第九章等离子体鞘层

第九章 等离子体鞘层理论 在有界的等离子体边缘存在着约束带电粒子的电势。这能使到达器壁的正电流和负电流 平衡。在通常情况下，等离子体是由数量相等的正离子和电子组成，其中电子比离子更易移 动得多，因而等离子体相对器壁呈正电性。在等离子体和壁之间的非电中性区域称作鞘层。 如果在两个电极之间加上电压，电流平衡得到维持时，每个电极可以分别吸引电流，这样在 阴极附近形成一个非电中性区域，通常称为阴极鞘层。在弱电离等离子体中维持等离子体的 能量通常来自于被加热的电子，离子同背景气体几乎达到平衡。电子温度有几电子伏特，而 离子是冷的。在这种情况下，鞘层电势能加速单能离子，而电子密度由于波尔兹曼因子而减 小了。为了维持离子流的连续，在电中性的等离子体和非电中性的鞘层之间一定存在一个过 渡层或称预鞘层，它将导致在鞘层边界处离子的速度达到玻姆速度。当射频电压加到电极上 时，能形成一个随时间变化鞘层，鞘层边界能随时间振荡。对于负高压脉冲形成的鞘层，在 电压脉冲施加的瞬间，电场将电子从鞘层中驱逐，留下一个离子密度均匀的鞘层，随后离子 不断注入靶中，鞘层边界向等离子体中扩展，这将在“等离子体侵入离子注入”中发生。如 果中性气体是负电性的，以至于电子附着是显著的，负电荷分成了电子和负离子。如果负离 子比例很大，负电荷运动能被大大减少，将改变鞘层边界条件。 9.1 无碰撞鞘层 9.1.1 鞘层基本方程 使用如下假设：（1）电子遵守温度 的麦克斯韦分布；（2）离子在鞘层中无碰撞运动， 并且是冷离子（ eT 0iT = ）；（3）在等离子鞘层分界面（在 0x = 准中性和非中性区域之间的分 界面）处 ， (0) (0)e in n= 。像图 9.1 展示的那样，定义在 0x = 处电势Φ为零，那里的离 子具有速度 su 。由离子能量守恒（无碰撞）给出 ( )2 21 1( ) 2 2 s Mu x Mu e x= − Φ (9.1) 离子流的连续性方程（在鞘层中无电离）为： ( ) ( )in x u x n uis s= (9.2) 103 0e in n n= = e in n= sn in enen x Φ 预鞘层 鞘层 等离子体 pΦ x (0) 0 (0) 0 Φ = ′Φ = wΦ 图 9.1 这里 是鞘层边界处的离子密度。从（9.1）式中解出u并代入（9.2 ）式, 得到 isn 1 2 2 2(1 )i is s en n Mu −Φ= − (9.3) 电子密度由玻尔兹曼关系给出 e( ) exp( ( ) / )e esn x n e x T= Φ (9.4) 设在鞘层边界处有 ，并把 代入到泊松方程 es is sn n n= = ,i en n 2 2 0 ( e i d e n n dx ε Φ = − ) （9.5） 得到 12 2 2 0 eexp( ) (1 )s e s end e dx Tε ε −⎡ ⎤Φ Φ= − − Φ⎢ ⎥⎣ ⎦ (9.6) 104 这里 21 2s s Muε = 是初始离子能量。方程（9.6）是决定鞘层电势及离子和电子密度的基本的 非线性方程。然而正像我们将要在下一部分看到的那样它只在足够大的 su 下有稳定的解,而 su 在准中性的预鞘层区域获得。 9.1.2 玻姆鞘层判据 用 d dx Φ乘以(9.6)再积分到 x 就可得到第一步积分 1 2 0 0 0 e( ) exp( ) (1 )s e s end d d d edx dx dx dx dx dx Tε ε Φ Φ −⎡ ⎤Φ Φ Φ Φ Φ= − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ （9.7） 消去 dx, 再对Φ积分，我们得到 1 2 2 0 1 ( ) exp( ) 2 (1 ) 2 2 s e e s e s nd e eT T dx T s ε εε ε ⎡ ⎤Φ Φ Φ= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ − (9.8) 这里我们已经在 0x = 处, 令 和0Φ = 0d dx Φ = 。方程（9.8）可以由数值积分得到 ( )xΦ 。 显然，方程（9.8）有解要求其右边应该是正的。 