以后的许多学者相继将这一定理做了进一步的推广,将一些条件进一步的放宽也都得到了相应的不动点定理.从而不动点理论得到了进一步发展,开始走向理论的多元化,运用在各个方面. 不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域,它的历史悠久,却又是近现代一个发展较快的理论定理.其一直是研究泛函微分系统和经济领域中的均衡问题的一个重要工具,对泛函系统的解的存在性和唯一性以及均衡的存在性的研究具有重要的理论价值.而在非线性分析中不动点理论也一直是其中的一个重要方法,在解决这类问题时,常常将微分方程转化为等价的积分方程,然后用不动点理论来解决,这样可以既简单又方便的加快解题的效率,为我们的研究者节约大量的时间和精力.另一个不动点理论运用的方面,那就是泛函微分系统的周期解,这个问题解决的方法还有重合度理论,傅立叶级数等等,其中不动点理论是解决这类中立型泛函微分方程的解的存在性或唯一性的重要定理. 在数学领域内,不动点定理在泛函微分系统中广泛深入的应用,成为其研究相关问题的一个重要工具.近现代利用不动点理论建立起来的有关三个不动点理论是数学家 [2]Leggett-Williams引如的Leggett-Williams的不动点理论,参考文献和R.I.Avery分别建立 [5]的不动点理论，参考文献，中以2001年R.I.Avery和A.C.Peterson利用新的R.I.Avery不动点理论,研究了离散的二阶非线性差分方程的边值问题以及2004年Zhangbing Bai , Yifu Wang和Weigao Ge,运用新的R.I.Avery不动点定理研究了二阶非线性常微分方程的边值问题最具有代表性. 在经济学领域中, 不动点定理对经济领域中的均衡问题的研究也做出了巨大的贡献.在20世纪50年代,著名的经济学家阿罗和德布鲁利用复杂的数学工具角谷不动点定理证明了均衡的存在性问题.在这以前,1911年布劳威尔不定点定理首次提出，20世纪三四十 年代瓦尔德和冯*诺伊曼和角谷(Kakutani)也对它做出了详细的证明. 不动点定理在不同市场均衡存在性的证明中有广泛的应用,关于市场均衡存在性的证明方法可以有不动点定理、序方法、线性方程组解、 博弈组合以及算子算法等，但是其中不动点定理是证明市场均衡存在的一个最为重要的方法.并且，不动点定理除了上述之外，还有其他众多的阐述 .而不动点定理既可运用到一般均衡的证明当中来，还可用来证明不完全市场均衡存在性的证明，并且可运用到不同具体市场均衡存在性的证明当中来.这仅仅是不动点理论在经济学领域中运用的不完全方面,在其他的诸多方面不动点理论还在积极发挥他的广泛的研究工具的作用,在这里无法一一列举. 以下就是一些与不动点理论运用相关的历史事件,标志着不动点理论曾经带来的辉煌与贡献. 1983年 Debreu于1983年获得了诺贝尔经济奖,Debreu是利用集值分析的方法以集值映射的不动点定理为工具证明Walras经济理论均衡理论。 1957年 Hans首先将Banach压缩映象原理随机化,以后各类不动点定理的随机化类比相继出现,但这些结果中,压缩条件一般为线性的或满足单调、右连续等条件. 1951年 Nash在1951年利用Brower不动点定理证明了混合策略平衡点必定存在,这种平衡点有称为Nash平衡点. 1950年 比如纳希于1950年在Kokutoni 不动点定理的基础上,证明了”人非零和非合作对策模型平衡点的存在性”(几乎在同一时期,阿罗和德布鲁完成了<<完备经济系统平衡点的 存在定理>>) 1941年 1941年角谷静天给出了集值映射的不动点定理,1959年德布鲁才能证明一般经济均衡的存在定理 1922年 1922年,巴拿赫证明了重要的不动点定理:完备的度量空间中的压缩映象必然有唯一的不动点. 2.主要概念及相关引理 数学应用与实际,要 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 到解各类方程,比如代数方程、函数方程、微分方程、积分方 X程和泛函方程,种类繁多,一般能把他们写成的形式,这里是某个相应空间中fxx(),x 的点,对于一个自变量情形, 称为自变量,称为函数;一般情形, 称为变换和映fx()fx()x XXXX射,就是从空间到空间自身的一个映射,把空间的每一个点映射为空间中点fx .方程的解恰是在这个映射中被保留原地不动的点,称为映射中的不动点.这fx()fxx(), [12]样解方程的问题就转化为求映射的不动点问题。 1.9距离空间:设是一个非空集,被称为距离空间,是指上定义了一个二元实值函xxx xy,数满足下列三个条件:(非负性),而且充要条件是;(对称pxy(,)0,, xyz,,性);(三角不等式)对于任意的中的都成pxypyx(,)(,),pxzpxypyz(,)(,)(,),,，x pp立. 这里叫做上的一个距离,以为距离的距离空间记作 x(,)xp 2.0完备距离空间: 如果距离空间中的每个基本点列(Cauchy)点列{x}都收敛,则xxn称为是完备的距离空间 [13] [14]2.1压缩映象原理:也叫Banach不动点定理,它的完整的表达是这样的,完备距离空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。 [9] [12]XX2.2布劳威尔不动点定理:设是欧氏空间中的紧凸集,那么到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。 [9][16]X2.3莱夫谢茨不动点定理:设莱夫谢茨不动点定理:设是紧多面体,是映fxx(),射,那么的不动点代数个数等于的莱夫谢茨数L(ƒ)，它是一个容易计算的同伦不变量，ff 可以利用同调群以简单的公式写出。当时，与同伦的每个映射都至少有一个不Lf()0,f 动点。 [1]定义1 (函数的零点)函数的解。即图像与横轴的交点的横坐标 yfx,,()0 [9]R定义2函数的不动点:对于函数,若存在属于,使成立,则称此点是fx()fx()xfx,()x函数的不动点。 [2]a收敛的充要条件是:对任给的,,0,存在正整数N,使得定义3柯西收敛准则:数列,,n aa,,,当时有， nmN,,nm [1]ab,引理1闭区间上函数的零点定理:设函数在闭区间上连续,若有yfx,(),, fafb,,0,0fafb,,0,0xab,,或,则必存在点,使得。 fx()0,，，，，，，，，，，003.主要结果 I定理1:定义在区间上，满足: fxgx(),() I(i)是连续函数的单调增区间， gx() ()()fxfxgxgx,,,,()(),I01,,,(ii)对xx，存在实数，使得 ， ,212112 UxI,,,,aUxax,,,,,bUxbx,,,,,(iii)存在，和，使 ，，，，，，00000(1)()(2)()()0,,,，,,,gagxfx(1)()()()0,，,,,,gbgxfx, , 0000 I则函数在区间上有唯一零点 fxgx()(), ()()fxfxgxgx,,,,()()证明:(存在性)令，对,,xI，因为 ， Fxfxgx()()(),,000 Ixx,gxgx()(),fxfx(),()x在区间上连续，当时，，所以 。在处连续，gx()fx()0000 IIx注意的任意性，可知在上连续。从而在区间上连续。由(iii) fx()Fxfxgx()()(),,0 xUxI,,,,,,xIfxgx()()0,,fxgx()(),取，若，则结论成立。若，由(i)，对， ，，000000 gxgx()(),xx,当 时，有 00 GxFxgxgxfx()()(1)()(2)()(),，,，,,,, 100 ,,，,,fxfxgxgx()()(2)(()()), 00 ,,,，,,,,gxgxgxgx()()(2)(()()) 00 ,,,,2(1)(()())0,gxgx0 aUxax,,,,,由条件(iii)存在，使得 , (1)()(2)()()0,,,，,,,gagxfx，，0000所以，GaFagagxfxFa()()(1)()(2)()()()0,，,，,,,,,,。 100 当时，有gxgx()(), xx,00 GxFxgxgxfx()()(1)()()(),，,，,,,200 ,,,,fxfxgxgx()()(()()),00 ,,,,,,,gxgxgxgx()()()()0 ，，，，00 bUxbx,,,,,)，存在，使得 , 由条件(iii(1)()()()0,，,,,,gbgxfx，，0000 GbFbgbgxfxFb()()(1)()()()0,，,，,,,,,所以，。 ，，200 [1]Fxab,于是在闭区间上连续 ，且端点值异号，由闭区间上连续函数的零点定理，至，，,, ,,,(,)xxI少存在一个，使。 F()0,,12 (唯一性)假设还有，，使，则 ，且 ,,R,,,F()0,,gg()(),,,ggffgg()()()()()(),,,,,,,,,,,,I，矛盾。所以，是在区间Fxfxgx()()(),,,上的唯一零点。 IR当是无穷区间时，用同样方法容易得到下面 定理2 定义在R上，满足: fxgx(),() (i)是连续的增函数， gx() ()()fxfxgxgx,,,,()(),01,,,(ii)对xxR，存在实数，使得 ， ,212112 ,,xR(1)()(2)()()0,,,，,,,gagxfxax,(iii)对，存在，使得 , 0000 ,,xR(1)()()()0,，,,,,gbgxfxbx,(iv) 对，存在，使得 , 0000则函数在R上有唯一零点 fxgx()(), 特别地，在定理2中取 ，还可得到下面的不动点定理。 gxx(), ,01,,,xx定理3 定义在R上，满足:(1)对R，存在实数，使得 ,fx()12 ()()fxfxxx,,,,fxxxR,,,,，(2)，则函数在R上有唯一不动点 fx()，，2121 ()()fxfxxx,,,,证明:显然，是R上连续的增函数，对，因为 ，,,xRgxx(),000当xx,时，fxfx(),()。所以在处连续，注意的任意性，可知在R上xxfx()fx()0000连续。从而在R上连续。由(2)取xR,，若fxx()0,,，则结论成立。Fxfxx()(),, 000否则，fxx(),， 00 fxx(),00当 时，取 ，有 (1)(2)()0,,,，,,,axfx xx,axx,,,0100100,1, fxx(),001()0,，,,,,bxfx当 时，取 ，有 ， xx,bxx,，,，，1000100,1, 于是， 满足定理2的全部条件，所以，存在唯一的，使，即 fxx(),,,Rf()0,,,, 函数在R上有唯一不动点。 