高等数学求极限教学的一些建议

高等数学求极限教学的一些建议 第14卷第5期 2011年9月 高等数学研究 STUDlESINC0LLEGEMATHEMATICS VoL14,No.5 Seot.,2011 高等数学求极限教学的?些建议 胡志广 (天津师范大学数学科学学院,天津300387) 摘要分析极限教学中出现的一些问题,并给出相应建议. 关键词高等数学;极限;阶的分析;教学 中图分类号O172;G642文献标识码A文章编号1008—1399(2011)05—0038—02 极限是高等数学的一个基础核心的内容.可以 说,极限及其思想贯穿于整个高等数学,几乎与每一 个知识点相联系.关于极限的论述讲解很多:按形状 分,有无穷和极限和有限和极限;按类别分,有数列 极限和 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 极限;按过程分,有自变量趋向无穷或定 点的极限. 形式决定方法,因极限的形式丰富多彩,故极限 的方法多种多样.高等数学考研和竞赛中用到的方 法主要有: 1)连续函数性质套用公式; 2)洛必达方法求导转化; 3)泰勒展开化多项式; 4)不等式放缩两边夹; 5)无穷规则求和化定积分; 6)单调有界数列列等式. 极限内容相当丰富,方法技巧多种多样.但受课 时的限制,在实际教学过程中,学生们往往却只能走 马观花,人超市而空返,没有时间巩固 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf . 天津市大学生数学竞赛,旨在扩大数学的受益 面,提高学生的数学素养.笔者有幸参加组织天津师 范大学高等数学竞赛 培训 焊锡培训资料ppt免费下载焊接培训教程 ppt 下载特设培训下载班长管理培训下载培训时间表下载 .学生在课后高兴地对笔 者说,想不到泰勒展开还能用来求极限.在培训中, 学生常出现的问题有:, ?缺乏理解,生吞活剥.不考虑条件,随意使用 极限的四则运算.道理不明白,随便运用等价 代换.,’ ? 思维单一,积习难改.只要是求极限,甚至没 有验算是否为o/o型等极限形式,就使用洛必 达方法.或者拿着泰勒展开的大斧到处乱砍. ? 条理不清,极不 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 .特别是有些有想法的 学生,解题结果虽然正确,但过程错漏不断, 收稿日期:2009-01—31;修改日期:201I-08-26. 作者简介:胡志广(1979--),男,湖北武穴人,博士讲师,从事李群与 微分几何研究.Email:nankaitaiji@mail.nankai.edu.an. 错误时有出现.如: ,.In(1+3x)3x3一一 ‘ 结合个人的经验和想法,下面的三点对竞赛教 学或有裨益. (1)一题多解的教学.- 一 题多解是思维锻炼的好方法[2].学生反映,看 到老师用几种方法解同一道题很有收获.一题多解 既可开拓思路,引起学习兴趣,又能通过比较找到最 简便的做法. (2)简化思维的讲解. 数学的精髓就是化简,俗话说越简单越好,就是 未知数越少越好,熟悉比不熟悉好,函数越简单越 好,数字越小越好.如 (--cot2x2)=(一c.t2): lim 一0+ sinX—X.COS. lim—(— si— n — x —— +—— x — c — o — s — x — )(— s — in— x —— -- —— x — c — o — s — x)一 一.十 lim—(sinx+— x~)lim— (s— i— nx —— -- — x — c — o 一 ~)llm .n一————————————一. x—3c 上面第一个等式将x看作一个整体,函数比原来简 单;第二个等式自然将余切用更熟悉的正余弦代换 后通分;第三个等式中,分母等价代换成简单形式, 分子利用平方差公式化成次数较低形式;第四步 当X一0时,sinx+XCOSX与X是同阶无穷小,于是 可化成两个极限的乘积,后面的一个极限再用熟练 的洛必达来求即可.这就是一种有”思想”的做法. 在上面第二步中,切化弦后再做变换 cot2x一丁COS2X 一_一1, sin’xsln.x 未知数只出现在分母,形式更简单,于是有 一 lim ., (z 1 __COt2X2)一一lim\1一c.t2)一 第14卷第5期胡志广:高等数学求摆限教学的一些建议39 lim z—0’ lim — +0. 