实际上，这意味着在鞘层区域，电子密度 一定总是小于离子密度。由于我们只期望这将是对应于小φ值的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，用泰勒展开式把（9.8） 式的右边展开到二阶项，从而得到下面的不等式 2 2 2 21 1 0 2 4e s e e T ε Φ Φ− ≥ (9.9) 由（9.9）式满足 2S eTε ≥ ，代入 sε ，得到 1 2( )es B Tu u M ≥ = (9.10) 这个结果即是众所周知的玻姆判据。为了使离子得到定向速度 su ，在靠近鞘层边界的等离 子体区域，一定有一个有限的电场加速离子，这个区域要比鞘层宽的多，叫做预鞘层（见图 9.1）。 离子穿越预鞘层加速至玻姆速度，则有 21 2 B p Mu e= Φ （9.11） 这里 是相对于鞘层—预鞘层边界处的等离子体电势。由（9.10）式，代入玻姆速度，得 pΦ 到 105 2 e p T e Φ = （9.12） 这在图 9.1中已划出。鞘层边界和等离子体内部的密度比值可以从玻尔兹曼关系中得出 0 exp( ) 0.61s p en n e T n= − Φ ≈ 0 B （9.13） 这里 是等离子体的密度。 bn 9.1.3 悬浮壁的鞘层电势 要决定等离子体和悬浮壁之间的鞘层电位降是十分简单的。假设离子流穿越鞘层不变， 在壁处离子流 i sn uΓ = （9.14） 而电子流 1 4 w ee T e s en eυ ΦΓ = （9.15） 这里 1 2(8 )e eT mυ π= 是平均电子速度，而 wΦ 是器壁的电位降。让离子流等于电子流，并 代入玻姆速度，有 1 2 1 21( ) (8 ) 4 w ee Te s s e Tn n T m e M π Φ= （9.16） 解出 我们得到 wΦ 1 2( ) 2 e w T Mn e mπΦ = − A （9.17） 壁电势 是负的而且同 是线性关系。其比例因子是质量比的平方根对数。例如，对于 氢 wΦ eT 1 2( ) 2. 2 Mn mπ ≈A 8，而对于氩，其因子为 4.7。这样初始能量为 2s eTε = 的氩离子从鞘层 ——预鞘层边界穿过一个无碰撞鞘层到达悬浮壁，将以 5.2i Teε = 的能量撞击壁。当然，不 论是直流辉光放电还是射频放电，存在着外加电压的电极可能被离子以更高的能量轰击，但 是到达这些电极的总电流不为零。由（6.2）式积分获得 ( )xΦ ，再令 ( ) wsΦ = Φ ，可以确定 鞘层厚度 s。这个积分必需数值 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 解，典型的鞘层厚度是几个德拜长度。 9.1.4 Child 定律鞘层 106 对于阴极鞘层，通常鞘层电压降远大于 ，因此eT ~ ee Te sn n e Φ → 0，鞘层里只有离子 存在，到达阴极的电流几乎都是离子电流。假设在鞘层中离子运动是无碰撞的，则稳定的 自洽离子密度是不均匀的。略去方程（9.6）式右边电子密度项，则泊松方程为 12 2 2 0 s (1 )send e dx ε ε −Φ Φ= − − （9.18） 考虑到初始离子动能远小于鞘层势能，方程（9.18）式能简化为 12 2 2 0 s ( )send e dx ε ε −Φ Φ= − − （9.19） 用 d dxΦ 乘（9.19）式后，从 0到 x积分，选择在 0x = 处， 0Φ = 和 0d dx EΦ = − = ， 有 1 1 2 0 2 0 1 2( ) 2 ( ) ( ) 2 Jd e dx Mε −Φ = 2−Φ （9.20） 这里 0 s sJ en u= 是离子流。求解方程（9.20）式，取负平方根（由于 d dxφ 是负的），积分 得到 3 1 04 2 0 3 2( ) ( ) ( ) 2 J e 14 x Mε −−Φ = （9.21） 考虑到在阴极 x s= ，电势 0Vφ = − ，由（9.21）得到 3 1 2 02 0 0 2 4 2( ) 9 VeJ M s ε= (9.22) 方程（9.22）是众所周知的平行极板的空间限制电流的 Child定律。固定鞘层厚度 s，它给 出了两极之间的电流与电势差的函数关系。