偏微分方程试题南京大学匡亚明学院08级（二上）大二上高等数学试卷及答案

南京大学匡亚明学院08级（二上） 期末考试 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ，A卷 2010.01.13. 1、 将函数 展开成Fourier级数，并给出级数和的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示式. （15分） 解 确定区间 上的 直交系为 ， 亦即 . 于是，设 在区间 上的Fourier级数展开式为 ， 下面来确定有限Fourier变换（即Fourier系数）： ① ， 故 EMBED Equation.DSMT4 ； ② ， 故 ； ③ ， 故 . 最后，得到 的Fourier级数和 EMBED Equation.DSMT4 ， 其中 ， ， ， ， . 2. 将函数 ， ，展开成Fourier余弦级数，并给出级数和的表示式. （15分） 解 将 ， 作偶延拓，得 ； 进而，在 上，取完整直交系 ，亦即 ， 于是，由 在 上为偶函数，所以 ， ① 求 ， 故 ； ② 求 ， 故 ； 于是， ， ； 故 ， ； 在 上展开成余弦级数，且其和函数为 3. (1) 将复值函数 在 的分支 上展开成幂级数. （10分） (2) 将复值函数 在展开成两个环： 、 、 中洛朗级数. （10分） 解 （1） 将复值函数 在 的分支 上展开成幂级数. 由 ， 与 得 、 、 、 . 于是， 在 展开成幂级数为 ， . 解 (2) 将复值函数 展开成两个环： 、 中的洛朗级数. ① 在 中： 故 ， 故 EMBED Equation.DSMT4 ， ； ② 中： 与 ， 于是， EMBED Equation.DSMT4 ， 故 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， . 4. （1） 用Fourier级数法，求解偏微分方程的定解问题 . （15分） （2） 用Fourier变换法，求解偏微分方程的定解问题 . （15分） 解 （1） 由于问题是有限长杆上的热传导问题，故用有限Fourier变换方法，由 ， 得 ， ， 亦即 ， . 此方程是 ， ，的一阶线性方程，其解为 ， . 为确定 ，由始值条件的Fourier变换 ， ， 得到 ， ， 然后得到 ， ； 最后得到原来问题的解 . （2） 由于问题是无限区域上的波动问题，故要用Fourier变换方法，由方程作Fourier 变换： ， ， 得到 ， ， 亦即 ， . 此方程是 ， ，的二阶常系数线性方程，其特征方程为 ， 特征根为 ， . 于是，方程的解为 ， . 为求解，对初始条件作Fourier变换， ， 、 ， ， 故 、 ； 从而 . 的解为 ， 最后，得到问题的解为 （在理论上，上面反演公式要在 、 成立）. 5. （1） 求一个正交变换，将方阵 化为对角型. （10分） （2） 将二次型 化为标准型. （10分） 解 （1） 第一步 求 特征方程 —— ， 故 、 ； 第二步 求特征向量 —— 对于 ，方程组 的系数矩阵为 的秩为 ，故其基础解系中有 个线性无关的解，于是， ， 故取 、 ； 对于 ，方程组 的系数矩阵为 的秩为 ，故其基础解系中有 个线性无关的解，于是， ， 故取 ； 这样，我们得到 ， 但它不是正交方阵，因为 、 、 并不两两正交 、 、 ； 第三步 用施密特正交化方法将 正交化 —— 令 ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 于是，得到 、 、 故正交方阵为 . 解 （2） 由 EMBED Equation.DSMT4 于是，令 ， 得到 ； 事实上，二次型的方阵为 ， 于是， ， 故我们有： ， 与所作的可逆变换 与 得到的结果相同. 第一题 15分 第二题 15分 第三题 （1） 10分 （2） 10分 第四题 （1） 15分 （2） 15分 第五题 （1） 10分 （2） 10分 PAGE 13 _1323421094.unknown _1323499206.unknown _1323625272.unknown _1323625811.unknown _1323627761.unknown _1323713741.unknown _1323714282.unknown _1323789833.unknown _1323791709.unknown _1323792150.unknown _1323797399.unknown _1323801370.unknown _1323798131.unknown _1323792223.unknown _1323792047.unknown _1323791752.unknown _1323791809.unknown _1323791595.unknown _1323791617.unknown _1323790412.unknown _1323789138.unknown _1323789221.unknown _1323714370.unknown _1323714584.unknown _1323714007.unknown _1323714123.unknown _1323714176.unknown _1323714015.unknown _1323713878.unknown _1323713914.unknown _1323713823.unknown _1323713388.unknown _1323713558.unknown _1323713665.unknown _1323713408.unknown _1323712588.unknown _1323713265.unknown _1323627857.unknown _1323627026.unknown _1323627085.unknown _1323627330.unknown _1323627689.unknown _1323627132.unknown _1323627071.unknown _1323625921.unknown _1323626403.unknown _1323626766.unknown _1323625883.unknown _1323625448.unknown _1323625624.unknown _1323625644.unknown _1323625427.unknown _1323500850.unknown _1323624725.unknown _1323625162.unknown _1323625242.unknown _1323624822.unknown _1323624883.unknown _1323624652.unknown _1323624694.unknown _1323623914.unknown _1323500221.unknown _1323500683.unknown _1323500818.unknown _1323500247.unknown _1323499773.unknown _1323500093.unknown _1323499577.unknown _1323494701.unknown _1323497821.unknown _1323498458.unknown _1323499081.unknown _1323499135.unknown _1323498492.unknown _1323498137.unknown _1323498436.unknown _1323498071.unknown _1323495290.unknown _1323495362.unknown _1323496055.unknown _1323495309.unknown _1323494909.unknown _1323494969.unknown _1323494768.unknown _1323494795.unknown _1323457377.unknown _1323494173.unknown 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