第五章习题第一部分01-151.M为线性空间X的子集，证明span(M)是包含M的最小线性子空间.［证明］显然span(M)是X的线性子空间.设N是X的线性子空间，且M匸N.则由span(M)的定义，可直接验证span(M)匸N.所以span(M)是包含M的最小线性子空间.2.设B为线性空间X的子集，证明conv(B)=｛工axIa.>0,iii=1工a=1,xz.eB,n为自然数｝.iz［证明］设A=｛工axIa.>0,iizi=1工a=1,x.eB,n为自然数｝.首先容易看出A为iii=1i=1包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有A匸F,故A为包含B的最小凸集.3.证明［a,b］上的多项式全体P［a,b］是无限维线性空间，而E=｛1,t,12,tn,...｝是它的一个基底.［证明］首先可以直接证明P［a,b］按通常的函数加法和数乘构成线性空间，而P［a,b］中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合
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示.设c0,C］,c2,Cm是m+1个实数，其中Cm丰0，m>1.若区ctn=0，由代数学基本定理知c0=q=c2=...=c=0，n012mn=0所以E中任意有限个元素线性无关，故P［a,b］是无限维线性空间，而E是它的一个基底。在2中对任意的x=僦,x2)e2,定义IIxII］=Ix1I+Ix2I,IIxII2=(x12+x22)1/2,IIxIIg=max｛Ix1I,Ix2I｝.证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形.［证明］证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可.单位球图形略.设X为线性赋范空间，L为它的线性子空间。证明cl(L)也是X的线性子空间.［证明］Vx,yecl(L)，Vae，存在L中的序列｛xn｝,｛yn｝使得xn■x，yn■y.从而x+y=limxn+limyn=lim(xn+yn)ecl(L)，ax=alimxn=lim(axn)ecl(L).所以cl(L)是X的线性子空间.［注］这里cl(L)表示子集L的闭包.设X为完备的线性赋范空间，M为它的闭线性子空间，x0gM.证明：L=｛ax0+yIyeM,ae｝也是X的闭线性子空间.［证明］若a,be，y,zeM使得ax0+y=bx0+z，则(a-b)x0=z-yeM，得到a=b，y=z；即L中元素的表示是唯一的.若L中的序列｛anx0+yn｝收敛于X中某点z，则序列｛anx0+yn｝为有界序列.由于M闭，x0EM，故存在弓厂>0，使得IIx0-yII>丫,VyeM.则当an丰0时有IaI=IaI•r•(1/r)
0.若inf{IIxII2IIIxII1=1}=0,则存在X中序列{x}，使得IIxII1=1，IIxII2-0.而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而IIxnII1-0.这矛盾说明inf{IIxII2IIIxII1=1}=a>0.对VxeX,当x丰0时，II(x/IIxII1)II1=1,所以II(x/IIxII1)II2>a.故VxeX有aIIxII10使得bIIxII2
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p187,例3.5］证明：c是可分的Banach空间.［证明见第4章习题16］设X,Y为线性赋范空间，TeB(X,Y).证明T的零空间N(T)={xeXITx=0}是X的闭线性子空间.［证明］显然N(T)={xeXITx=0}是X的线性子空间.对VxeN(T)c,Tx丰0,由于T是连续的，存在x的邻域U使得VueU有Tu丰0,从而U匸N(T)c.故N(T)c是开集，N(T)是X的闭子空间.11.设无穷矩阵(a..),(i,j=1,2,…)满足sup另IaIu。取x=(g)em，使得其第j个ijKjki1j=1j=1坐标g=sgn(a)，则IIxII=1，且IITxII>£IaI。所以IITII>£IaI>u，故jKKKKjKjj=1j=1有IITII>sup£IaI，从而IITII=sup£IaI。ijij1j=1ij=1设S:12T12满足对Vx二(g,g,…,g,…)€12有S(X)二点,g，…)。证明n12nnn+1n+2S是有界线性算子，IIS归1。nn［证明］显然S是线性算子。因为IIS(X)I|2二无|g|2抠Ig|2=||XI|2，Vx€12，nnkkk—n+1k—1所以IIS(X)||<||XII，Vx€12，可见S是有界线性算子，且IISII<1。令nnnX—(0,0,…0,1,0,…)(仅第(n+1)个坐标不为零)，则X€12，||XII—1，nnnS(X)—(1,0,…)，IIS(x)II—1。所以IISII—supIIS(x)II>IIS(x)II—1。nnnnnnnnIIXII—1证明C［a,b］上的泛函f(x)-Jbx(t)dt是有界线性泛函，且IIfII—b-a。a［证明］显然f是线性泛函。对Vx€C［a,b］有If(X)I—IJbX(t)dtIIf(x)I—b-a。00IIxII—1取定t€［a,b］，在C［a,b］上定义泛函f如下：f(x)—x(t)。证明f是有界01101线性泛函，IIfII—1。