初一初一数学竞赛辅导第03讲

第三讲 求代数式的值 　　用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧． 　　例1 求下列代数式的值： 　 　　分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性． 　　 　　　　　　　　=0-4a3b2-a2b-5 　　　　　　　　=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5 　　　　　　　　=-16+2-5=-19． 　　(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)] 　　　　　 =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z) 　　　　 　=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) 　　　　　 =2xyz-2x2z 　　　　　 =2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3) 　　　　 　=12+6=18． 　　说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化． 　　例2 已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值． 　　分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法． 　　解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简 　　a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3 　 　　　 　=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 　 　　　 　=-1． 　　说明 这是用代入消元法消去a化简求值的． 　　解法2 因为a-b=-1，所以 　　 原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab 　　　　=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab 　　　　=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2 　　　　=-(-1)2=-1． 　　说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以 　　原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 　　　　 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 　　　　 =(-1)3=-1． 　　说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3． 　　解法4 因为a-b=-1，所以 (a-b)3=(-1)3=1， 　　即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1， a3-b3-3ab(a-b)=-1， 　　所以 a3-b3-3ab(-1)=-1， 　　即 a3-b3+3ab=-1． 　　说明 这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值． 　　解法 5 　　a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab 　　　　　　=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab 　　　　　　=(-1)3+3ab(-1)+3ab 　　　　　　=-1． 　　说明 这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 如下： (a+b)2=a2+2ab+b2； (a-b)2=a2-2ab+b2； (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ； a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 　　 　　解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以 　　　　　　　　 　　　　 　　解 因为a=3b，所以 c=5a=5×(3b)=15b． 　　将a，c代入所求代数式，化简得 　 　　 　　　 　　解 因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有 　 　　　　 　　由(2)得y+1=3，所以y=2． 　　下面先化简所求代数式，然后再代入求值． 　　　 　　　 　　　　=x2y+5m2x+10xy2 　　　　=52×2+0+10×5×22=250 　　例6 如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值． 　　分析 此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法． 　　解 14a-2b=2(7a-b) 　　 　　　 =2[(4a+3a)+(-3b+2b)] 　　　　　　=2[(4a-3b)+(3a+2b)] 　　　　　　=2(7+19)=52． 　　 　　｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值． 　　分析 所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2， 据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易． 　　 　　原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5) 　　　　 =-1-2+3+4+5=9． 　　说明 实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关． 　　例8 若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？ 　　分析 x:y:z=3:4:7可以写成 的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利． 　　 x=3k，y=4k，z=7k． 　　因为 2x-y+z=18， 　　所以 2×3k-4k+7k=18， 　　所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以 x+2y-z=6+16-14=8． 　　例9 已知x=y=11，求 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值． 　　分析 本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值． 　　解 设x+y=m，xy=n． 　　原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n) 　　　 　=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n 　　　 　=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2 　　　 　=(n+1)2-2m(n+1)+m2 　　　 　=(n+1-m)2 　　　 　=(11×11+1-22)2 　　　 　=(121+1-22)2 　　　 　=1002=10000． 　　说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 述形式． 练习三 　　1．求下列代数式的值： 　　 (1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1； 　 的值． 　　 　　3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式 ｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜　　的值． 　　4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值． 　　5．已知