2014考研数学二真题

2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 二12014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)当0x时，若ln(12)x，1(1cos)x均是比x高阶的无穷小，则的取值范围是()(A)(2,)(B)(1,2)(C)1(,1)2(D)1(0,)2(2)下列曲线中有渐近线的是()(A)sinyxx(B)2sinyxx(C)1sinyxx(D)21sinyxx(3)设函数()fx具有2阶导数，()(0)(1)(1)gxfxfx，则在区间[0,1]上（）(A)当()0fx时，()()fxgx(B)当()0fx时，()()fxgx(C)当()0fx时，()()fxgx(D)当()0fx时，()()fxgx(4)曲线22741xtytt上对应于1t的点处的曲率半径是（）(A)1050(B)10100(C)1010(D)510(5)设函数()arctanfxx，若()()fxxf，则220limxx（）(A)1(B)23(C)12(D)13(6)设函数(,)uxy在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足20uxy及22220uuxy，则（）(A)(,)uxy的最大值和最小值都在D的边界上取得(B)(,)uxy的最大值和最小值都在D的内部上取得????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二2(C)(,)uxy的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得(D)(,)uxy的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得(7)行列式00000000ababcdcd（）(A)2()adbc(B)2()adbc(C)2222adbc(D)2222bcad(8)设123,,均为3维向量，则对任意常数,kl，向量组1323,kl线性无关是向量组123,,线性无关的（）(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.((9)12125dxxx__________.(10)设()fx是周期为4的可导奇函数，且()fx2(1),x[0,2]x，则(7)f__________.(11)设(,)zzxy是由方程2274yzexyz确定的函数，则11(,)22dz__________.(12)曲线()rr的极坐标方程是r，则L在点(,)(,)22r处的切线的直角坐标方程是__________.(13)一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,若其线密度221xxx,则该细棒的质心坐标x__________.(14)设二次型22123121323,,24fxxxxxaxxxx的负惯性指数为1，则a的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二3求极限12121lim.1ln1xtxtetdtxx(16)(本题满分10分)已知函数yyx满足微分方程221xyyy，且20y，求yx的极大值与极小值.(17)(本题满分10分)设平面区域22,14,0,0,Dxyxyxy计算22sinDxxydxdyxy.(18)(本题满分10分)设函数()fu具有二阶连续导数，(ecosy)xzf满足22222(4ecos)exxzzzyxy，若'(0)0,(0)0ff，求()fu的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式.(19)(本题满分10分)设函数(),()fxgx的区间[a,b]上连续，且()fx单调增加，0()1gx.证明：(I)0(),[,]xagtdtxaxab,(II)()()d()g()baagtdtbaafxxfxxdx.(20)(本题满分11分)设函数(x),0,11xfxx，定义函数列121()(),()(()),fxfxfxffx,1()(()),nnfxffx，记nS是由曲线()nyfx，直线1x及x轴所围成平面图形的面积，求极限limnnnS.(21)(本题满分11分)已知函数(,)fxy满足2(1)fyy，且2(,)(1)(2)ln,fyyyyy求曲线(,)0fxy所围成的图形绕直线1y旋转所成的旋转体的体积.????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二4(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A，E为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax的一个基础解系；(II)求满足ABE的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n阶矩阵111111111与00100200n相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)当0x时，若ln(12)x，1(1cos)x均是比x高阶的无穷小，则的取值范围是()(A)(2,)(B)(1,2)(C)1(,1)2(D)1(0,)2【答案】B【解析】由定义1000ln(12)(2)limlimlim20xxxxxxxx所以10，故1.????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二5当0x时，211(1cos)~2xx是比x的高阶无穷小，所以210，即2.故选B(2)下列曲线中有渐近线的是()(A)sinyxx(B)2sinyxx(C)1sinyxx(D)21sinyxx【答案】C【解析】关于C选项：11sinsinlimlim1lim101xxxxxxxx.11lim[sin]limsin0xxxxxx，所以1sinyxx存在斜渐近线yx.故选C(3)设函数()fx具有2阶导数，()(0)(1)(1)gxfxfx，则在区间[0,1]上（）(A)当()0fx时，()()fxgx(B)当()0fx时，()()fxgx(C)当()0fx时，()()fxgx(D)当()0fx时，()()fxgx【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()Fxgxfxfxfxfx，则(0)(1)0FF,()(0)(1)()Fxfffx,()()Fxfx.