非均质土柱中溶质迁移的连续时间随机游走模拟

非均质土柱中溶质迁移的连续时间随机游走模拟 熊云武1 , 黄冠华1 ,2 , 黄权中1 ,2 (11 中国农业大学水利与土木 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 学院 , 北京　100083 ; 21 中国 - 以色列国际农业研究 培训 焊锡培训资料ppt免费下载焊接培训教程 ppt 下载特设培训下载班长管理培训下载培训时间表下载 中心 , 北京　100083) 摘要 : 非均质介质中溶质迁移往往出现非费克现象 , 传统的对流弥散方程 (ADE) 则难以较好地描述这种现象。采用 连续时间的随机游走理论 (CTRW)研究 1250 cm长一维非均质土柱中溶质运移问题 , 探讨 CTRW模型中参数及非费克 迁移的变化特征。研究结果 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明 , β值的大小与介质的非均质特征有关 , 非均质性越强 , β值越小 , 但β值具有相 对的稳定性 , 然而 ADE的弥散系数则具有随尺度增大而增大的现象。对于介质非均质性较强和非费克现象较明显 的溶质穿透曲线 , 尤其是在拖尾部分 , 与 ADE相比 , CTRW具有较高的模拟精度。 关 　键 　词 : 非均质介质 ; 连续时间随机游走 ; 非费克现象 ; 溶质运移 中图分类号 : P64112 　　　文献标识码 : A 　　　文章编号 : 100126791 (2006) 0620797206 收稿日期 : 2005208230 ; 修订日期 : 2005212228 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (50479011 ; 50339030 ; 50279025) ; 教育部新世纪优秀人才支持计划 (NCET20520125) 作者简介 : 熊云武 (1980 - ) , 男 , 重庆人 , 硕士研究生 , 主要从事水资源与水环境方面的研究。 通讯作者 : 黄冠华 , E2mail : ghuang @cau1edu1cn 由水动力弥散理论[1 ]推导出来的对流2弥散方程 (Advection2Dispersion Equation , ADE) 是研究多孔介质溶质运 移的经典方法。它是基于两个基本假设 : ①溶质浓度羽状分布呈正态或高斯分布 ; ②溶质在多孔介质中的扩 散服从费克定律 (Fickian Law) 。然而 , 基于上述假设的 ADE往往难以较好地描述非均质介质中溶质的不规则或 非费克迁移问题。 近年来 , 有关学者提出了利用分数微分对流2弥散理论[2～6 ]和连续时间随机游走 (Continuous Time Random Walk , CTRW)理论[8～10 ]等研究不规则或非费克迁移问题。其中 CTRW 是物理学中研究电子不规则运动的一种 理论[11～14 ] , 它是关于粒子不规则迁移的随机过程理论。Berkowitz 和 Scher[9 , 14 ]等将 CTRW理论应用于研究孔隙 介质中的溶质运移问题 , 并发展了这种理论。CTRW理论适用的范围比传统的平流2扩散 (ADE) 方程更广泛 , 且 在一定条件下可由 CTRW理论推导得到 ADE和分数微分对流2弥散方程[15 ,16 ] 。尽管 CTRW 理论在裂隙介质和多 孔介质溶质迁移的研究中得到不同程度的应用[17～21 ] , 但这些研究所涉及的尺度仍然较小 , 且 CTRW 模型中有 关参数的取值存在着一定的不确定性 , 其与介质特性和研究问题尺度之间的关系还有待进一步研究。 为此 , 本文应用一维非均质长土柱中溶质运移实验资料 , 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 不同尺度条件下 CTRW模型中参数及非费克 迁移的变化特征。 1 　CTRW 的基本原理 溶质质点在空间上的运动可以看作是连续时间的随机过程 , 质点到达概率可表示为[14 ] R (s , t) = 6 s′∫ t 0 ψ(s - s′, t - t′) R (s′, t′) d t′ (1) 式中 　R (s , t) 为溶质质点在时刻 t 刚好到达位置 s 的概率 ; ψ( s , t) 为溶质质点从某一空间位置经过时段 t 迁 移到相距 s 的另一空间位置的转移概率。 溶质质点在任意时间和空间位置的概率分布函数 P(s , t) 表示为[14 ] P(s , t) =∫t0 ψ( t - t′) R (s , t′) d t′ (2) 第 17 卷 第 6 期 2006 年 11 月 　 水 科 学 进 展 ADVANCES IN WATER SCIENCE Vol117 ,No16 　 Nov. , 2006 　 式中 　P(s , t) 实际上是表示溶质浓度的时间与空间分布 ; ψ( t) 为溶质质点在时刻 t 停留在某一空间位置的概 率 , 且 ψ( t) = 1 - ∫t0 ψ( t′) d t′ (3) 式中 　ψ( t′) 为经过 t′时段质点迁移的累积概率 , 且ψ( t′) = 6 s ψ(s , t′) 。 