实验三　多元函数的极值

实验三　多元函数的极值分析实验 mg 1 实验三多元函数的极值【实验目的】 1．掌握 MATLAB软件有关的命令。 2．多元函数自由极值的求法 3．多元函数条件极值的求法. 【实验准备】 1111．计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤 1.定义多元函数 ),( yxfz = 步骤 2.求解正规方程 0),(,0),( == yxfyxf yx ,得到驻点步骤 3.对于每一个驻点 ),( 00 yx ,求出二阶偏导数 ,,, 2 22 ...

分析实验 mg 1 实验三多元函数的极值【实验目的】 1．掌握 MATLAB软件有关的命令。 2．多元函数自由极值的求法 3．多元函数条件极值的求法. 【实验准备】 1111．计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤 1.定义多元函数 ),( yxfz = 步骤 2.求解正规方程 0),(,0),( == yxfyxf yx ,得到驻点步骤 3.对于每一个驻点 ),( 00 yx ,求出二阶偏导数 ,,, 2 22 2 2 y z C yx z B x z A ∂ ∂ = ∂∂ ∂ = ∂ ∂ = 步骤 4. 对于每一个驻点 ),( 00 yx ,计算判别式 2 BAC − ,如果 02 >− BAC ,则该驻点是极值点,当 0>A 为极小值, 0>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即 .48,84 3 yx y z yx x z +−= ∂ ∂ −= ∂ ∂ 再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用 solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB 代码为： >>clear; >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y') 结果有三个驻点，分别是 P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数： >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x^2 B =-8 C =4 由判别法可知 )2,4( −−P 和 )2,4(Q 都是函数的极小值点，而点 Q(0,0)不是极值点，实际上， )2,4( −−P 和 )2,4(Q 是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。 >>clear; >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3; >>mesh(X,Y,Z) >>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') 结果如图1 分析实验 mg 4 图 1 函数曲面图可在图 2种不容易观测极值点与鞍点,这是因为 z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值. >>contour(X,Y,Z, 600) >>xlabel('x'),ylabel('y') 结果如图6.2 图 2 等值线图由图2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点 )2,4( −−P 和 )2,4(Q .根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点 )0,0(Q 周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点. 例 3333 函数 xyz = 在条件 1=+ yx 下的极值..构造 Lagrange 函数 )1(),( −++= yxxyyxL λ 分析实验 mg 5 求 Lagrange 函数的自由极值.先求 L关于 λ,, yx 的一阶偏导数 >>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,k) 得 ,1,, −+= ∂ ∂ += ∂ ∂ += ∂ ∂ yx L x y L y x L λ λλ 再解正规方程 >>clear; syms x y k >>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k') 得 , 2 1 , 2 1 , 2 1 −=== λyx 进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值. 例 4444 物面 22 yxz += 被平面 1=++ zyx 截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离. 这个问题实际上就是求函数 222),,( zyxzyxf ++= 在条件 22 yxz += 及 1=++ zyx 下的最大值和最小值问题.构造 Lagrange函数 )1()(),,( 22222 −+++−++++= zyxzyxzyxzyxL µλ 求 Lagrange 函数的自由极值.先求 L关于 µλ ,,,, zyx 的一阶偏导数 >>clear; syms x y z u v >>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,z) >>diff(l,u) >>diff(l,v) 得 µλµλµλ +−= ∂ ∂ ++= ∂ ∂ ++= ∂ ∂ z z L yy y L xx x L 2,22,22 1,22 −++= ∂ ∂ −+= ∂ ∂ zyx L zyx L µλ 再解正规方程 >>clear; >>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v') 分析实验 mg 6 得 .32, 2 31 ,3 3 11 7,3 3 5 3 ∓=±−==±−=±−= zyxµλ 上面就是 Lagrange函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数 f 在有界闭集 }1,:),,{( 22 =++=+ zyxzyxzyx ，上连续，从而存在最大值与最小值），故由 359.)32, 2 31 , 2 31 ( ∓∓ =±−±−f 求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为 359 + ，最短距离为 359 − 。例 5555 函数 72422 +−−+= yxyxz 在上半圆 0,1622 ≥≤+ yyx 上的最大值和最小值。首先画出等高线进行观测，相应的 MATLAB程序代码为： >>clear; >>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7; >>contour(X,Y,Z,100) >>xlabel('x'),ylabel('y') 结果如图 3 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 x y 图 3 等值线观测图 3可看出，在区域 D 内部有唯一的驻点，大约位于 )1,2( 在该点处汉书趣的最小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值，大约位于 )2,4(− 。下面通过计算加以验证。求函数在区域 D 内的驻点，计算相应的函数值。求 z关于 x,y的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^2+y^2-4*x-2*y+7; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 分析实验 mg 7 结果得 ,22,42 −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ y y z x x z 解正规方程 >>clear; [x,y]=solve('2*x-4=0','2*y-2=0','x','y') 得驻点为(2,1),相应的函数值为2。求函数在直线边界 44,0 ≤≤−= xy 上的最大值和最小值。将 0=y 代入原函数，则二元函数变为一元函数 .44,742 ≤≤−+−= xxxz 首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为： >>x=-4:0.01:4; y=x.^2-4*x+7; >>plot(x,y); >>xlabel('x'),ylabel('z') 结果如图4所示 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 x z 图 4 函数图由图 4可看出，当 4−=x 时函数取得最大值， 2=x 时函数取得最小值。下面用计算验证。对函数求导 >>clear; syms x ; >>z=x^2-4*x+7; diff(z,x) 得 42 −= x dx dz ，可知驻点为 2=x ，而边界点为 4±=x ，计算着三个点上的函数值可得当 4−=x 时函数取得最大值39， 2=x 时函数取得最小值3。求函数在圆弧边界线上 0,1622 ≥≤+ yyx 的最大值和最小值。此边界线可用参数方程 π≤≤== ttytx 0,sin4,cos4 表示。则二元函数变为一元函数 23sin8cos16 +−−= ttz 首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为： >>t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; >>plot(t,z); >>xlabel('t'),ylabel('z') 结果如图5所示分析实验 mg 8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 5 10 15 20 25 30 35 40 t z 图 5 函数图由图 6.5可看出，当 5.0≈t 时函数取得最小值， π=x 时函数取得最大值。下面用计算验证。对函数求导 >>clear; syms t ; >>z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t) 得 tt dt dz cos8sin18 −= ,解正规方程 >>clear; >>t=solve('16*sin(t)-8*cos(t)=0','t') >>numeric(t) %求出t的数值得 4636,0 2 1 arctan ≈=t ，边界点为 π,0=t ，计算着三个点上的函数值可得当 4636.0=t 时函数取得最小值0.5111， )0,4(, =−== yxt π 时函数取得最小值39。综上所述，在点(2,1)处函数取得最小值2，在点(-4,0)处函数取得最大值39。【练习与思考】 1. 求 1444 +−+= xyyxz 的极值，并对图形进行观测。 2. 求函数 ( ) 22 2, yxyxf += 在圆周 122 =+ yx 的最大值和最小值。 3. 在球面 1222 =++ zyx 求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。 4. 求函数 zyxzyxf 32),,( ++= 在平面 1=+− zyx 与柱面 122 =+ yx 的交线上的最大值。 5. 求函数 22 yxz += 在三条直线 1,1,1 =+== yxyx 所围区域上的最大值和最小值。实验三　多元函数的极值

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