圆锥曲线常用结论

圆锥曲线一椭圆椭圆x2y2a2b21（a＞b＞0）的焦半径 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ：|MF|aex,|MF|aex(F(c,0),F(c,0)M(x,y)).0102012002：点P(x,y00)和椭圆x2a2y2b21（ab0）的关系：（1）点P(x,y)在椭圆外0x2y200a2b2x2y200a2b21；（2）点P(x,y001。)在椭圆上x20a2y2＝1；（3）点P(x,y0b200)在椭圆内3：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）（1）椭圆：由x2,y2x2y21母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程m12m表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是,13(1,)2（2）双曲线：由x,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。4;设椭圆x2a2y2b21ab0的左焦点、右焦点分别为F12b2、F，点P在椭圆上，2FPF2,求证：PFPF且PFF的面积Sb2tan。12121cos12解：设PFm，PFn，则S1mnsin2，又FF2c，由余弦定理122122c2m2n22mncos2=mn22mn2mncos=2a22mn1cos2，于是2mn1cos24a24c2=4b2，所以mn2b21cos2，从而有1S2b2sin2=b2tan。21cos25：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。6：点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角。即有MPKFPM,PTMN,FPTFPT。2127.：PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点。x2y2xxyy7：若P(x,y)在椭圆1上，则过P的椭圆的切线方程是001.000a2b20a2b28若P(x,y)在椭圆x2y21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦000a2b212xxyyP1P2的直线方程是00a2b2KM1.HPBF1F2T8：以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.9：以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.10：设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.11：过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A、A为椭圆长轴上的顶点，AP和121A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.12：AB是椭圆b2x2y2a2b21的不平行于对称轴的弦，M(x,y00b2x)为AB的中点，则kkOMAB，即Ka2AB0。a2y：若P(x,y)在椭圆0x2y21内，则被Po所平分的中点弦的方程是000a2b2xxyyx2y200a2b200.a2b2：若P(x,y)在椭圆x2y21内，则过Po的弦中点的轨迹方程是000a2b2x2y2xxyy00.a2b2a2b2x2y215：椭圆1（a＞b＞o）的两个顶点为A(a,0),A(a,0)，与y轴平行的直线交a2b212椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2x2y2交点的轨迹方程是a2b21.x2y2过椭圆a2b21(a＞0,b＞0)上任一点A(x,y00)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0a2y0（常数）.x2y2若P为椭圆1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F,F是焦点,PFF,a2b21212PFF，则actancot.21ac22x2y2设椭圆1（a＞b＞0）的两个焦点为F、F,P（异于长轴端点）为椭圆上任意a2b212—点，在△PFF中，记FPF,PFF,FFP，则有12121212since.sinsinax2y2若椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，则当0＜ea2b212212≤1时，可在椭圆上求一点P，使得PF是P到对应准线距离d与PF的比例中项.P为椭圆x2a2y21（a＞b＞0）上任一点,F,F1b22为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.椭圆(xx0)2(yy)201与直线AxByC0有公共点的充要条件是a2b2A2a2B2b2(AxByC)2.00x2已知椭圆a2y21（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.b2（1）1|OP|21|OQ|211a2b2;（2）|OP|2+|OQ|2a2b2的最小值为4a2b2a2b2;|OP|2+|OQ|2的最大值为a2b2（3）SabOPQ的最小值是a2b2，最大值为ab（4）并且点O到PQa2b2的距离为定值x2过椭圆a2y2b21（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF|e.x2已知椭圆a2y2b2|MN|21（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则a2b2xa0a2b2.a设P点是椭圆x2a2y21（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1b2、F2为其焦点记2b2FPF，则(1)|PF||PF|.(2)Sb2tan.1212121cosPFF2x2y2设A、B是椭圆a2b21（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2ab2|cos|2a2b2(1)|PA|a2c2cos2.(2)tantan1e2.(3)SPABb2a2cot.x2已知椭圆a2y21（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的b2直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）若P(x,y)在双曲线x2y21（a＞0,b＞0）上，则过P的双曲线的切线方程000a2b20xxyy是00a2b21.若P(x,y)在双曲线x2y21（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切000a2b2xxyyPP线切点为、1，则切点弦21P2的直线方程是00a2b21.Px2y2双曲线a2b21（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F，F2，点P为双曲线上任意1一点FPF，则双曲线的焦点角形的面积为Sb2cot.12FPF212双曲线x2y21（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F(c,0),F(c,0)a2b212当M(x,y00)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.当M(x,y00)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|exa0设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.12过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、A为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.x2AB是双曲线a2y2b21（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x,y00)为AB的中点，则KKb2x0，即Kb2x0。