然而，如果确定离子流为 0 s BJ en u= (9.23) 我们能获得鞘层电位降、鞘层厚度和等离子体参数的关系式。它可以被用来确定鞘层厚度 s， 将（9.23）代入（9.22）式，得到 3 0 422 ( 3 De e eVs T λ= ) （9.24） 这里引入了鞘层边界电子德拜长度 122De 0( / )e sT e nλ ε= 。Child 鞘层在典型的放电过程中可 以是 100个德拜长度（~厘米）数量级。 107 9.2 碰撞鞘层 如果离子的平均自由程小于鞘层厚度（ i sλ < ），在鞘层中离子能量守恒的假设失效。考 虑高电压鞘层，假设在鞘层中的电离能被忽略，离子流守恒还成立，这 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为 i i s sn u n u= （9.25） 这里 sn 和 su 是鞘层边界处离子的密度和定向速度。对于碰撞情形，取定向速度为 2 i i i i eu E E M u λµ π= ≈ （9.26） 这里 iµ 是离子迁移率。通常 iµ 和 iλ 是速度的函数，但在有些情况下这些量和速度依赖关系 很弱。例如氩气，在中部气压和等离子体加工鞘层电压范围， iλ 是不依赖于速度的。假设 iλ 是常量，将（9.26）代入（9.25），得到 1 2(2 ) s s i i n un e E Mλ π= （9.27） 将（9.27）式代入高斯定律，得到 1 2 0 (2 ) s s i en udE dx e E Mε λ π= （9.28） 积分（9.28）式，得到鞘层电场 2 23 3 1 2 0 3 2 (2 ) s s i en uE e Mε λ π ⎡ ⎤= ⎢⎣ ⎦ x⎥ （9.29） 这里已经取鞘层边界电场为零 (0) 0E ≈ 。积分（9.29）式，得到电势分布 2 53 3 1 2 0 33 5 2 (2 ) s s i en u x e Mε λ π ⎡ ⎤Φ = − ⎢⎣ ⎦⎥ （9.30） 这里已经利用了 。令离子流(0) 0Φ = 0 s sJ en u= ，并取电极电势为 0( )s VΦ = − ，得到 1 23 2 3 2 0 0 0 5 2 22 5 3 3 ie VJ M s λε π ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （9.31） 式（9.31）是碰撞情形的 Child 定律。如果 和 值确定，鞘层厚度与离子平均自由程的 关系为 0J 0V 1 5 is λ∝ ，所以随着气压增高，鞘层厚度变薄。 108 9.3 射频电压鞘层 在一般情况下，射频电压鞘层要比直流电压鞘层更复杂，电子密度、离子密度、电场 等放电参量都是位置和时间的复杂函数。为了得到解析结果，必须进行简化处理。我们作 如下假设：（a）离子的响应时间远大于场的变化周期（ piω ω� ），离子响应时间平均电场；； (b)电子响应瞬时电场（ peω ω� ），是射频放电的载流子；(c)电子的温度远小于鞘层的平 均电势能（ eT eV� ），在鞘层里电子密度能被忽略；（d）离子密度在鞘层内是均匀恒定的。 鞘层内的电场由泊松方程给出 0 dE en dx ε= ， ( )x s t≤ （9.32） 这里 是随时间变化的鞘层厚度。积分（9.32）式，利用在( )s t x s= 处 的鞘层边界条 件，得到鞘层内的电场分布 0E = [ 0 ( , ) ( )enE x t x s tε= − ] （9.33） 流过鞘层进入等离子体中的位移电流为 0( )d EI t A t ε ∂= ∂ （9.34） 这里 A是电极面积。将（9.33）式代入（9.34）式，得 ( )d dsI t enA dt = − （9.35） 由于假设鞘层内电子密度为零，流经鞘层到达极板的稳态离子流远小于位移电流，所以可 以认为流经鞘层的电流就是位移电流。让 ( ) ( )d rfI t I t= ，这里 0( ) cosrfI t I tω= 是线路中电 流，积分（9.35）式，得 0( ) sins t s s tω= − （9.36） 这里 00 Is en Aω= （9.37） 是鞘层厚度相对于直流值 s的正弦振荡幅值。