利用 CTRW描述溶质运移的核心是确定ψ(s , t) , Scher 和 Montroll [13 ]研究表明 , 当时间 t 趋近于无穷大时 , ψ(s , t) 为幂函数形式 , 即 ψ(s , t) → t - 1 -β　　　t →∞　　　0 < β < 1 (4) 式中 　β为反映溶质不规则迁移的常数。 在不同情况下 , 转移概率ψ(s , t) 具有不同的性质。当 0 <β< 1 时 , ψ(s , t) 的一、二阶矩趋于无穷 , 溶质羽 状物的平均位移 < l ( t) > ～ tβ, 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差σ( t) ～ tβ,因此σ( t) / < l ( t) > 是一个常数 ; 当 1 <β< 2 时 , ψ(s , t) 的二 阶矩趋于无穷 , 溶质羽状物的平均位移 < l ( t) > ～ t , 标准差σ( t) ～ t (3 - β) / 2 ,因此σ( t) / < l ( t) > ～ t (1 - β) / 2 ; 当 β> 2 时 , ψ(s , t) 的前二阶矩为有限值 , 溶质羽状物的平均位移 < l ( t) > ～ t , 标准差σ( t) ～ t1/ 2 , σ( t) / < l ( t) > ～ t - 1/ 2 [22 ]。 就理论而言 , 若得到ψ(s , t) 的表达式 , 即可通过式 (3) 求得溶质概率分布函数 P(s , t) , 然而求解过程中需 利用拉普拉斯逆变换 , 但直接求其逆变换在数学上比较困难。因而利用 CTRW 来研究溶质的迁移时 , 不是直接 求得不同空间位置和时间的溶质的概率分布函数 P( s , t) , 对于稳定阶跃输入问题 , 可利用累积首次通过时间 分布函数 (CFPTD) 描述溶质的迁移规律。 111 　0 <β< 1 时 CFPTD 表达式 当 0 <β< 1 , 转移概率ψ( t) 的拉普拉斯变换ψ3 ( u) 可表示为[12 ] ψ3 ( u) = e - buβ (5) 式中 　b = bβL < l > ; bβ是量纲为一的常数 ; u 为拉普拉斯变量。此时 CFPTD 的表达式为 [23 ] CFPTD = 1 + 1π 6∞ n = 1 ( - x) nsin ( nπβ) Γ( nβ)Γ( n + 1) 　　　　x << 1 (6) CFPTD = e - 1 -β) β (βx) 1 1 -β 2π(1 - β) (βx) 1 1 -β 　　　　　　　　x >> 1 (7) 式中 　x = bτβ ;Γ( x) 为Γ函数。 112 　1 <β< 2 时 CFPTD 表达式 当 1 <β< 2 时 , 转移概率ψ( t) 的拉普拉斯变换ψ3 ( u) 可表示为[24 ] ψ3 ( u) ≈ 1 - < t > u + cβuβ≈ e - < t > ucβuβ (8) 式中 　cβ是正系数。相应的 CFPTD 可表示为[24 ] CFPTD = 1 + 1π 6∞ n =1 ( - h) sin nπβ Γ( nβ)Γ( n + 1) 　　　h << 0 (9) CFPTD = 1β + 1 πβ6∞ n =1 ( - h) nsin nπβ Γ nβ Γ( n + 1) 　　　h ～ 0 (10) CFPTD = e - (β - 1) hβ β β - 1 2πβ(β - 1) hβ β β - 1 　　　　　　　　h >> 0 (11) 897 水 科 学 进 展 第 17 卷 式中 　h , g 和 bβ是量纲为一的参数 , h = l - τ g1/β , g = lbβ, bβ= cβ < t >β 2 　CTRW 模拟结果与讨论 211 　长土柱实验 本文研究采用实验资料为一维非均质土柱中的NaCl 运移的实验资料[25 ] 。该实验是利用长 1 250 cm , 横截面 10 cm ×10 cm 的水平土柱进行的室内实验研究。土柱装填从粗质卵石到细质土壤的非均质介质。当土柱饱和并 获得稳定流场条件后 ,土柱的入流液换成 NaCl 溶液 ,并开始溶质运移的测定。在土柱中每隔 100cm 处埋设电导 率测定探头 ,通过电导率的测定值确定各测点不同时刻的实测浓度值。在实验过程中 ,土柱的水流通量为 01239 cm/ min。实验的详细过程见文献[25 ]。 212 　非均质长土柱中溶质迁移的 CTRW 模拟 本文分别应用 CTRW计算程序[23 ]和 CXTFIT211 软件[26 ] , 对 1 250 cm 长的非均质土柱中溶质穿透曲线进行 了模拟分析 , 并采用决定系数 r2 和均方根误差 RMS E 表示模拟值与实测结果的拟合程度 , 其中均方根误差 RMS E 利用下式表示 : RMS E = 1 n 6ni =1 ( Cic - Cim) 2 (12) 式中 　Cic为计算浓度值 ; Cim为实测浓度值 ; n 为实测数据的个数。 模拟结果如表 1 所示 , 从表中可以看出 , 在 100 cm 处 CTRW模型中参数β大于 2 , 由理论分析可知[24 ] , 当 β> 2 时溶质浓度羽状物呈高斯分布 , 溶质扩散遵从费克定律。此时 CTRW 和 ADE 的决定系数分别为 01985 和 01986 , 两者十分接近 , 从图 1 (a) 也可以看出 CTRW 和 ADE 模拟结果趋于一致。