［证明］显然f是线性泛函，由If(x)I—Ix(t)IIf(x)I—Ix(t)I—1。000111000IIxII—1证明：(11)*—18。［证明］任取y—(n)€18，显然f(x)-无gq是11上有界线性泛函，且iiii—1TOC\o"1-5"\h\zIIfIIIf(x)I—InI，kkkVk—1,2,…。从而IIfII>IIyII，进而IIfII—IIyII.另一方面，设f为11上有界线性泛函，令n—f(x)，则InI0使得N(x)0.由Hann-Banach定理，存在feX*，使f(cl(span(M)))=0，且f(x)=d(x,cl(span(M)))>0，得到矛盾.验证极化恒等式。［证明］我们只对实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的.IIx+yI|2-IIx-yI|2=-=(+++)-(--+)=4.证明由内积导出的范数IIxII=1/2满足范数定义的三个条件。［证明］前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式.事实上，IIx+y||2==IIx||2+++IIyI|2=IIxII2+2Re()+IIyII2I+IIyII2==0，所以IIxII2=IIx1+x2II2==+++=vx1,x>+vx2,x2>=IIx1II2+IIx2II2．设X是内积空间，M,N匸X，M±N。证明：N匸M丄。［证明］对VxeN，因M±N，得x丄M，故xeM丄，所以N匸M丄。23.设X是内积空间，M,N匸X,M匸N。证明：N丄匸M丄。［证明］对VxeN丄，由x丄N，及M匸N，知x丄M，故xeM丄。所以N丄匸M丄。24.设H为Hilbert空间，M是H的线性子空间。证明：M二（M丄）丄，M丄二（M）丄。［证明］对VxeM，显然有x丄M丄，从而xe（M丄）丄，故M匸（M丄）丄。若x电M，由投影定理，设x=x+x，其中xeM，xe（M）丄，且x丰0。此时xeM丄，121222故有===llxl|2丰0，所以x电（M丄）丄，故_2122222M=（M丄）丄。由23题结果，M丄qM）丄，而对VxeM丄，x丄M，故x丄M，所以xe（M）丄,因此M丄匸（M）丄，故有M丄二（M）丄。25.设X为内积空间，M是X的线性子空间，满足：对任何xeX,它在M上的正交投影都存在。证明：M是X的闭线性子空间。［证明］对VxeM，由于存在它在M上的正交投影，故可设x=x+x，其中__12xeM，xeM丄。由26题知xe（M）丄，而x=x一xeM，故x=0，所以122212x=xeM，因此M=M，即M为X的闭子空间。126.设X为内积空间，M是X的稠密子集，｛en｝是X的
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正交系。证明：｛en｝完备的充要条件是在子集M上,Parseval等式成立.［证明］由｛en｝完备性定义知必要性是显然的，下面证明充分性。对VxeX，由M在X中稠密，对任意的£>0，存在yeM，使得IIx-yIk，x山<||ylb+?.。而对于yeM，Parseval等式成立，即||y||2=X||2，存在自然数N使得nn=1X||2<。下面估计||x||2:n/2n=N+1||x||2<||y||2+b+£=迓|+b+£2nnn=1i送||2+送hnVn=1n=1n=1\||2n丿2+£三角不等式）<迓||2+2||x||-1|x一y||+||x一y||2+£n(用S||2<||u||2放大)nn=1n=1<艺||2+(||x||++1)£?n4n=1由£>0的任意性，及Bessel不等式有||x||=S||2。即VxeX，Parseval等n式成立，所以｛en｝是完备的标准正交系。n=127.设X为内积空间，｛en｝是X的标准正交系。证明：Vx,yeX,都有S||<||x||-1|y||。nnn=1［证明］由Cauchy-Schwarz不等式，及Bessel不等式，有:艺l|2•:艺l|2I=£•。NNn=1［证明］若｛E｝是完全的，则它是完备的.于是Vx,ywH总有X=£E,NNNn=1nnY=£e，计算x,y的内积得:n=1而IIu11=IIFllH=IIfllM=IIGllH=IIvII,故IIvu112=0,即v=u.从而G=F,即f在H上的满足条件的延拓是唯一的.=<£E,£E>=£・E>NNmmn=1=x,ennm=1nm=1n=1>=£••nnnnn=1=x,en=1n=1反过来，若Vx,ywH都有=£•，令Y=X，则有ParsevalNN等式成立，从而｛EN｝是完备的，n=1所以在Hilbert空间H中｛en｝是完全的。29.设H为Hilbert空间，｛e｝，N｛~｝是H的两个标准正交系，其中｛EN｝是完备的，并且它们满足条件£Ile-~II2<1，并且。证明：｛~｝也完备的。NNn=1［证明］对VxwH，若x丄｛~｝，由于｛e”｝是完备的，所以NNIIXII2=£II2=£II2IIXII2•IIe-~Ib，对VxwL.在H上定义F(x)=,VxeH.则F为H上有界线性泛函，且IIFIIH=IIuII=IIgIIL=II/IIM，而且F是g的延拓，因而F也是/的延拓.若G也是/的满足条件的延拓，用Rieze表示定理，存在羽eH,使得G(x)=,VxeH.因/在L上的的延拓唯一，故GIl作为L上的有界线性泛函就是g,故VxeL,=G(x)=g(x)=,所以vx,v-u>=0,即v一u丄L.因ueL.由勾股定理，IIVII2=II(v—u)+uII2=IIV—UII2+IIuII2.
浙公网安备 33021202002483