OMABa2y0ABa2y0若P(x,y)在双曲线x2y21（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方000a2b2xxyyx2y2程是00a2b200.a2b2若P(x,y)在双曲线x2y21（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程000a2b2x2y2xxyy是00.a2b2a2b2x2双曲线y21（a＞0,b＞0）的两个顶点为A(a,0),A(a,0)，与y轴a2b212平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2x2y2交点的轨迹方程是a2b21.x2过双曲线a2y2b21（a＞0,b＞o）上任一点A(x,y00)任意作两条倾斜角互补b2x的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC0a2y10（常数）.x2y2若P为双曲线a2b21（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F,F是焦点,PFF,PFF，则catancot（或2catan12cot）.21ca22ca22x2y2设双曲线1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F、F,P（异于长轴端点）a2b212为双曲线上任意一点，在△PFF中，记FPF,PFF,FF12P，则有sin12ce.1212(sinsin)ax2y2若双曲线1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，a2b2122则当1＜e≤1时，可在双曲线上求一点P，使得PF是P到对应准线距1离d与PF2的比例中项.x2P为双曲线y21（a＞0,b＞0）上任一点,F,F为二焦点，A为双曲线内a2b212一定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.双曲线x2y2a2b21（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2.x2已知双曲线a2y2b21（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动（1）点，且OPOQ.1111|OP|2|OQ|2a2b2;（2）|OP|2+|OQ|24a2b2的最小值为;（3）Sb2a2OPQ的最小a2b2值是b2a2过双曲线x2y2a2b21（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF|e.x2y2已知双曲线a2b2|MN|21（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x,0),则xa2b2或xa2b2.00a0a设P点是双曲线x2y2a2b21（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F、F212b2为其焦点记FPF，则(1)|PF||PF|.(2)Sb2cot.1212121cosPFF2x2y2设A、B是双曲线a2b21（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|2ab2|cos||a2c2cos2|.2a2b2(2)tantan1e2.(3)SPABb2a2cot.x2y2已知双曲线a2b21（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.圆锥曲线的光学性质双曲线的光学性质从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。抛物线的光学性质从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x,y)到两焦点F,F的距离分别为0012r,r，焦点FPFx2y2的面积为S，则在椭圆1中，1212a2b2①＝arccos(2b2rr1)，且当rr12即P为短轴端点时，最大为＝max12b2c2arccos；a2②Sb2tanc|y20|，当|y0|b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；x2y2对于双曲线a2b21的焦点三角形有：2b2；②①arccos1rr121.抛物线的焦点弦公式抛物线已知直抛物线的标准方程为y22px,p0，圆锥曲线的统一公式1：圆锥曲线的切线（切点弦）公式设点px,y在二次曲线Fx,y0上，过点px,y的0000切线方程的求法：将二次曲线Fx,y0中含有x2,y2,xy,x,y项分别用xx,yy,xy0x0y,xx0,yy0代换常数项及系数不变而求得。002222：圆锥曲线的焦点弦长若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且x,x分别为A、B的横坐标，则AB＝121k2xx12，若y,y12分别为A、B的纵坐标，则AB＝yy11k212，若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝yy1k212。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。（为AB的倾角，a,b,c分别是长半轴，短半轴，半焦距长）椭圆的焦点弦长AB2ab2。a2双曲线的焦点弦长ABc2cos22ab2特别的当双曲线为等轴双曲线时双曲线的焦点弦长ABa22acos2c2cos2。2p抛物线的焦点弦长（p为焦参数）。sin23圆锥曲线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；椭圆以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相离，双曲线以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相交设AB为焦点弦，M为与相应准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；抛物线设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的1111中点，则PA⊥PB；抛物线（椭圆，双曲线）设AB为焦点弦若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。（1）相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；x2过双曲线a2y2b2＝1外一点P(x,y00)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线4：设F是圆锥曲线的焦点，pp12是焦点弦。e,p分别是离心率和焦参数，则有PF1PF2112。ep5：对圆x2y2r2，由直径上的圆周角是直角出发，可得：若AB是圆O的直径，M是圆O上一点，K.KAMBM1,对椭圆x2y2a2b21有K.KAMBMb2，a2双曲线x2y2a2b21有K.KAMBMb2。a26：对圆过弦AB（非直径），中点M的直径垂直于此弦，可得K.KOMAB1。那么对于椭圆x2y2a2b21（a>b）有K.KOMABb2a2，对于双曲线x2a2y21b2K.KOMABb2。a27：圆锥曲线的相关弦问题（设AB为圆锥曲线C的任意一条不垂直于焦点所在轴的弦，作点A关于焦点所在轴的对称点A,,则称弦A,B与弦AB为一对相关弦）定理：设AB为椭圆x2a2y21（a>b）（双曲线x2y2b2a2b21）的一条不垂直于x轴的弦，A,B为相关弦。点Mm,0,(m0)为已定点，则直线AB过定点a2Mm,0的充要条件是直线A,B过点M,,0。m设AB为抛物线y22px（p﹥0）的任意一条不垂直于对称轴的弦，A,B为相关弦。点Mm,0,(m0)为已定点，则直线AB过定点Mm,0的充要条件是直线A,B过点M,m,0。推论：设AB为圆锥曲线C的任意一条不垂直于焦点所在轴的弦，A,B为相关弦。则直线AB过焦点的充要条件是直线A,B过对应准线与对称轴的交点。8：定理一：设点T是椭圆x2a2y2b21（a>b﹥0）上的一点，以T为切点的椭圆的切线l分别交x轴，y轴于A,B两点，若T点为线段AB的中点，则AT2AFAF1212(其中F,F12分别为椭圆的左右焦点)。定理二：设x2y2a2b21（a>b﹥0）总存在以椭圆上点T为切线l，满足T为22两坐标轴截l所得线段的中点。T(a,b),A2a,0,B0,2b。定理三：设点T是双曲线x2y2a2b21（a>b﹥0）上的一点，以T为切点的双曲线的切线l分别交x轴，y轴于A,B两点。若A点为线段TB的中点,则AT2AFAF12(其中F,F12分别为双曲线的左右焦点)。定理四：设点T是椭圆x2a2y21（a>b﹥0）上的一点，以T为切点的椭圆b2的切线l分别交x轴，y轴于A,B两点，若点T分有向线段AB的比为，则AT2AFAF112定理四：设点T是双曲线x2y2a2b21（a>b﹥0）上的一点，以T为切点的双曲线的切线l分别交x轴，y轴于A,B两点。若点T分有向线段AB的比为，则AT2AFAF。112定理五：T是圆锥曲线x2a2y2b21上的一点，以T为切点的双曲线的切线l分别交x轴，y轴于A,B两点。若点T分有向线段AB的比为，则AT21*AFAF。12