事实上 , 在装填土柱时 , 0～ 100 cm所使用的介质相对均匀[26 ] , 因而在 100 cm处测得的穿透曲线 , 显示出溶质的迁移为费克迁移。 表 1 　不同位置处参数β、速度 v、弥散系数 D、确定系数和均方根误差 Table 1 Values of β, v , D , determinate coefficient and root mean square error for CTRW and ADE at different distances 距离/ cm CTRW ADEβ r2 RMS E v/ (cm·min - 1) D/ (cm2·min - 1) r2 RMS E 100 > 2 01985 01046 7 11120 31101 01986 01045 5 200 01905 01985 01038 3 11129 14106 01964 01060 1 300 01926 01992 01028 4 11054 13142 01969 01061 6 400 01910 01986 01037 1 11045 23128 01962 01063 0 500 01958 01994 01030 1 11153 20145 01982 01053 4 600 01894 01995 01023 3 11136 71186 01978 01054 2 700 01894 01986 01038 5 01817 16815 01989 01034 6 800 11084 01990 01036 2 11083 14911 01984 01046 1 900 11270 01990 01036 4 01997 95191 01988 01041 9 1 000 11190 01995 01025 5 01902 95167 01990 01037 2 1 100 11177 01995 01023 9 01895 11813 01992 01030 1 1 200 11228 01990 01033 5 01880 93167 01988 01037 5 在 200～700 cm , 模拟得到的β值在 01894～01958。根据 CTRW 原理[24 ] , 当 0 <β< 1 时溶质浓度羽状物呈 Lévy 分布 , 其一、二阶矩即均值和标准差均趋于无穷 , 且β值愈小 , 溶质的穿透曲线分布愈宽愈缓 , 非费克 现象愈明显。此时 , ADE的弥散系数 D 在 13142～16815 cm2/ min 之间 , 具有明显的随尺度增大而增大的现象 , 进一步说明在该尺度范围内溶质迁移具有非费克现象。这是由于实验中 , 200～700 cm 所装填的介质的非均质 所致 , 尤其是 600～700 cm , 装填的介质具有较强的非均质性 , 因而可能出现了相应的优先流[25 ] , 进而导致溶质 迁移的不规则现象 , 如表 1 所示 700 cm , 弥散系数达到最大值 16815 cm2/ min , 而相应的β值最小 01894。大量 的研究表明[14～18 ] , 介质的非均质性愈强 , 溶质迁移的非费克现象愈明显。此外 , 从图 1 (b) 、(c) 可以看出 , 与 ADE相比 , 300 cm和 600 cm 处 CTRW的模拟结果与实测值吻合更好 , 尤其是在穿透曲线的尾部。此时如表 1 所 997　第 6 期 熊云武等 :非均质土柱中溶质迁移的连续时间随机游走模拟 示 , 300 cm 和 600 cm处的 CTRW的决定系数 r2 分别为 01992 和 01995 , 其值分别大于 ADE 对应的决定系数值 01969 和 01978 , 且 CTRW 的均方根误差分别为 01028 4 和 01023 3 , 小于 ADE 对应的均方根误差 01061 6 和 01054 2。这是因为在 CTRW中 , 溶质迁移时间分布的概率密度是由式 (4) 所示的幂函数进行描述 , 其浓度随时 间变化将具有拖尾现象 , 例如在稳定阶跃输入条件下 , 相对浓度尾部将出现渐近地趋近于 1 但小于 1 的情况。 对 ADE而言 , 溶质迁移时间服从正态分布 , 在稳定阶跃输入条件下 , 相对浓度经过一定时间后将达到 1。上述 结果说明 , CTRW可较好地模拟具有非费克现象的溶质迁移过程 , 这与 Berkowitz 等[14 ]的结果一致。 在 800～1 200 cm , 模拟得到的β值为 11084～11270。由前述分析可知 , 1 <β< 2 时溶质浓度羽状物仍然呈 Lévy 分布 , 且溶质的迁移具有非费克现象。从表 1 可以看出 , 尽管此时 CTRW和 ADE决定系数和均方根误差相 差较小 , 但从图 1 (d)和 (e)可以看出 , 对于穿透曲线的尾部 , CTRW能得到较好的结果。 图 1 　不同位置处溶质运移穿透曲线实测值与 CTRW和 ADE模拟结果比较 : (a) 100 cm 处 , (b) 300 cm 处 , (c) 600 cm 处 , (d) 800 cm处 , (e) 1 000 cm处 Fig11 Comparison of measured data with the estimated values by using CTRW and ADE 值得指出的是除 100 cm外 , 在 200～700 cm和 800～1 000 cm两个尺度内β值不同 , 但是在这两个尺度内β 值分别趋于稳定 , 而其差异是与两个尺度内的介质的非均质特征有关 , 这说明对于应用 CTRW模拟溶质迁移过 程时 , 其参数具有相对的稳定性[14 ] 。