上海交大计算结构力学课件
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杆系结构有限元01
第5章 杆系结构有限元
(1)有限元方法是在结构力学中的结构矩阵位移法的基础上发展起来的。
杆系结构:几何形状简单
杆系结构矩阵位移法:(直接有限元法):
杆的力与位移的关系容易求得
几乎包含了有限元的主要思想
(没有位移插值的问题) (2)基于最小势能原理的杆系结构FEM分析
5(1 直杆受轴向力杆的有限元
受力特点: 只有轴向力的作用
主要的控制方程:
,u
,,x几何关系: ,x
,u,,,,EExx应力应变关系: ,x
uu,边界条件: (给定位移)
,u
AEP,, (给定载荷) ,x
2,()A,,ux,,AEfx() 平衡方程: 2,,xx
最小势能原理的描述:
2LLEAu,,,(),,,dxufxdxp,,,, 2,x,,00
uu直杆的解满足上述控制方程等价于使得
,势能取最小值。 p
同样的划分单元,并且单元和节点编号
eN,1,2,..... 单元编号:
in,1,2,...节点编号:
节点的位移和力向量
,,,upP,,,,,,,,iiii
单元节点位移和节点力向量(总体编号)
uP,,,,ii
,,,p,,,,,,,,ee
uP jj,,,,
单元节点位移和节点力向量(局部编号)
uP,,,,11
,,p,,,,,ee,,,,
uP,,,,22
以下讨论基于变分原理的有限元。 假定直杆单元内任意一点的位移可以
表
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示为两个节点位移的线性插值。
,,,11,取单元的局部坐标
T
uNNuu()[(),()][,],,,, 1212
多个节点参数
e
u,[N][u]
1
N(,),(1,,)1 2
1
N(,),(1,,)2 2
2
,,(x,x)c l
N 的将单元节点位移和单元内任意一点的位移建立了联系。这个联系(线性插值)是我们假定的,因此不同的单元,可以采用不同插值模式,也就形成了不同精度的单元。
,,p
0,e由势能极小 ,u
lddx,,并注意到 2
l,1dNdNEAdNdN2eTT,,,KEAdxd()()()(),, ,,dxdxldd01,
l,1leTT,,()(),,PNfxdxNfd ,,201,
可以直接给出刚度矩阵的积分以及等效载荷(均布轴向载荷)列阵的计算
类似的三节点单元以及其他更高级的单元。
1
N,,,,(1)12
2N,,1,2
1
N,,(1),,32
这里实际上位移函数的插值可以理解成是一个一维的LAGRANGE插值。
进一步针对含有N个节点的单元, 采用L插值可以给出对应的位移形式。值得注意的是所求的位移场函数只有位移函数本身。
5(2 直杆扭转问题的有限元
一些基本的方程
,,,几何关系: ,x,
,,MGJGJ,,应力应变关系 ,x,
2M,,,GJmx(),,平衡方程 2xx,,
,,,MM,边界条件
LL1,,2GJdxmxdx最小势能原理: ,,,()(),p,,x2,00
l
ddx,,对于两节点单元,由于同样有 2对应单元的刚度矩阵
T1,,,,2GJdNdNe,Kd,,,,, ,ldd,,,,,,,1
等效载荷列阵:
l,1leTT,,()(),,PNmxdxNmd ,,201,