若()0fx，则()0Fx，()Fx在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0FF，所以当[0,1]x时，()0Fx，从而()()gxfx.故选D.(4)曲线22741xtytt上对应于1t的点处的曲率半径是（）(A)1050(B)10100(C)1010(D)510【答案】C????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二6【解析】1112'21122432212tttttdytdxtdydytdxdxt''33'22211,101011ykRkqy故选C(5)设函数()arctanfxx，若()()fxxf，则220limxx（）(A)1(B)23(C)12(D)13【答案】D【解析】因为'2()1()1fxfx，所以2()()xfxfx222222000011()arctan11limlimlimlim()arctan33xxxxxfxxxxxxfxxxx故选D.(6)设函数(,)uxy在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足20uxy及22220uuxy，则（）(A)(,)uxy的最大值和最小值都在D的边界上取得(B)(,)uxy的最大值和最小值都在D的内部上取得(C)(,)uxy的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得(D)(,)uxy的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二7【答案】A【解析】记22222,,,0,,uuuABCBACxxyy相反数则2=AC-B0,所以(x,y)u在D内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7)行列式00000000ababcdcd()(A)2()adbc(B)2()adbc(C)2222adbc(D)2222bcad【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列0000000000000000ababababacdcbcddcdcd()()adadbcbcadbc2()adbc.(8)设123,,aaa均为三维向量，则对任意常数,kl,向量组13aka,23ala线性无关是向量组123,,aaa线性无关的()(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A【解析】13231231001klkl.)记1323Akl，123B，1001klC.若123,,线性无????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二8关，则()()()2rArBCrC，故1323,kl线性无关.)举反例.令30，则12,线性无关，但此时123,,却线性相关.综上所述，对任意常数,kl，向量1323,kl线性无关是向量123,,线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)12125dxxx__________.【答案】38【解析】111221111arctan252214132428xdxdxxxx(10)设()fx是周期为4的可导奇函数，且()fx2(1),x[0,2]x，则(7)f__________.【答案】1【解析】'210,2fxxx，且为偶函数则'212,0fxxx，又22fxxxc且为奇函数，故=0c222,0fxxxx，又fx的周期为4，711ff(11)设(,)zzxy是由方程2274yzexyz确定的函数，则11(,)22dz__________.【答案】1()2dxdy【解析】对2274yzexyz方程两边同时对,xy求偏导????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二922210(22)20yzyzzzeyxxzzezyyyy当11,22xy时,0z故1111(,)(,)222211,22zzxy故11(,)22111()()222dzdxdydxdy(12)曲线limnnnS的极坐标方程是r，则L在点(,)(,)22r处的切线的直角坐标方程是__________.【答案】22yx【解析】由直角坐标和极坐标的关系coscossinsinxryr，于是,,,22r对应于,0,,2xy切线斜率cossincossindydyddxdxd0,22dydx所以切线方程为202yx即2=2yx(13)一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,若其线密度221xxx,则该细棒的质心坐标x__________.【答案】1120????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二10【解析】质心横坐标1010xxdxxxdx31122100042112310005=2133211=2143212xxdxxxdxxxxxxxdxxxxdxx111112=5203x(13)设二次型22123121323,,24fxxxxxaxxxx的负惯性指数是1，则a的取值范围_________.【答案】2,2【解析】配方法：22222123133233,,24fxxxxaxaxxxx由于二次型负惯性指数为1，所以240a，故22a.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln1xtxtetdtxx【解析】11221122dd(e1)(e1)limlim11ln(1)xxttxxttttttxxxx12lim[(e1)]xxxx12000e1e11limlimlim222tttxtttttttt.(16)(本题满分10分)????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二11已知函数yyx满足微分方程221xyyy，且20y，求yx的极大值与极小值.