然而 , 如表 1 所示在 200～700 cm 范围内 , 弥散系数 D 的最大值与最小值 之间相差一个数量级 , 且随尺度的增大而增大。因此 , 与 ADE 相比 , CTRW 可能是一种有效克服弥散尺度效 应的方法。 3 　结　　论 应用 CTRW计算程序和 CXTFIT211 软件 , 对 1 250 cm 长的一维非均质土柱中溶质运移穿透曲线进行了模 拟。在 100 cm的均匀介质中 , 模拟的β值大于 2 , 溶质迁移服从费克定律。在 200～700 cm 范围内 , β值为 01915 ±01024 , 溶质迁移具有明显的非费克现象。在 800～1200 cm 范围内 , β值为 1119 ±01069 , 溶质迁移仍然 存在非费克现象。在上述两个尺度范围内β值相对的稳定性 , 但 ADE 的弥系数则具有随尺度增大而增大的 现象。 与 ADE相比 , CTRW具有较高的模拟精度 , 尤其是在介质非均质性较强和非费克现象较明显的溶质穿透 008 水 科 学 进 展 第 17 卷 曲线的尾部 , 利用 ADE进行模拟则可能出现过高或过低估计其浓度值 , 但 CTRW能够较好地模拟。 致谢 : 感谢张仁铎教授为本文提供非均质长土柱实验资料 , 以色列 Weizmann 科学研究院 Brian Berkowitz 教授为 本文提供 CTRW计算程序。 参考文献 : [1 ] Bear J . 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21 Chinese2Israeli International Center for Research and Training in Agriculture , Beijing 100083 , China) Abstract : Solute transport in heterogeneous media always occurs in the non2Fickian process with early arrival and long2tail1 We analyze the data of the breakthrough curves (BTCs) measured in a 1 250 cm long heterogeneous soil column with the con2 tinuous time random walk (CTRW) and the advection2dispersion equation (ADE) 1 It is found that Fickian behavior occurs in the transport at the distances from the inlet to 100 cm with aβvalue larger than 2 , which is attributable to relatively homoge2 neous packing1 Within the distances from 200 cm to 700 cm , the transport has significant non2Fickian behavior withβ= 01915 ±01024 , this is due to the highly heterogeneity when packing the column1 While the moderate non2Fickian transport is found within the distances from 800 cm to 1200cm , and theβvalue is 1119 ±010691 Compared with the dispersion coefficient of ADE ,βvalue is relative stable1 Better simulation results are also obtained especially for the tails of BTCs by using CTRW with respect to ADE1 It implies that CTRW is a useful method to describe the scale2dependent transport and non2Fickian trans2 port1 Key words : heterogeneous media ; continuous time random walk ; non2Fickian ; solute transport 208 水 科 学 进 展 第 17 卷 Ξ The study is financially supported by the National Natural Science Foundation of China (No150479011 ,50339030 ,50279025) 1