积分（9.33）式，得到鞘层电压表达式 2 0 0 ( ) 2 s s en sV t Edx ε= = −∫ （9.38） 109 将（9.36）式代入（9.38）式，得到 2 2 20 0 0 0 1 1( ) ( 2 sin cos 2 ) 2 2 2s enV t s s s s t s tω ωε= − + − − （9.39） 尽管离子在鞘层中的传导电流是很小的，但他确定了鞘层的平均厚度 s。设鞘层中稳态的离 子流为 i BI enu A= （9.40） 这里 是玻姆速度。由于流到极板上的时间平均传导电流为零，而在鞘层中电子密度假设 为零，所以在一个震荡周期内，必有某一时刻，鞘层厚度塌缩为零，使电子从等离子体中 转移到极板上。由（9.36）和（9.37）式，得到 Bu 00 Is s en Aω= = （9.41） 将（9.41）代入（9.39）式，得到 20 0 ( ) (1 sin ) 2s enV t s t 2ωε= − − （9.42） （9.42）式给出了鞘层电压随时间变化关系。 9.4 脉冲高压鞘层 9.4.1 均匀离子鞘层 在等离子体侵入离子注入中，当负高压脉冲电压加到金属靶上时，靶表面附近的电子 立刻被排斥出鞘层区域，由于离子质量大，没来得及运动，留下一个均匀的离子鞘层区域。 令 ，鞘层内场分布由泊松方程确定 i sn n const= = 0 sendE dx ε= (9.43) 积分（9.43）式，利用边界条件 (0) 0E = ，得到了线性电场分布 0 senE xε= (9.44) 考虑到E d dxφ= − ，积分（9.44）式，得到鞘层电势分布 110 2 0 2 sen x εΦ = − (9.45) 这里用到了边界条件 ，电势是一条抛物线分布。 令 (0) 0Φ = x s= 处， ，获得均 匀离子鞘层厚度 0VΦ = − 1 0 0 22( s Vs en ε= ) （9.46） 利用在鞘层边界的电子德拜长度 1 2 2 0(De e sT e nλ ε= ) ，得到 1 0 22e(De e Vs T λ= ) （9.47） 因此鞘层厚度可能是数十德拜长度。 9.4.2 准稳态 Child 鞘层 在负高压脉冲加到靶上后，瞬间形成了均匀离子鞘层。当时间尺度达到离子响应时间 （ 1piω− ）后，离子在鞘层电场作用下，获得能量注入靶中。鞘层内离子的减少，导致鞘层边 界向等离子体中扩展。为了得到鞘层扩展过程的解析模型，作如下假设：（a)离子在鞘层中 运动速度远大于鞘层边界的扩展速度，在离子穿越鞘层期间鞘层场不变，鞘层表现为准稳 态；（b）准稳态鞘层遵守空间电荷限制电流 Child 定律，即在鞘层演化的每一个时刻，Child 定律成立；（c）鞘层中的离子流由扩展的鞘层边界扫过的离子和以玻姆速度进入鞘层的离 子提供。当靶上所加电压幅值为 ，鞘层厚度为 ，离子流密度由 Child 定律确定 0V s 3 1 2 02 i 0 2 4 2( ) 9 VeJ M s ε= （9.48） 进入鞘层边界的离子流为 0i dsJ en u dt ⎛ ⎞= +⎜⎝ ⎠B ⎟ （9.49） 让（9.48）式和（9.49）式相等，得到鞘层边界运动速度 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 1 9 9B c s u s uds su dt s s s ⎛ ⎞= − = −⎜⎝ ⎠2 ⎟ （9.50） 这里 1 20 0 0 0(2 )s V enε= 是均匀离子鞘层厚度， 1 20 0(2 / )u eV M= 是离子特征速度， ( )1 20 02 9cs s u u= B s是稳态 Child 定律鞘层厚度。假设 ，积分（9.50）式，得到鞘层cs � 111 边界随时间演化表达式 1 3 0 pi 2s(t) s t+1 3 ω⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠⎟ （9.51） 这里 ( )1 220 0pi n e Mω ε= 是离子等离子体频率。在（9.51）式中，让 cs s= ，得到建立稳态 的 Child 定律鞘层的时间为 ( ) ( )3 41 02 9 2c pit eVω−≈ eT ，已经假设了脉冲宽度满足条件 。 ct t∆ � 112