【解析】由221xyyy，得22(1)1yyx………………………………………………………①此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为331133yyxxc由(2)0y得23c又由①可得221()1xyxy当()0yx时，1x，且有：1,()011,()01,()0xyxxyxxyx所以()yx在1x处取得极小值，在1x处取得极大值(1)0,(1)1yy即：()yx的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域22,14,0,0,Dxyxyxy计算22sinDxxydxdyxy.【解析】D关于yx对称，满足轮换对称性，则：2222sin()ysin()DDxxyxydxdydxdyxyxy222222sin()sin()sin()12DDxxyxxyyxyIdxdydxdyxyxyxy221sin()2Dxydxdy????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二122201211sin21()cos4drrdrrdr22111cos|cos4rrrdr211121sin|4r34(18)(本题满分10分)设函数()fu具有二阶连续导数，(ecosy)xzf满足22222(4ecos)exxzzzyxy，若'(0)0,(0)0ff，求()fu的表达式.【解析】由cos,xzfey(cos)cos,(cos)sinxxxxzzfeyeyfeyeyxy22(cos)coscos(cos)cosxxxxxzfeyeyeyfeyeyx，22(cos)sinsin(cos)cosxxxxxzfeyeyeyfeyeyy由22222+4cosxxzzzeyexy，代入得，22cos[4coscos]xxxxxfeyefeyeye即cos4coscosxxxfeyfeyey，令cos=,xeyt得4ftftt特征方程240,2得齐次方程通解2212ttycece????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二13设特解*yatb，代入方程得1,04ab，特解*14yt则原方程通解为22121=4ttyftcecet由'00,00ff，得1211,1616cc,则22111=16164uuyfueeu.(19)(本题满分10分)设函数(),()fxgx在区间[,]ab上连续，且()fx单调增加，0()1gx，证明：（I）0(),[,]xagtdtxaxab,（II）()()d()g()baagtdtbaafxxfxxdx.【解析】（I）由积分中值定理,[,]xagtdtgxaax01gx，0gxaxa0xagtdtxa（II）直接由01gx，得到01=xxaagtdtdtxa（II）令uauagtdtaaFufxgxdxfxdx'uauaFufugufagtdtgugufufagtdt由（I）知0uagtdtuauaaagtdtu又由于fx单增，所以0uafufagtdt'0FuFu，单调不减，0FuFa取ub，得0Fb，即（II）成立.????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二14(20)(本题满分11分)设函数(x),0,11xfxx，定义函数列1211()(),()(()),,()(()),nnfxfxfxffxfxffx，记nS是由曲线()nyfx，直线1x及x轴所围成平面图形的面积，求极限limnnnS.【解析】123(),(),(),,(),112131nxxxxfxfxfxfxxxxnx11100011()11nnxxnnSfxdxdxdxnxnx1110200111111ln(1)1dxdxnxnnnxnn211ln(1)nnnln(1)ln(1)1lim1lim1lim1lim1nnnxxnxnSnxx101(21)(本题满分11分)已知函数(,)fxy满足2(1)fyy，且2(,)(1)(2)ln,fyyyyy求曲线(,)0fxy所围成的图形绕直线1y旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fyy,所以2(,)2(),fxyyyx其中()x为待定函数.又因为2(,)(1)2ln,fyyyyy则()12lnyyy，从而22(,)212ln(1)2lnfxyyyxxyxx.令(,)0,fxy可得2(1)2lnyxx，当1y时，1x或2x，从而所求的体积为2221122112lnln22Vydxxxdxxxdx????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二1522211221ln(2)222552ln2(2)2ln22ln2.444xxxxdxxx(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A，E为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax的一个基础解系；(II)求满足ABE的所有矩阵B.【解析】123410012341000111010011101012030010431101AE123410010012610111010010213100131410013141,(I)0Ax的基础解系为1,2,3,1T(II)1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTeee1Axe的通解为111112,1,1,02,12,13,TTxkkkkk2Axe的通解为222226,3,4,06,32,43,TTxkkkkk3Axe的通解为333331,1,1,01,12,13,TTxkkkkk123123123123261123212134313kkkkkkBkkkkkk（123,,kkk为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n阶矩阵111111111与00100200n相似.????VIP2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二16【解析】已知1111A，12001Bn=，则A的特征值为n，0(1n重).A属于n的特征向量为(1,1,,1)T；()1rA，故0Ax基础解系有1n个线性无关的解向量，即A属于0有1n个线性无关的特征向量；故A相似于对角阵0=0n.B的特征值为n，0(1n重)，同理B属于0有1n个线性无关的特征向量，故B相似于对角阵.由相似关系的传递性，A相似于B.????VIP