1一 1+)一 lim z—+0. (sinx 兰2_+1一_z.sin. ?兰二兰 Z4 (sinx+) Z —一 1== 0z.山 在具体的解一道题时,可选择的途径千头万绪, 正确的方向大概就是使问题得到简化,原则有二:其 一 是直观简单;其二是要求结论与条件的发生了联 系,联系程度越高越好. (3)过程学习的引导. 学习应从单一的目标中跳出来,细节处见精神; 数学上就是在做题中每一步用心,每_步严谨,力求 找到最简单的方法.举一例说明: lim 2—-0 (1+X.)sinx—一 ———j厂一一 lim—s—ln——x—:---—一x一lim -.O—0 X81nx 极限就是阶的估计,阶的比较.上面的做法就来源于 无穷小量阶的分析[3].当x一0时分子中(1+z.) 为不同级别两项的结合,分开后柳暗花明,自然可分 成两个简单极限的和.如此学习,定能体会数学思维 的美,于是学习成为活勃勃的事情.将每一道题当做 一 项系统工程来对待,尽可能完美完成,不要仅仅停 留在结果上.这是注重解一道题的过程.第二,要注 意整个学习过程中的总结.在整个学习极限的过程 中,不断与已有的知识,已做过的极限题目比较,找 出联系和差别,深化理解,归纳出求极限的方法,使 知识条理化体系化. 学习数学的关键是理解.极限是一个小内容,也 需不断反复,不断练习,不断思考,不断总结,如此才 能不断加深理解,从而提高能力. 参考文献 Eli田婷.等价无穷小求极限问题的探讨EJ].苏州工职院, 2007(2):48—49. E2]严彬.求极限的一题多解问题[J].中国科教创新导刊, 2008(25):141. [3]华东师范大学数学系.数学分析EM].北京:高等教育 出版社,1987:59-64. LimitinHigherMathenmticsandSomeTeachingSuggestions HUZhi—guang (SchoolofMathematicalSciences,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387,PRC) Abstract:Inthispaper,somelimitproblemsareanalyzedandsuggestionsOIlhowtoteach limitsareconcluded.Wewishthepaperwillbeavaluablesourceformathematicscontest training,andforstudentsinterestedinsolvinglimitproblems. Keywords:highermathematics,limit,order,teaching o?o?o??C?o?o?o?o?o???0?o?o??争??0?o?o?o?—争 ?o??<>??0?0?o?0?0?o?o?o?o?o?o?o??争 ?0?o?0?()?o??0?o?0?0?0?()?o?o?o?0? (上接第29页) [8]陈建华,李德新.洛必达第二法则的推广及其应用[J]. 高等数学研究,2009,12(5):45—46;48. [9]张筑生.数学分析新讲:第二册[M].北京:北京大学出 版社,1990:5-10. ElO]李成章,黄玉民.数学分析:上册EM].2版.北京:科学 出版社,1999:119-12l_ [11]常庚哲,史济怀.数学分析教程:上册[M].北京:高等 教育.出版社,2003:179. E12]徐森林,薛春华.数学分析:第一册EM].北京:清华大 学出版社,2005:200—201. [13]RudinWalter.数学分析原理EM].赵兹庚,蒋铎,译.北 京:机械工业出版社,2008:95—97. OnaProofofL’H6spitalSRule ZONGCheng-jiang (DepartmentofMathematics,DongchangCollegeofLiaochengUnivercity,Liaocheng252000,PRC) Abstract:Inthispaper,aproofofL’H6spital’Sruleisgivenbyusingasimpleidentity. Moreover,anewapproachwhichusesupperandlowerlimitsisalsoincluded. Keywords:limit,Cauehymeanvaluetheorem,LH6spital’Srule ,