高三数学复习三角函数

第二讲 三角函数 高三数学复习三角函数 陕西特级教师安振平 ​ 高考风向标 主要考查三角函数的定义，三角函数的符号，同角三角函数关系式及诱导公式，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦、余弦、正切公式，三角函数的图象与性质，包括周期性、奇偶性、单调性、和最值性． ​ 典型题选讲 例1 （1）已知： （2）已知： 的值. 点评　三角问题的解决，变形是多途径的．例如：题１也可以逆向考虑，事实上 　　　　　 例2 已知电流I与时间t的关系式为 ． （１）右图是 （ω＞0， ） 在一个周期内的图象，根据图中数据求 的解析式； （２）如果t在任意一段 秒的时间内，电流 都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 讲解　本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力． （１）由图可知 A＝300． 设t1＝－ ，t2＝ ， 则周期T＝2（t2－t1）＝2（ ＋ ）＝ ． ∴ ω＝ ＝150π． 又当t＝ 时，I＝0，即sin（150π· ＋ ）＝0， 而 ， ∴ ＝ ． 故所求的解析式为 ． （２）依题意，周期T≤ ，即 ≤ ，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*， 故最小正整数ω＝943． 点评　　本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径． 例３　已知函数 . （１）求实数a，b的值； （２）求函数 的最大值及取得最大值时x的值. （１）函数 讲解　学会翻译，逐步展开解题思维． 时，函数f(x)的最大值为12. 点评　结论 是历年高考命题的热点之一． 例4 已知tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π，求. 讲解 解题目标中含有角 ，可向 角转化，以便出现 ；而条件中的 可向 转化. 这样，就消除了解题目标与解题条件之间中的差异．事实上 原式＝ 　　　　　＝ 　　　　　 ＝　， 由　　　tan2θ＝， 解得　　　tanθ＝－或tanθ＝， ∵π＜2θ＜2π，∴＜θ＜π， ∴tanθ＝－ ， ∴原式＝＝3＋2． 点评 差异分析，有时需要从条件和解题目标两个方向同时进行分析，这种相向而行的思维方式，可以快速联结解题的思维线路. 例５ 在中，，，，求的值和的面积． 讲解　本题是２００４年北京高 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 ，下面给出两种解法． 法一　先解三角方程，求出角A的值． 又, . 法二　由 计算它的对偶关系式 的值． ① , . ② 　 ①　+　②　得　　. 　 ①　－　②　得　　. 从而　 ．以下解法略去． 点评　本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ．两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 例６　设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R. （１）若f(x)=1－ 且x∈[－ ， ]，求x； （２）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|< )平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值. 讲解　（１）依题设可知，函数的解析式为 f(x)=a·b＝2cos2x+ sin2x=1+2sin(2x+ ). 由1+2sin(2x+ )=1－ ，可得三角方程 sin(2 x + )=－ ．　 ∵- ≤x≤ ， ∴- ≤2x+ ≤ ， ∴2x+ =- ，即x=- ． （２）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象. 由（１）得 f(x)=2sin2(x+ )+1. ∵|m|< ，∴ ， 点评　本小题是2004年福建高考试题，主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 例７　已知向量m=（1,1），向量n与向量m夹角为 ，且m·n=－1. （1）求向量n； （2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为 ，向量p= ，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列．求|n+p|的取值范围． 讲解　（1）设 ① 与 夹角为 ，有 · =| |·| |· ， ② 由①②解得 （2）由 垂直知 ， 由2B=A+C 知B= ，A+C= 若 点评　本题的特色是将向量与三角综合，体现了知识的交汇性．解题后，请你 反思 小班合家欢主题反思小班合家欢主题审议反思小班合家欢反思恩怨历尽后的反思下载恩怨历尽后的反思下载 ：解题思维的入手点，解题思维的障碍点，解题思维的开窍点，只有这样的反思训练，请相信，你就会慢慢成为解题高手的． 例８　如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC= ，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2． （１）用a， 表示S1和S2； （２）当a固定， 变化时，求 取最小值时的角 ． 讲解　（１）∵ ∴ 设正方形边长为x. 则BQ= （２）当 固定， 变化时， 令 令 任取 ，且 ， ． ， 是减函数． 取最小值，此时 点评　三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例．通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数 ．这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？ ​ 针对性演练 1.​ 函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 ( ) （A） （B） （C） （D） 2.​ 已知 ，且 ，则 　　　　　　　　　（　　） (A) (B) (C) (D) 3.​ 如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得 ∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（ ）. （A）20 （B）20 （C）40 （D）20 4.​ 设 是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中 .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观观察，函数 的图象可以近似地看成函数 的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ） （A） （B） （C） （D） 5.​ 已知 ，且 其中 ，则关于 的值，在以下四个 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 中，可能正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ） （A） （B）3 或 （C） （D） 或 6.​ 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式： ，且当P点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论： ①A=10；　　　② ；　　　③ ；　　　　④k=5． 则其中所有正确结论的序号是 ． 7.​ 求函数 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 上的单调递增区间． 8.​ 求函数 的最小正周期、最大值和最小值． 9.​ 已知α为锐角,且 求 的值． 10.​ 已知0<α< ，tan +cot = ，求sin( )的值． 11.​  ． 12.​ 已知 的值． 参考答案： １．C. 2．A. ３．D.　４．A. ５．C.　６．①②④． 7． 故该函数的最小正周期是 ；最小值是－2；单增区间是[ ]， ． 8．　 所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 . 9．　原式= 因为 时, 所以 原式= 因为α为锐角,由 得 所以 原式= 10．由已知 . 从而 . 11．由 于是 12．由已知得： ． 由已知条件可知 从而 有 ，得