fx() R不动点定理3是作为定理2的特殊情况，更一般的，若定义上两点距离 ,xyxyxyR,,,,,,,R,,为:,则是一个完备的距离空间。利用泛函分析知识容易知，，，， 道，下面的不动点定理。 RxxR,,01,,,定理4 是定义在上的实值函数，满足:对任意，存在实数，使得 fx()12()()fxfxxx,,,,R，则函数在上有唯一不动点。 fx()2121 fxR,,,xR证明1 (存在性) 对，显然，作序列 ，，nn 1xxfx,， (()) n,1,2,3,nnn，12 1 于是xxxxfxfx,,,，,()(()()) 3221212 1,,，,,xxxx ,,21212 1，,,,xx 212 211，，,,,,xxxxxx,,,,,同理， ,,43322122,, 由数学归纳法，易得 n,11，,,,xxxx,,, n,3,4,5,,,nn，1212,, n,11，,,,p,mnmn,,,因为，对任意正整数，令， 01,,p,,2,, xxxxxxxxxx,,,，,，,，, mnnnnnnnmm，，，，,,121321 21mn,, ,，，，，,,1pppxx，，21 mn,1,p ,,,xx211,p xRR所以是上的Cauchy 基本序列， 存在。设，。而是完备的距x,,limxn,,,,nnn,,n fxR离空间，故。由条件易知在上连续，在 ,,R，， 1xxfx,， (),,nnn，12 两端取极限，有 1,,,,， (())f2 即 ，。 f()0,,,,F()0,, ,,,,,,,ff()(),,,,,,,R(唯一性)假设还有， ，使 ， 则 矛,,,F()0,, R盾。所以，是在上的唯一零点。 ,Fxfxx()(),, ab,ab,,01,,,定理5 定义在闭区间上，满足:(1)对xx，存在正实数，,fx(),,,,12()()fxfxxx,,,,fxab(),,ab,使得 ，(2)，则函数在上有唯一不动点。 fx(),,,,2121 ,,xab,fxab,,ab,证明:由条件(2)知，对，。由条件(1)知，是上的fx()，，,,,,,,nn ab,R连续函数. 注意ab,,,也是距离空间，且是的闭集，所以ab,,,是完备距离,,,,,,，，，， xab,,x空间，任取，则满足 ,,,,0n xxfxfx,,,()(),,,xx,,,fxfx()() nnnn，,11nn,1nn,,12 2,,,xx ,,nn12 <……… n,,,xx 10 nmnmn,,,因为，对任意正整数，令p,,， 01,,p xxxxxxxxxx,,,，,，,，, mnnnnnnnmm，，，，,,121321 mn,，11,p2mn, ,，，，，,,,,,1pppxxxx，，10101,p xab,ab,所以是上的Cauchy基本序列， 由的完备性知，存在.设，limxn,,,,,,,,nn,,n ,,ab,，。在两端取极限，即得 ,即。 x,,xfx,()f(),,,F()0,,,,nnn,1 ,,,,,,,ff()(),,,,,,,R(唯一性)假设还有， 使则 矛盾， ,,,F()0,, ab,所以是，在上的唯一零点。 Fxfxx()(),,,,, 结论: 函数的零点和不动点理论的研究一直是20世纪最伟大的数学研究理论之一,零点定理和不动点定理一直是非线性分析和求解函数方程的根中的重要工具.本论文先总结了函数零点和不动点存在的条件,并在此基础上通过对闭区间函数的零点定理的引用,推出了另外两个零点定理的证明和三个不动点定理的.本论文是在结合函数和极限的基础上,提出的利用构造已知,提出假设,从而由闭区间连续函数的零点定理证明零点的存在和唯一性.再以被证明的定理做为条件,在特定的情况下,构造了出特殊情况,经过进一步数学归纳法的证明,我们得到了不动点存在以及唯一的性质.论文采取一步一步深入,循序渐进的方法,逐步推导的过程证明,以达到让我更充分的认识了解象零点和不动点这样的数学理论. 参考文献: [1]K.Deimling.Zero of accretive operarors(J).Manuscrupta Math.13(1974) [2]数学分析 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf 第三版 高等教育出版社 华东师范大学数学系 编 [3]数学分析 下册 第三版 高等教育出版社 华东师范大学数学系 编 [4]Hari P.Krishnan .Existence of unstable manifolds for a certain class of delay differertial equations.[J].Electronic Journal of Differential Equations ,Vol.2002(2002),No.32,1-13 [5]数学分析讲义学习辅导书 上册 第二版 高等教育出版社 [6] E.DeMarr,Common fixed points for cormuting mappings. 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